有限元网格划分中的圣维南原理及其应用_宋少云

（g ） 是对 A 很近的网格进行加密， 而 （h ） 则是以 A 点 加密了局部。 如 为中心进行了局部网格加密。最后得到的 A 点的等效应力值， 表 1 所示。该表的各列给出了上述对应的各图中 A 点的等效应 力值。 表 1 当加密点逐渐变化时 A 点的等效应力值
加密有限元模型 A 点应力 （kPa ） a 27.2 b 27.2 c 27.2 d 27.2 e 27.2 f g h
＊来稿日期： 2011-10-12 ＊基金项目： 湖北省教育厅资助项目 （Q20101701 ）
优化模型，结合 NSGA-II 算法提出一种解决公差分配的有效方 取得 法。最后应用车身侧围简易框架案例阐述了公差分配过程， 了 Pareto 解集。 优化结果表明该方法对公差分配策略优化效果良 好， 为工程人员提供了灵活的公差设计选择方案。
3 基于圣维南原理的网格划分方法
基于上述与圣维南原理类似的现象，可以得到网格划分的 另外一种途径。 在实际问题中， 一般只关注一些危险点， 只要这些危险点的 强度不存在问题，那么我们就认为整个构件的强度都是合格的。 这些危险点在整体中所占据的区域一般很小。显然， 若用二分法 来进行网格划分以求得到力学问题的收敛解， 那么， 节点的数目
27.2 26.6 31.0
从表 1 可以看出， 从 （a ） 到 （f ） ， 虽然在进行局部的网格加密， 而其中的 （f ） 更说明， 即便距离 而 A 点的应力一直没有发生改变。 A 点稍远处的所有网格都加密了， 而 A 点的应力还是没有发生丝 而只有当加密点靠近 A 点 （图 2 中的 （g ） 图所示 ） 时， 应力 毫变化。 值才开始发生明显的改变， 变化率为 2%， 而当在 A 点处进行网 格细分时， 则变化率为 14%。 从上述结果可以知道， 在距离所关心点稍远处的网格疏密 这与力学里面的圣维南原理十分 程度对于该点的应力影响很小。 相似。该原理认为[6]， ” 如果物体一局部边界表面所承受的表面力 是一平衡力系，这个平衡表面力只在受力附近产生显著的应力， 而在远处其应力可略去不计。 ” 而在上例的网格划分中， 也出现了 同样的现象， 只不过现在不是力的作用方式的问题， 而是网格划 分方式的问题。 在远离关注点的地方， 无论网格是稀疏还是密集， 对于所关 若要得到关注点的精确值， 局部加密该 注的地方， 影响是不大的。 处的网格是较好的方法。
SONG Shao-yun， YIN Fang （Machine Engineering Department， Wuhan Polytechnic University， Wuhan 430023， China ） 【摘 要】网格划分是有限元分析前处理中的一个关键步骤， 如何进行有效的网格划分， 既保证计 算的精度， 又能提高计算效率， 是一个重要的研究课题。对此提出了有限元网格划分中的圣维南原理。 该原理以为， 某局部区域的网格疏密对其稍远处节点的计算精度影响很小。基于该原理提出了网格划 分的新思路： 首先对全局进行一般的网格划分， 然后只对关注地方及其周围的关键区域进行局部细分， 就可以达到较高的仿真精度。使用实际算例对该原理进行了验证， 结果表明该方法具有较高的精度和 计算效率。 关键词： 网格划分； 有限元； 圣维南原理； ANSYS 【Abstract】Meshing is a key preprocessing step in finite element method （FEM ） analysis. How to mesh efficiently and accurately is an important research topic.Saint Venant Principle of meshing in FEM is proposed to focus this problem in this paper， which supposes that the rarefaction of concentration of mesh somewhere affects little on the result of faraway nodes.A new approach of meshing is proposed based firstly a general meshing is carried out in the whole region,secondly a local refinement at on this principle： key areas is done to achieve a high simulation accuracy.An actual example is illustrated to verify this method. And the result shows that this meshing method is high in simulation accuracy and calculation effi － ciency. Key Words： Meshing； Finite Element； Saint Venant Principle； ANSYS 中图分类号： TH16 文献标识码： A
参考文献
［1］ Speckhart F H.Calculation of Tolerance Based on a Minimum Cost .Journal of Engineering for Industry， 1992， 94 （2 ） ： 447-453. Approach［J］ ［2］Spotts M F.Allocation of Tolerance to Minimize Cost of Assembly［J］ . 1973， 95（3 ） ： 762-764. Journal of Engineering for Industry， ［3］ Dupinet E.Tolerance allocation based on fuzzy logic and simulated .Journal of Intelligent Manufacturing， 1996 （7 ） ： 487-497. annealing［J］ ［4］方红芳， 吴昭同.并行公差设计与工艺路线技术经济评价方法 ［J］ .机械 工程学报， 2000， 36 （4 ） ： 74-77. ［5］Chase K W.Tolerance Analysis of 2-D and 3-D Assemblies ［R］ .ADCATS Report No， 2002： 99-4. ［6］ Deb K， Pratap A， Agarwal S， Meyarivan T.A Fast and Elitist Multi .IEEE Transactions on objective Genetic Algorithm: NSGA -II ［J］ Evolutionary Computation， 2002， 6 （2 ） ： 182-197. ［7］奉铜明， 钟志华， 闫晓磊， 等.基于 NSGA-II 算法的多连杆悬架多目标 优化 ［J］ .汽车工程， 2010， 32 （12 ） ： 1063-1066.
4 算例
为了说明上述网格划分方法，以一个角支座的静力学分析
No.8 Aug.2012
机械设计与制造
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为例来阐明。为了说明本方法的特性， 也用二分法来得到问题的 精确解， 从而对这两种方法的精确度和效率进行考察。如图 3 所 示的角支座， 左边小孔固定， 右边小孔的右下角 1/4 圆弧上有一 个 10kN/m 的分布载荷作用， 试计算该角支座最危险点的等效应 （厚度 12.5mm， 弹性模量 210GPa， 泊松比 0.3 ） 力。
第8期 2012 年 8 月
文章编号： 1001-3997 （2012 ） 08-0063-03
机械设计与制造 Machinery Design ＆ Manufacture
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有限元网格划分中的圣维南原理及其应用 *
宋少云 尹 芳 ） （武汉工业学院 机械工程学院， 武汉 430023
Sain Vaint Principle of Meshing in Finite Elememt Method and its Application
造企业开始使用计算机软件来辅助其进行分析， 而其中尤以对结 构进行力学分析的有限元软件用得最为广泛。 在使用有限元软件
1 引言
随着自主创新时代的到来，越来越多的中小型机械设计制
11.4 11.2 11 10.8 10.6 Cost 10.4 10.2 10 9.8 9.6 9.4 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Assembly variation 6 6.5 7
பைடு நூலகம்
2 网格划分中的圣维南原理
以一个平面应力的例子来说明网格划分中的圣维南原理。 如图 1 所示， 一个矩形钢板长 4m， 高度为 400mm， 其上受到 矩形钢板的左边固定。钢板 竖直向下的 100N/m 均布载荷作用， 泊松比为 0.3。下面考察从自由端向固定 的弹性模量为 200GPa， 端逐渐加密网格时， 钢板固定端 A 点处等效应力的变化， 如图 2 所示。
图 4 零件公差 Pareto 解的目标函数值
5 结论
针对汽车设计过程中装配质量和制造成本之间的矛盾， 提 出基于 NSGA-II 算法的零件公差多目标优化。以零件公差作为 设计变量，根据装配偏差分析模型和质量-成本函数构造多目标
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宋少云等： 有限元网格划分中的圣维南原理及其应用
第8期
进行分析时， 网格的划分成为一个十分关键的问题[1]。 不同的网格 划分得到的结果是不一样的， 其间的差距很大， 有的结果甚至完 全不可使用[2]， 这给 CAE 工程师们带来了很多的困扰。哪一种网 格划分方式才能迅速逼近问题的真实解呢？这是许多 CAE 工程 师们都急需了解的一个问题。 在网格划分方面， 经典的有限元理论以为， 只要无限细分网 格， 就可以得到真实位移解的下界[3]。因此， 许多研究者基于此提 出用二分法来逐渐地减小单元尺寸， 当解出现收敛时， 就认为此 时的网格是所需要的[4]。在二分法的基础上， 科研人员[5]提出把区 域完全划分为四边形单元的方法， 而一些科研人员[2]进一步提出 把单元大小作为优化设计的参数，给出一定的收敛标准以后， 自 动进行网格加密以得到精确解的基于优化设计的网格划分方法。 按照二分法进行网格加密，在一般状况下的确可以得到问 题的精确解， 但是当网格加密时， 节点数目以二的指数次方上升， 对于简单的问题还容易计算， 对于复杂的三维模型， 这种方法会 使得节点数急剧上升， 以致到微型计算机不可求解的地步。 为了解决这种困难， 进行了实例考察， 发现在网格划分中存 在着一种类似圣维南原理的现象， 在此基础上提出了一种新的网 格划分方法， 并用一个算例对二分法和这种新的网格划分方法进 行了比较， 结果证明本网格划分方法在保证精度的前提下具有很 高的效率。
图 1 受到分布载荷作用的矩形钢板
（a ）
（b ）
（c ）
（d ）
（e ）
（f ）
（g ）
（h ）
图 2 当加密点逐渐变化时矩形钢板的有限元模型
从图 2 可以看出 ， 从 （a ） 到 （f ） 加密点越来越靠近 A 点， 而其 中 （e ） 与 （f ） 的区别在于， （f ） 对右边的所有网格都加密了， 而 （e ） 只
A B 4m
400mm
C D
会按照几何级数增加。但是， 如果我们只是首先对整体一个比较 粗糙的网格划分，然后只在所关心的地方进行局部网格加密， 那 这种方法会使得网格划分的工 么就可以迅速得到问题的精确解。 作量大为减小， 从而使得一般的微机也可以计算较复杂的有限元 模型。 另外， 从网格划分实践中也发现， 如果在关注点的较近处存 在着应力集中点， 则这些点的网格划分精度也会对关注点的精度 有着一定程度的影响。 基于上述讨论， 提出的网格划分的一般方式是： （1 ） 使用中等精度对整体进行网格划分。 （2 ） 在关注点附近进行局部网格加密， 直到收敛为止。 （3 ） 如果要得到更精确的解答， 可以进一步关注该点较近的 其它应力集中点 （如果存在的话 ） ， 对那些点进行较为精密的局部 网格加密。