抽象函数几类问题的解题方法与技巧

一、求解析式的一般方法 1、换元法
例1：已知f(x+1)=x 2
-2x 求f(x)
解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2
-4t-3
∴f(x)=x 2
-4x-3
换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。

2、方程组法
例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x
1
)=3x ，求f(x) 解：令x=
x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2
-x
2f(x)+f(x 1)=x 3
∴f(x)= x
2
-x
例3 .
例4
3、待定系数法
例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1
例6：已知f(x)是多项式函数，
解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)
代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.
如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

二、判断奇偶性的一般方法
在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。

例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。

（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()
（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0
求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(
证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0
令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)
=f(=f(0)=0
∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数
例8定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0
（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数
证明：（1）令x=y=0
∴f(0)+f(0)=2×f(0)2
∵f(0)≠0
∴f(0)=1
(2)令x=0
则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)
f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数
例9.对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.
解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,
三、单调性的求解方法
例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立。

（1）判断函数f(x)的奇偶性。

（2）证明：f(x)为减函数，若函数f(x)在[-3、3]上总有f(x)≤6成立，试确定f(x)应满足的条件。

（3）解关于x 的不等式n 1
f(ax 2)-f(x)＞n
1(a 2x)-f(a)(n 是一个给定的自然数a ＜0) 解：（1）f(x)为奇函数
证明如下
令x=0、y=0 则f(0+0)=f(0)+f(0) =>f(0)=0 令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x)= f(x)-f(x)=0 =>f(-x)=-f(x) =>f(x)是奇函数
（2）证明：任取x 1x 2∈R,且x 1＜x 2 则x 2-x 1＞0
由已知f(x 2-x 1)＜0
∵f(x 2-x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2)-f(x 1)<0 ∴f(x 2)<f(x 1)
从而f(x)在（-∞，+∞）上是减函数 ∵f(x)（-∞，+∞）上是减函数 ∴f(x)在[-3,3]上有最大值f(-3)≤6
又f(-3)=f(-2+(1))=f(-2)+f(-1) =＞ 3f(-1)≤6 ∴f(-1)≤2 ∴f(1)≥-2 (3)n 1f(ax 2)-f(x)＞n
1f(a 2x)-f(a) f(ax 2)-f(a 2x)＞n[f(x)-f(a)] f(ax 2-a 2x)＞nf(x-a) 由已知得f[n(x-a)]=nf(x-a) ∴f(ax 2-a 2x)＞f[n(x-a)] ∵f(x)在（-∞，+∞）上是减函数 ∴ax 2-a 2x ＜n(x-a) 即（x-a ）(ax-n)＜0 ∵a ＜0
∴(x-a)(x-a
n )＞0
(1)当a ＜a
n ＜0,即a ＜-n 时 原不等式解集为{x|x ＞a
n 或x ＜a} (2)当a=a
n ＜0,即a=-n 时
原不等式的解集为空集
(3)当
a
n
＜a ＜0时 即-n ＜a ＜0时 原不等式的解集为{x|x>a 或x ＜a
n
}
例7，设函数y=f(x)是定义在R 上，对任意m,n 函数f(x)恒有 f(m+n)=f(m)f(n),且x ＞0时，0＜f(x)＜1
(1)求证：f(0)=1且当x ＜0时，f(x)＞1 (2)求证：f(x)在R 上单减 证明：（1）①令m=0,n=1
则f(m+n)=f(1)=f(0)×f(1) ∵1＞0 ∴0＜f(1)＜1 ∴f(0)=1
②令m=x n=-x ，且x ＜0
f(m+n)=f(x+(-x))=f(0)=f(x)×f(-x) 则f(x)f(-x)=1 ∴f(x)=
)
(1
x f - ∵-x ＞0 ∴0＜f(-x)＜1 ∴)
(1
x f -＞1 ∴当x ＜0时 f(x)＞1 (2)任取x 1,x 2∈R, 且x 1＜x 2
f(x 1)=f(x 1-x 2+x 2)=f(x 1-x 2)×f(x 2) ∵x 1-x 2＜0 ∴f(x 1-x 2)＞1
∴f(x 1)=f(x 1-x 2)×f(x 2)＞f(x 2) ∴f(x 1)＞f(x 2)
∴f(x)在R 上是单调递减函数
模型法是求解单调性的常用方法，例6是正比例函数模型例7是指数函数模型。

对上述抽象函数的背景函数模型，虽不能用它来代替具体证明，但都能构建解决问题的框架，明确解决问题的切入点。

特殊模型 抽象函数 正比例函数 f(x)=kx(k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)
幂函数 f(x)=x n
f(xy)=f(x)f(y)或f （
y x ）=)()(y f x f 指数函数 f(x)=a x(a ＞0,且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=
)
()
(y f x f 对数函数f(x)=loga x
(a ＞0，且a ≠1)f(xy)=f(x)f(y)或f(
y
x
)=f(x)-f(y) 正余弦函数 f(x)=sinx,f(x)=cosx f(x+T)=f(x)
正切函数 f(x)=tanx f(x+y)=
)
()(1)
()(y f x f y f x f -+
余切函数 f(x)=cotx f(x+y)=)
()(1)
()(y f x f y f x f --
四、抽象函数中的周期与对称轴
例8、已知f(x)为偶函数，其图像关于x=a(a ≠0)对称 求证：f(x)是一个以2a 为周期的周期函数。

解：
∵函数f(x)的图像关于x=a(a ≠0)对称 ∴f(x+2a)=f(-x) 又∵f(x)是偶函数
∴f(x+2a)=f(x) 即T=2a
例9、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3)=-f(x) 求f(2004)的值。

解：∵f(x+3)=-f(x)
∴f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x) ∴T=6
又∵f(x)是R 上的奇函数有f(0)=0 从而f(2004)=f(6×334)=f(0)=0
例10、已知f(x)满足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x),x,y ∈R (1)求f(x)的对称轴 如f(5)=9,求f （-5）
(2)已知当x ∈[2,7]时，f(x)=(x-2)^2求当x ∈[6,20]时，函数f(x)的表达式。

解：（1）∵f(x+2)=f(2-x) f(x+7)=f(7-x) ∴对称轴为 x=2,x=7
而f(x)=f(4-x)=f(7-3-x)=f(3+x+7)=f(x+10) 得 T=10
∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。

非零常数T叫做这个函数的周期。

常见结论：
（1）f(x+a)=f(x),则T=a(a是非零常数)
（2）f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a是非零常数)
(3)f(x+2)=f(2-x) f(x+7)=f(7-x) 则T=10
对称问题：
常见对称：f(-x)=f(x),即函数f(x)关于y轴对称
f(-x)=-f(x),即函数f(x)关于原点（0，0）对称
f(a-x)=f(x-a)，即函数f(x)关于直线x=a对称
f(a-x)=-f(a+x),即函数f(x)关于点（a,0）对称
抽象函数题的编写是为了检验学生对函数的性质的灵活应用，从而达到提高学生数学思维能力和再创能力。

在解题时在解决抽象函数问题时，往往不是去考虑如何求这个函数的表达式，而是应设法利用这个函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决，倘若能利用数形结合的方法,则抽象问题又会变得更加具体形象,更有利于问题的解决。

参考文献：
【1】清华大学附属中小学网校
【2】例谈抽象函数问题周岳金
抽象函数问题的一般解法
类别：数学
作者：罗彩荣
滁州市定远县第二中学
2010．6．8。