抽象函数几类问题的解题方法与技巧

一、求解析式的一般方法 1、换元法

例1：已知f(x+1)=x 2

-2x 求f(x)

解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2

-4t-3

∴f(x)=x 2

-4x-3

换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。 2、方程组法

例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x

1

)=3x ，求f(x) 解：令x=

x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2

-x

2f(x)+f(x 1)=x 3

∴f(x)= x

2

-x

例3 .

例4

3、待定系数法

例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)

则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1

例6：已知f(x)是多项式函数，

解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)

代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.

如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

二、判断奇偶性的一般方法

在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。

例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。

（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()

（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0

求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(

证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0

令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)

=f(=f(0)=0

∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数

例8定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0

（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数

证明：（1）令x=y=0

∴f(0)+f(0)=2×f(0)2

∵f(0)≠0

∴f(0)=1

(2)令x=0

则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)

f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数

例9.对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.

解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,

三、单调性的求解方法

例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立。 （1）判断函数f(x)的奇偶性。

（2）证明：f(x)为减函数，若函数f(x)在[-3、3]上总有f(x)≤6成立，试确定f(x)应满足的条件。

（3）解关于x 的不等式n 1

f(ax 2)-f(x)＞n

1(a 2x)-f(a)(n 是一个给定的自然数a ＜0) 解：（1）f(x)为奇函数

证明如下

令x=0、y=0 则f(0+0)=f(0)+f(0) =>f(0)=0 令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x)= f(x)-f(x)=0 =>f(-x)=-f(x) =>f(x)是奇函数

（2）证明：任取x 1x 2∈R,且x 1＜x 2 则x 2-x 1＞0

由已知f(x 2-x 1)＜0

∵f(x 2-x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2)-f(x 1)<0 ∴f(x 2)

从而f(x)在（-∞，+∞）上是减函数 ∵f(x)（-∞，+∞）上是减函数 ∴f(x)在[-3,3]上有最大值f(-3)≤6

又f(-3)=f(-2+(1))=f(-2)+f(-1) =＞ 3f(-1)≤6 ∴f(-1)≤2 ∴f(1)≥-2 (3)n 1f(ax 2)-f(x)＞n

1f(a 2x)-f(a) f(ax 2)-f(a 2x)＞n[f(x)-f(a)] f(ax 2-a 2x)＞nf(x-a) 由已知得f[n(x-a)]=nf(x-a) ∴f(ax 2-a 2x)＞f[n(x-a)] ∵f(x)在（-∞，+∞）上是减函数 ∴ax 2-a 2x ＜n(x-a) 即（x-a ）(ax-n)＜0 ∵a ＜0

∴(x-a)(x-a

n )＞0

(1)当a ＜a

n ＜0,即a ＜-n 时 原不等式解集为{x|x ＞a

n 或x ＜a} (2)当a=a

n ＜0,即a=-n 时

原不等式的解集为空集

(3)当

a

n

＜a ＜0时 即-n ＜a ＜0时 原不等式的解集为{x|x>a 或x ＜a

n

}

例7，设函数y=f(x)是定义在R 上，对任意m,n 函数f(x)恒有 f(m+n)=f(m)f(n),且x ＞0时，0＜f(x)＜1

(1)求证：f(0)=1且当x ＜0时，f(x)＞1 (2)求证：f(x)在R 上单减 证明：（1）①令m=0,n=1

则f(m+n)=f(1)=f(0)×f(1) ∵1＞0 ∴0＜f(1)＜1 ∴f(0)=1

②令m=x n=-x ，且x ＜0

f(m+n)=f(x+(-x))=f(0)=f(x)×f(-x) 则f(x)f(-x)=1 ∴f(x)=

)

(1

x f - ∵-x ＞0 ∴0＜f(-x)＜1 ∴)

(1

x f -＞1 ∴当x ＜0时 f(x)＞1 (2)任取x 1,x 2∈R, 且x 1＜x 2

f(x 1)=f(x 1-x 2+x 2)=f(x 1-x 2)×f(x 2) ∵x 1-x 2＜0 ∴f(x 1-x 2)＞1

∴f(x 1)=f(x 1-x 2)×f(x 2)＞f(x 2) ∴f(x 1)＞f(x 2)

∴f(x)在R 上是单调递减函数

模型法是求解单调性的常用方法，例6是正比例函数模型例7是指数函数模型。对上述抽象函数的背景函数模型，虽不能用它来代替具体证明，但都能构建解决问题的框架，明确解决问题的切入点。 特殊模型 抽象函数 正比例函数 f(x)=kx(k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)

幂函数 f(x)=x n

f(xy)=f(x)f(y)或f （

y x ）=)()(y f x f 指数函数 f(x)=a x(a ＞0,且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=

)

()

(y f x f 对数函数f(x)=loga x

(a ＞0，且a ≠1)f(xy)=f(x)f(y)或f(

y

x

)=f(x)-f(y) 正余弦函数 f(x)=sinx,f(x)=cosx f(x+T)=f(x)

正切函数 f(x)=tanx f(x+y)=

)

()(1)

()(y f x f y f x f -+