高等数学同济大学第六版本
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习题92
1 计算下列二重积分
(1)⎰⎰+D
d y x σ)(22 其中D {(x
y )| |x |1 |y |1}
解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是
⎰⎰+D
d y x σ)(22y d y x dx ⎰⎰--+=1
11
122)(x d y y x ⎰--+=1
11132]31[ x d x ⎰-+=1
12)312(113]3232[-+=x x 3
8=
(2)⎰⎰+D
d y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线x
y 2所围成的闭区
域
解 积分区域可表示为D
0x 2 0y 2x 于是
⎰⎰+D
d y x σ)23(y d y x dx x
⎰⎰
-+=20
20
)23(dx y xy x ⎰-+=20
22]3[ dx x x ⎰-+=2
02)224(0232]324[x x x -+=3
20=
(3)⎰⎰++D
d y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0
x 1 0y 1}
解 ⎰⎰++D
d y y x x σ)3(3
2
3
⎰⎰++=1
03
2
3
1
0)3(dx y y x x dy ⎰++=1
001334]4
[dy x y y x x ⎰++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=14
12141=++=
(4)⎰⎰+D
d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) (
0) 和
( )的三角形闭区域
解 积分区域可表示为D 0x
y x 于是
⎰⎰+D
d y x x σ)cos(⎰⎰+=x
dy y x xdx 0
)cos(π
⎰+=π
)][sin(dx y x x x
⎰-=π0)sin 2(sin dx x x x ⎰--=π
0)cos 2cos 2
1(x x xd
+--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π2
3-=
2 画出积分区域 并计算下列二重积分
(1)⎰⎰D
d y x σ 其中D 是由两条抛物线x y = 2x y =所围成的闭区域
解 积分区域图如
并且D
{(x
y )| 0x 1 x y x ≤≤2} 于是
⎰⎰D
d y x σ⎰⎰=1
02
dy y x dx x
x
⎰=1
0223]32[dx y x x x 55
6
)3232(10447
=-=⎰dx x x
(2)⎰⎰D
d xy σ
2 其中D 是由圆周x 2
y 24及y 轴所围成的右半闭区域 解 积分区域图如 并且D
{(x
y )|
2
y 2 240y x -≤≤}
于是
⎰⎰
⎰⎰⎰----=2
2402240
2222
2
2
]2
1[dy y x dx xy dy d xy y y D
σ
15
64]10132[)212(222
25342=
-=-=--⎰y y dy y y (3)⎰⎰+D
y x d e σ 其中D {(x y )| |x ||y |
1}
解 积分区域图如 并且 D {(x y )| 1x 0 x 1y x 1}{(x y )|
x 1 x 1y x 1} 于是
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰+--+---++=1
1
10
1
1
01
x x y x x x y x D
y x dy e dx e dy e dx e d e σ
⎰⎰+---+--+=1
1101
11][][dy e e dx e e x x y x x x y x ⎰⎰---+-+-=1
120
1
11
2)()(dx e e dx e e
x x 1
1201112]21[]21[---+-+-=x x e ex x e e e e
1
(4)⎰⎰-+D
d x y x σ
)(22 其中D 是由直线y 2 y
x 及y 2x 轴所围成
的闭区域
解 积分区域图如
并且D
{(x
y )| 0
y 2 y x y ≤≤2
1} 于是
⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-+20222
32222022]2131[)()(dy x x y x dx x y x dy d x y x y y y y D
σ 6
13
)832419(2
023=-=⎰dy y y
3
如果二重积分⎰⎰D
dxdy y x f ),(的被积函数f (x
y )是两个函数f 1(x )
及f 2(y )的乘积
即f (x y ) f 1(x )f 2(y ) 积分区域D {(x y )|
a x
b
c y
d } 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积 即
])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d
c
b
a D
⎰⎰⎰⎰⋅=⋅
证明 dx
dy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f d
c
b a d c
b
a
D
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅])()([)()()()(212121
而 ⎰⎰=⋅d
c
d c
dy
y f x f dy y f x f )()()()(2121
故 dx
dy y f x f dxdy y f x f b a
d
c
D
⎰⎰⎰⎰=⋅])()([)()(2121
由于⎰d
c
dy y f )(2的值是一常数
因而可提到积分号的外面
于是得
])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f d
c
b
a D
⎰⎰⎰⎰⋅=⋅
4
化二重积分⎰⎰=D
d y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次
序不同的两个二次积分) 其中积分区域D 是
(1)由直线y x 及抛物线y 24x 所围成的闭区域
解
积分区域如图所示
并且
D {(x y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤} 或D {(x y )| y x y y ≤≤≤≤241 ,40}
所以 ⎰
⎰=x
x
dy y x f dx I 24
0),(或⎰⎰=y
y dx
y x f dy I 4
40
2),(