《数学史》几何学的变革(下)解析

它的对偶形式则是：
如果将一圆锥曲线的6条切线 看成是一个六边形的边，那 么相对的顶点的连线共点。
帕斯卡定理的对偶形式是布里昂雄 (C.J.Brianchon)在1806年发现的，所以常被称为 布里昂雄定理，而这离帕斯卡最初陈述他的定理 已有近二百年的光景．
虽然布里昂雄发现了帕斯卡定理的对偶定理， 但包括他在内的许多数学家对于对偶原理为什么行 得通仍是不清楚，事实上，布里昂雄还曾怀疑过这 个原理．
庞斯列强调的另一个原理是对偶原理．射影几何 的研究者们曾经注意到，平面图形的“点”和“线” 之间存在着异乎寻常的对称性，如果在它所涉及的定 理中，将“点”换成“线”，同时将“线”换成 “点”，那么就可以得到一个新的定理．例如考虑著 名的帕斯卡定理：如果将一圆锥曲线的6个点看成是一 个六边形的顶点，那么相对的边的交点共线 。
与德沙格和帕斯卡等不同，庞斯列并不限于考虑 特殊问题． 他探讨的是一般问题：图形在投射和截影下保持 不变的性质 ，这也成为他以后，射影几何研究的主 题．
由于距离和交角在投射和截影下会改变，庞斯列 选择并发展了对合与调和点列的理论而不是以交比的 概念为基础． 与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而 不是平行投影，并将其提高为研究问题的一种方 法．在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中，有两 个基本原理扮演了重要角色．
首先是连续性原理，它涉及通过投影或其他方法 把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变 性．用庞斯列本人的话说，就是：“如果一个图形从 另一个图形经过连续的变化得出，并且后者与前者一 样地—般，那么可以马上断定，第一个图形的任何性 质第二个图形也有．”
作为这个原理的一个例 子，庞斯列举了圆内相交弦的 截段之积相等的定理，当交点 位于圆的外部时，它就变成了 割线的截段之积的相等关系． 而如果其中的一条割线 变成圆的切线，那么这个定 理仍然成立，只不过要把这 条割线的截段之积换成切线 的平方。
到 1850 年前后，数学家们对于射影几何与欧 氏几何在一般概念与方法上已作出了区别，但对 这两种几何的逻辑关系仍不甚了了．即使是综合 派的著作中也依然在使用长度的概念，例如作为 射影几何中心概念之一的交比，就一直是用长度 来定义的，但长度在射影变换下会发生改变，因 而不是射影概念．
施陶特在1847年出版的《位置几何学》中提出一套方案， 通过给每个点适当配定一个识别标记(也称作坐标)而给交比作 x1 , x2 , x3 , x4 了重新定义．如果四点的“坐标”记为 ，那么交 比就定义为
这个原理卡诺也曾用过，但庞斯列将它发展到 包括无穷远点的情形．因此，我们总可以说两条 直线是相交的，交点或者是一个普通的点，或者 是一个无穷远处的点(平行线的情形)．
除了无穷远元素，庞斯列还利用连续性原理 来引入虚元素．例如两个相交的圆，其公共弦当 两圆逐渐分离并变得不再相交时，就成为虚 的．无穷远元素与虚元素在庞斯列为达到射影几 何的一般性工作中发挥了重要作用．
9.4 射影几何的繁荣
非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间 的欧氏几何变成了某种特例．
实际上，如果将欧几里得几何限制于其原先的涵 义——三维、平直、刚性空间的几何学，那么19世 纪的几何学就可以理解为一场广义的“非欧”运动： 从三维到高维；从平直到弯曲；…而射影几何的发 展，又从另一个方向使“神圣”的欧氏几何再度 “降格”为其他几何的特例．
第九章
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几何学的变革
几何，就是研究空间结 构及性质的一门学科。它是 数学中最基本的研究内容之 一，与分析、代数等等具有 同样重要的地位，并且关系 极为密切。
几何学发展
• 几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、 数论等等关系极其密切。
• 几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各 分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法 去探讨各数学理论。
x1 x2 x ,y x3 x3
齐次坐标成为代数地推导包括对偶原理在内许多 射影几何基本结果的有效工具．但这种代数的方法遭 到了以庞斯列为首的综合派学者的反对，19世纪的射 影几何就是在综合的与代数的这两大派之间的激烈争 论中前进的． 支持庞斯列的数学家还有斯坦纳 (J.Steiner) 、沙 勒 (M.Chasles) 和施陶特 (K.G.C.von Staudt) 等，其中 施陶特的工作对于确立射影几何的特殊地位有决定性 的意义．
在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框 架下被研究的，其早期开拓者德沙格（法国）、帕 斯卡（法国）等主要是以欧氏几何的方法处理问题， 并且他们的工作由于18世纪解析几何与微积分发展 的洪流而被人遗忘． 到 18 世纪末与 19 世纪初，蒙日（《画法几何 学）》等人的工作，重新激发了人们对综合射影几何 的兴趣． 不过，将射影几何真正变革为具有自己独立的目 标与方法的学科的数学家，是曾受教于蒙日的庞斯列 (J-V.Poncelet，1788—1867)．
庞斯列曾任拿破仑远征军的工兵中尉，1812年 莫斯科战役法军溃败后被俘，度过了两年铁窗生 活． 然而正是在这两年里，庞斯列不借助于任何 书本，以炭代笔，在俄国萨拉托夫监狱的墙壁上 谱写了射影几何的新篇章． 庞斯列获释后对自己在狱中的工作进行了修 订、扩充，于1822年出版了《论图形的射影性 质》，这部著作立即掀起了19世纪射影几何发展 的巨大波澜，带来了这门学科历史上的黄金时 期．
庞斯列射影几何工作中很重要的一部分，就是 为建立对偶原理而发展了配极的一般理论．他深入 研究了圆锥曲线的极点与极线的概念，给出了从极 点到极线和从极线到极点的变换的一般表述．
与庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时， 德国数学家默比乌斯(A.P.Mobius，1790—1868)和 普吕克(J.Plucker，1801—1868)开创了射影几何研究 的解析(或代数)途径． 默比乌斯在《重心计算》(1827) 一书中第一次引 进了齐次坐标，这种坐标后被普吕克发展为更一般的 形式，它相当于把笛卡儿坐标 x, y 换成