控制系统的时域数学模型

ur(t)=1(t)，求 uc(t)
i 1(t) R1
ur(t)
C1
解：R1C1
duc dt

uc

ur
R1C1sUc (s) R1C1uc (0) Uc (s) Ur (s)
sUc (s) 0.1 Uc (s) Ur (s)
1
0.1
Uc (s) s(s 1) s 1
⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
例题：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug ue+ u1
-
功率
+
u u 2 放大器 a
w Mc
负载
uf
[解]：⑴该系统的组成和原理；
测速发电机
⑵该系统的输出量是w ，输入量是ug，扰动量是 M c
(x x0 ) ，即y

dy dx
| x x0
x

Kx
式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，
是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工
作点附近展开。
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附
近展开。设双变量非线性方程为：y f (x1，, x2工) 作点为
设具有连续变化的非线性函数
y=f(x)如图所示 y
y0 y0
y0
B y f (x) A
0 x0 x0 x x
若取某一平衡状态为工作点，如下图中的A(x0,y0)。A 点附近有点为A(x0+x,y0+y)，当x很小时，AB段可 近似看做线性的。
设f(x)在 A(x0, y0 )点连续可微，
u ⑶速度控制系统方块图：
u u g
e 运放Ⅰ 1 运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc w
电动机
-
uf
测速
系统输出w 系统输入参考量 u g
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、 功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机
运放1 运放2 功放
u1 K1 (u g u f ) K1ue
y
则将函数在该点展开为泰勒级
数，得：y

f
(x0 )
df (x) dx
| x x0
y0
(x x0 )
y0
y0

1 df 2(x) 2! dx2
| x x0
(x
x0 )2
...
0
B y f (x) A
x0 x0 x x
若 x很小，则 y
y0

dy dx
| x x0
m

b0 (s z1 )(s z2 )
(s zm )
K*
(s zi )
i1
a0 (s p1 )(s p2 ) (s pn )
n
(s p j )
j 1
jw
0
z2 z1
K * b0 a0
称为传递系数或根轨迹系数
传递函数写成因子连乘积的形式
G(s) C(s) b0 s m b1s m1 bm1s bm R(s) a0 s n a1s n1 an1s an

bm
(
1s

1)(
2 2
s
2
2 2 2 s
1)
( i s 1)
an (T1s 1)(T22 s 2 2 2T2 s 1) (T j s 1)
m
K
bm
K*
(zi )
i
an
n
( p j )
,
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K1

R2 R1
u2

K 2 (
du1 dt
u1)
,
R1C ,
K2

R2 R1
ua K3u2
直流电动机
Tm
dw m dt
wm

Kmua
KC M C
减速器（齿轮系）
w

1 i
w
m
测速发电机
ut Ktw
消去中间变量
ut u1 u2 ua wm
控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为
R
引入新课： ui(t)
C
uo(t)
RC
duo (t) dt

uo
(t)

ui
(t)
L
R
ui(t)
C
uo(t)
一、传递函数的定义
零初始条件下，输出量拉氏变换 输入量拉氏变换
r(t)—输入量， c(t)—输出量 R(s)=L[r(t)], C(s)=L[c(t)]
G(s) C(s) R(s)
零初始条件
idt
②
代入①得：
LC
d 2uo dt2

RC
duo dt
uo

ui
控制系统的微分方程
例题：列写电枢控制直流电动机的微分方程
La ua ia
Ra
wm Jm fm
Ea SM
负载
MC
取电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc为输入量，输出 是转速w
电枢回路方程为
La
dia (t) dt

Raia
(t)

Ea
(t)

ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dwm (t)
dt

fmwm (t)

Mm

M C (t)
若以角速度w m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
La
Jm
d
2w m
dt 2
(t)

(La
fm

Ra
Jm
)
dwm (t)
dt

(Ra
fm

CmCe )wm (t)

Cmua (t)

La
dM C dt
(t)

Ra M C
(t)
Ra
La J m fm CmCe
d 2wm (t)
dt2

La Ra
fm fm
Ra Jm CmCe
dwm (t)
dt
wm (t)

Ra
Cm fm CmCe
在国际单位制中，m、f和k的单位分别为：kg、N s / m、N / m
二、控制系统微分方程的建立
1、步骤
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。
⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。
x
fx
[解]：图1和图2分别为系统原理结构图
mx 和质量块受力分析图。图中，m为质量，
图1
图2
f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
d2x m dt2

F

f
dx dt
kx
整理得
d2x m dt2

f
dx dt
kx
F
这也是一个二阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
y0 f (x1。0 , 则x20可) 近似为：
y K1x1 K2x2
式中：x1 x1， x10 x2。 x2 x20
为K与1 工作xy1 |点xx12x有x1200 ,关K2的 常xy数2 |xx。12xx1200
2-2 控制系统的复数域数学模型
（1）t<0,输入量及其各阶导数均为0 （2）t<0,输出量及其各阶导数均为0
思考：
(1)为何要规定零初始条件？
(2)规定初始条件为零是否可行？
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
a0
dn dt n
c(t)
a1
d n1 dt n1
c(t)

an1
d dt
c(t)
a n c(t )
TL

La Ra
,
当电枢回路的电感可以忽略不计
Tm
dwm (t)
dt
wm
(t)

K1ua
(t)

K2MC
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K2 Ra (Ra fm CmCe )
K1 Cm (Ra fm CmCe )
若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽 略不计，则上式可进一步简化
uc (t ) 1 et 0.1et
零初始条件下取拉氏变换： R1C1sUc (s) Uc (s) Ur (s)
Uc (s)
1
Ur (s) R1C1s 1
uc(t)
三、非线性微分方程的线性化
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。 在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工 程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较 大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程， 可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得 到等效的线性环节。
1/Cs C
uo(t)
求 Uo(S)
Ui(S)
解：
LC
d
2uo (t) dt 2

RC
duo (t) dt

uo
(t)

ui
(t)
(LCs2 RCs 1)Uo (s) Ui (s)
G(s) Uo(s)
1
Ui (s) LCs2 RCs 1
例题： 试求电枢控制直流电动机的传递函数
数学模型表示方法
时域模型
数学模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
建立控制系统的数学模型方法有分析法 （机理建模法）和实验法（系统辨识）。
分析法是根据系统各部分的运动机理进行 分析，列写相应的运动方程。
实验法是给系统施加测试信号，记录其输 出响应。
2-1 控制系统的时域数学模型
二、线性元件的微分方程 1、建立步骤
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图 2-4 控制系统的信号流图
数学模型是描述系统内部物理量(或变 量)之间关系的数学表达式。 数学模型可 以有多种形式。在经典理论中，常用的数 学模型是微（差）分方程、传递函数、结 构图、信号流图、频率特性等；在现代控 制理论中，采用的是状态空间表达式。结 构图、信号流图、状态图是数学模型的图 形表达形式。
自由解+强迫解（零输入响应+零
➢ 拉氏变换求解法：
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表
达式，即为所求微分方程的解。
1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换， 得到变量s的代数方程；
2.2.1 2.2.2 2.2.3
例题： 已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,
1、 G(s)是复函数，且 m n?
2、 G(s)与r(t)无关，只与系统自身的结构参数有关
d/dt s
3、 G(s)
微分方程
s d/dt
4、 G(s)是单位脉冲响应的拉氏变换
三、传递函数的零点与极点
G(s) C(s) b0 s m b1s m1 bm1s bm R(s) a0 s n a1s n1 an1s an
dm
d m1
d
b0 dt m r(t) b1 dt m1 r(t) bm1 dt r(t) bmr(t)
G(s)

C(s) R(s)

b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
K K
bm1s an1s
bm an
例题：
Ls L
R
ui(t)
Tm
dwm (t)
dt
wm
(t)

K1ua
(t)

K2MC
(t)
解：
根据线性叠加原理，分别研究U a (t)到wm (t)和 M c (t)到
wm (t) 的传递函数
G(s) m (s) K1
U a (s) Tm s 1
Gm
(s)

m
Mc
(s) (s)

K2 Tm s 1
二、传递函数的性质
wm
(t)

1 Ce
ua
(t)
例题： 图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量 在 输入量为外力F，输出量为位移x。
阻尼器是一种产生粘性摩擦的装置，由活塞和
Fk
F k x 充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何
相对运动都将受到油液的阻滞。阻尼器用来吸
m
m
收系统的能量并转变为热量而散失掉。
f
（1） 确定输入和输出量 （2） 依据定律列写原始方程
（3） 消去中间变量，写出微分方程 （4） 将微分方程标准化。
例题：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
ui 输入
uo 输出
由②：i C d，uo dt
[解]：据基尔霍夫电路定理：
uo
L
di dt

Ri

1 C

idt

ui
①
uo

1 C
ua (t)
Ra
La fm CmCe
dMC (t) dt

Ra
Ra fm CmCe
MC (t)
TLTm
d 2wm (t)
dt2
(TL
Ra
Ra fm fm CmCe

Tm
)
dwm (t
dt
)
wm (t)

K1ua
(t)

K3
dMC (t) dt

K2MC
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K1 Cm (Ra fm CmCe ) K2 Ra (Ra fm CmCe ) , K3 La (Ra fm CmCe ) ,
Tm

(iTm

K1K2K3Km Kt)
(i

K1K2K3Km Kt
)
K g

K1K 2 K3 K m
(i K1K 2 K3 K m Kt )
K g K1K 2 K3 K m (i K1K 2 K3 K m Kt )
三、线性定常微分方程的求解 ➢ 直接求解法：通解+特解
状态响应）