(完整版)高中数学例题：秦九韶算法

高中数学例题：秦九韶算法

例4 ．利用秦九韶算法求f(x) 1 x o.5x2 0.16663X3 0.04168x4 0.00835x5在

x=0.2 时的值.写出详细计算过程．

【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的. (1)特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式(ax a「).即f(x) (L ((a n X a. Jx a. 2)x L ajx a。.

( 2 ) 具体方法如下：已知一个一元n 次多项式f(x) a n X n a n i x n 1 L a i x a°0.当x=x)，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得f(x0 ) .

【答案】1.2214024

【解析】

v0=0.00835，

V1二V O X+0.04168=0.00835X 0.2+0.04168=0.043 35

V2=v i x+0.16663=0.04335X 0.2+0.16663=0.1753, V3=v2x+0.5=0.1753X

0.2+0.5=0.53506,

V4二V3X+1=0.53506X 0.2+1 = 1.107012,

V5二V4X+1 = 1.107012X 0.2+1 = 1.2214024.

【总结升华】秦九韶算法的原理是

v0 a n .

v k v k 1x a n k(k 1,2,3,L ,n)

在运用秦九韶算法进行计算时应注意每一步的运算结果像这种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．

举一反三：

【变式1】用秦九韶算法求多项式f(x) 8x7 5x6 3x4 2x 1当x=2 时的值．

【答案】1397

【解析】

f(x) 8x7 5x6 0 x5 3x4 0 x3 0 x2 2x 1 ((((((8 x 5)x 0)x 3)x 0)x 0)x 2)x 1

v0=8，

v i=8X 2+5=21,

V2=21X 2 4-0=42,

V3=42X 2 4-3=87,

V4=87X 2+0=174,

V5=174X 2+0=348,

V6=348x 2+2=698,

V7=698X 2+仁1397,

所以,当x= 2时,多项式的值为1397．

【变式2】用秦九韶算法计算多项式 f (x) 6x6 5x5 4x4 3x3 2x2 x 7 在x=0.4 时的值时,需做加法和乘法的次数和是( ) A．10 B．9 C．12 D．8

答案】C

解析】 f (x) (((((6 x 5)x 4)x 3)x 2)x 1)x 7 ．•••加法6次，乘法6次，

二6+6=12 （次），故选C.