微分求积法求解变截面功能梯度梁的弯曲问题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
Q , ( )
( 5)
( 2) 梁的弯曲刚度沿长度方向呈指数变化, 即 EI = E 0 I 0 F( ) , F( ) = e , 此时控制方程为 d4 W d3 W + 4 + 2 d d 3
2 2 d2 W = Qe . d2
( 7)
计算中均考虑两端简支功能梯度变截面梁, 边界条件为 W = 0, d W = 0, 1 处 2 = 0, 在 d ( 8)
2 df ( x ) 2 d g( x ) d w + 3 + f ( x ) dx g( x ) dx dx 1 d2 f ( x ) 2 df ( x ) d g( x ) 1 d2 g( x ) d 2 w q + + , 2 2 = f ( x ) dx f ( x ) g( x ) dx dx g( x ) d x 2 dx E 0 I 0 f ( x ) g( x )
4 2 2
( 3)
( ) , ( ) = ( - 1 ) + 1, f ( ) = ! ( ), ! ( ) = ( ∀- 1) + 1, 12( - 1) 2 8( - 1) ( ∀- 1) d2 W Q + , 2 2 = 4 ( ) ! ( ) ( ) d !( ) ( )
3 2 2
其中 = d l / d 0 , ∀= E l / E 0 . 将 f ( ) 与 g( ) 代入式( 3 ) 得控制方程 - 1 4 ( - 1 ) d3 W d4 W + 2 ∀ + 4 3 + ! ( ) ( ) d d
第 22 卷 第 1 期 2010 年 3 月
甘 肃科 学 学报 Journal of G an su Sciences
V ol. 22 N o. 1 M ar. 2010
微分求积法求解变截面功能 梯度梁的弯曲问题
张靖华, 龚 云, 李世荣
730050) ( 兰州理工大学 理学院 , 甘肃 兰州
摘 要: 应用微分求积法( DQM) 分析变截面功能梯度梁的弯曲. 基于 Euler 梁理论 , 同时考虑横 截面尺寸和材料参数沿长度梯度变化, 建立基本方程. 采用 DQM 对变系数高阶微分方程进行数值 求解 . 首先 , 退化为等截面均匀材料梁得到数值结果 , 并与解析解比较 , 说明了 DQM 的有效性和精 确性 . 其次 , 分别考虑横截面尺寸和材料物性参数沿轴向连续变化, 给出功能梯度梁的挠度的数值 解, 并分析几何参数 、 物理参数沿轴线变化时梁挠度的变化规律 . 关键词: 功能梯度材料 ; 微分求积法; 变截面梁; 数值解 O343 文献标志码: A 文章编号: 1004 0366( 2010) 01 0014 04 中图分类号:
[ 2] [ 3] [ 1]
荷载作用下 Euler 悬臂梁的弯 曲. 文 献 [ 4] 采用打 靶法求解两端固定功 能梯度 Euler 梁的热 过屈曲 及自由振动. 赵凤群等
[ 5]
采用打靶法分析由二氧化
锆和 T i 6Al4V 2 种材料组成的 FGM 杆的热后屈 曲行为 . 徐腾飞等 [ 6] 使用 F robenius 法 求解了变截 面 Euler 梁的振动频率与振型 . 文献[ 7] 还将 DQM 法用于 分析非 柱形曲 梁的横 向振 动. M alelkzadeh
对悬臂梁满应力截面进行 采用无网格法求解了线性
收稿日期 : 2009 09 03 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( 10872083) , 兰州理工大学科研发展基金 ( BS10200902)
第 22 卷
[ 8]
张靖华等 : 微分求积法求解变截面功能梯度梁的弯曲问题
15
等 采用 DQM 和 FEM 混合法求解双参数弹性地 基上梁自由振动和屈曲问题 , 并考虑了横向剪切变 形的影响. 文献 [ 9] 用 DQM 法成功地 分析了置 于 非线性弹性地基上的复合材料梁大振幅振动 , 证明 了 DQM 求解非线性 振动有效 性. 以 下采用 DQ M 法分析变截面功能梯度梁的弯曲, 考察 DQM 对变 系数的四阶微分方程 2 点边值问题求解的有效性 , 分析几何参数和物理参数连续 变化时功能梯 度变 截面梁的弯曲特性 . dw+ 4 dx
4
( 4)
当 ∀= 1 时 , 梁的弹性模量 E 为定值 , 横截面连续变化, 此时控制方程为 d W + 8( - 1) d W + 12( - 1) d W = 2 d4 ( ) d3 ( ) d2 当 = 1, 梁的横截面为定值, 弹性模量连续变化, 此时控制方程为 d4 W + d4 2( ∀- 1) d3 W Q = , ! ( ) d3 !( ) ( 6)
3
( 2)
引入无量纲量 = x , W = w , Q = ql 得无量纲形式的控制方程 l E 0I 0 l 4 2 df ( ) 2 dg ( ) d 3 W dW+ + 4 3 + f( ) d g( ) d d d 1 df( )+ 2 d f ( ) dg ( ) + 1 d g( ) d2 W Q 2 = , f( ) d f ( ) g( ) d d g( ) d 2 d2 f ( ) g( ) 具体数值计算时 , 考虑如下 2 种情况功能梯度变截面梁 : ( 1) 圆截面梁 , 假设梁的直径和弹性模量均沿长度方向线性变化, 即 g( ) =
k= 1, j ! i k ! i, j N
∀
N
(xi - xk) /
k= 1 j ! i, k ! j
∀
N
( xj - xk),
A (ii 1) =
k= 1 k ! i, j ! i
1 , i , j = 1, 2, (xi - xk)
N
,N
二阶及二阶以上权系数满足
N
A =
k= 1
k ij
A A
1 ik
2
数值方法
采用微分求积法对 变系 数高 阶 微分 方程 进行 数值 求解 . 设区 间 [ 0, 1 ] 上有 N 个 互不 重 合的 结点 0= 1 < 2 < 3 < < N = 1, 采用非均匀结点划分公式
i
#( i - 1) = 1 1 - cos , i = 1, 2, 2 N- 1
,N
( 9)
2 2
( ) , D = Q/ ,D= Qe
-
4
( ) ; 对式( 6) 离散
时为 D = Q/ ! ( ) , B = 2( ∀ - 1) / ! ( ) , C = 0 ; 式( 7)
2
.
3
结果讨论
为了说明 DQM 法计算 结果 的可靠 性和收 敛
性, 首先给出将功能梯度变截面简支梁退化为均质 梁, 给定无量纲载荷 Q = 1, 取结点数为不同值时梁 的挠度数值解与解析解的比较见图 1. 图 1 可以看 出随结点数增加 , 数值结果的误差逐渐缩小, 当结点 数为 13 时 , 二者 已 经 非 常 接 近, 平 均 误 差 为 0. 47% . 所以后续计算时均取 13 个结点. 梁的弹性模量为常数, 横截面直径线性变化 , 取不同值时 梁挠 度的 变 化规 律见 图 2, 其 中给 定 Q= 1 . 从图 2 可 以看出当弹性模量为常数 , 横截面 尺寸连续变化时梁的最大挠度发生在中点偏右的位 置, 并且随着 取值的增大逐渐减少 , 随 大挠度所在位置也逐渐趋于梁的中点. 的增大最
4 3
1
控制方程
考虑变截面梁, 长为 l , 材料特性沿长度连续变
化 , 作用横向载荷 q, 梁的弯曲平衡方程为
2 d2 EI d w = q, 2 dx 2 dx
( 1)
假设梁的弹性 模量与横截面尺寸均沿 轴线连续变 化 , 可设为 E = E 0 f ( x ) 、 I = I 0 g( x ) , 将其带入式 ( 1 ) 得问题的基本控制方程
16 离散后全部结点位移表示为 [ X ] T = { W 1, W 2, 根据微分求积法基本理论 [ 7~ 9]
N
甘 肃 科 学 学 报
2010 年
第1期
, WN }T
W (i k) =
( k)
j = 1, j ! i
A (ij k) W j ,
( k)
式中 W 为 W 对 的 k 阶导数, A ij 为 k 阶导数的 权系数. 其中一阶导数的权系数为 A (ij 1) =
Bending of Functionally Graded Beam with Variable Cross Sections by Differential Quadrature Method
ZH ANG Jing hua, GONG Yun, L I Shi rong
( School of Sciences , L anz hou Univer sity of Science and T echnology , L anz hou 730050, China)
( k- 1) kj
=
=
k= 1
A (ikk- 1) A 1 kj .
为了考察材料参数沿轴向梯度变化时对梁变形 的影响 , 梁的横截面尺寸为常数 , 弹性模量沿轴向线 性变化时挠度见图 3 . 从图 3 可以看出当横截面尺 寸为常数, 材料参数 ∀取不同值时梁的最大挠度没 有发生在梁的中点 , 而在中点偏右的位置 . 并且梁的 挠度随着 ∀取值的增大逐渐减小.
将控制方程( 5 ) ~ ( 7) 及边界条件 j = 1, j ! i N N
A (ij 4) W j + B
j = 1, j ! i
A (ij3) W j + C
j = 1, j ! i
A (ij2) W j = ( 10) ( 11) ( 12)
Abstract: T he bending of f unct io nally g raded m at erial ( FGM ) beam w it h v ariable cross sect ions is ana l yzed by using diff erent ial quadrat ure met ho d ( DQM ) . Based o n t he theory o f Euler beam, considering the variat ions of cross sect ion and g radient o f the mat erials along t he ax ial co ordinate, t he go ver ning equat io ns ar e derived. DQM is used t o num erically solve higher order diff er ent ial equat io ns w ith variable coeff icient s. First ly, comparisons bet w een the numerical results and analyt ical r esult s fo r t he hom ogeno us beam are g iv en, w hich show s t he ef f iciency and accur acy o f the DQM . T hen, def lect ions of t he FGM beam w it h t he var ied m at erial pro pert ies and t he cross sect ions are obt ained. T he variat ions of t he def lect ion w it h t he parame t ers of g eo met ric and gradient of t he mat er ials changing alo ng t he axial coor dinat e are ex am ined. Key words: f unctionally graded m aterial; dif ferent ial quadr at ure m et hod; v ar iable cross sect ion beam; numerical so lut ion 轻质高强材料的不断 出现和材料技术的 飞速 发展使得外形美观、 受力合理的构件与结构不断的 出现 . 其中变截面 结构已得到推广应 用, 对其 力学 行为的 研 究 也 受 到人 们 的 关 注 . Piov an 和 Sam paio 采用有 限元法 分析了 功能 梯度可 伸长梁 的 轴向振动问题 . 李清禄 了设计求解 . 王东东等
D, i = 3 , 4,
N
,N- 2
W( W(
1
) = 0, ) = 0,
j = 1, j ! i N
A A
( 2) 2j
W j = 0, W j = 0,
n
( 2) n- 1j
j = 1, j ! i
其中 B 、 C 和 D 为与弹性模量和截面尺寸变化有关 的系数, 对式( 5 ) 进行离散时为 B = 8( - 1) / ( ) , C = 12 ( - 1 ) / 为B = 2 , C=
Q , ( )
( 5)
( 2) 梁的弯曲刚度沿长度方向呈指数变化, 即 EI = E 0 I 0 F( ) , F( ) = e , 此时控制方程为 d4 W d3 W + 4 + 2 d d 3
2 2 d2 W = Qe . d2
( 7)
计算中均考虑两端简支功能梯度变截面梁, 边界条件为 W = 0, d W = 0, 1 处 2 = 0, 在 d ( 8)
2 df ( x ) 2 d g( x ) d w + 3 + f ( x ) dx g( x ) dx dx 1 d2 f ( x ) 2 df ( x ) d g( x ) 1 d2 g( x ) d 2 w q + + , 2 2 = f ( x ) dx f ( x ) g( x ) dx dx g( x ) d x 2 dx E 0 I 0 f ( x ) g( x )
4 2 2
( 3)
( ) , ( ) = ( - 1 ) + 1, f ( ) = ! ( ), ! ( ) = ( ∀- 1) + 1, 12( - 1) 2 8( - 1) ( ∀- 1) d2 W Q + , 2 2 = 4 ( ) ! ( ) ( ) d !( ) ( )
3 2 2
其中 = d l / d 0 , ∀= E l / E 0 . 将 f ( ) 与 g( ) 代入式( 3 ) 得控制方程 - 1 4 ( - 1 ) d3 W d4 W + 2 ∀ + 4 3 + ! ( ) ( ) d d
第 22 卷 第 1 期 2010 年 3 月
甘 肃科 学 学报 Journal of G an su Sciences
V ol. 22 N o. 1 M ar. 2010
微分求积法求解变截面功能 梯度梁的弯曲问题
张靖华, 龚 云, 李世荣
730050) ( 兰州理工大学 理学院 , 甘肃 兰州
摘 要: 应用微分求积法( DQM) 分析变截面功能梯度梁的弯曲. 基于 Euler 梁理论 , 同时考虑横 截面尺寸和材料参数沿长度梯度变化, 建立基本方程. 采用 DQM 对变系数高阶微分方程进行数值 求解 . 首先 , 退化为等截面均匀材料梁得到数值结果 , 并与解析解比较 , 说明了 DQM 的有效性和精 确性 . 其次 , 分别考虑横截面尺寸和材料物性参数沿轴向连续变化, 给出功能梯度梁的挠度的数值 解, 并分析几何参数 、 物理参数沿轴线变化时梁挠度的变化规律 . 关键词: 功能梯度材料 ; 微分求积法; 变截面梁; 数值解 O343 文献标志码: A 文章编号: 1004 0366( 2010) 01 0014 04 中图分类号:
[ 2] [ 3] [ 1]
荷载作用下 Euler 悬臂梁的弯 曲. 文 献 [ 4] 采用打 靶法求解两端固定功 能梯度 Euler 梁的热 过屈曲 及自由振动. 赵凤群等
[ 5]
采用打靶法分析由二氧化
锆和 T i 6Al4V 2 种材料组成的 FGM 杆的热后屈 曲行为 . 徐腾飞等 [ 6] 使用 F robenius 法 求解了变截 面 Euler 梁的振动频率与振型 . 文献[ 7] 还将 DQM 法用于 分析非 柱形曲 梁的横 向振 动. M alelkzadeh
对悬臂梁满应力截面进行 采用无网格法求解了线性
收稿日期 : 2009 09 03 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( 10872083) , 兰州理工大学科研发展基金 ( BS10200902)
第 22 卷
[ 8]
张靖华等 : 微分求积法求解变截面功能梯度梁的弯曲问题
15
等 采用 DQM 和 FEM 混合法求解双参数弹性地 基上梁自由振动和屈曲问题 , 并考虑了横向剪切变 形的影响. 文献 [ 9] 用 DQM 法成功地 分析了置 于 非线性弹性地基上的复合材料梁大振幅振动 , 证明 了 DQM 求解非线性 振动有效 性. 以 下采用 DQ M 法分析变截面功能梯度梁的弯曲, 考察 DQM 对变 系数的四阶微分方程 2 点边值问题求解的有效性 , 分析几何参数和物理参数连续 变化时功能梯 度变 截面梁的弯曲特性 . dw+ 4 dx
4
( 4)
当 ∀= 1 时 , 梁的弹性模量 E 为定值 , 横截面连续变化, 此时控制方程为 d W + 8( - 1) d W + 12( - 1) d W = 2 d4 ( ) d3 ( ) d2 当 = 1, 梁的横截面为定值, 弹性模量连续变化, 此时控制方程为 d4 W + d4 2( ∀- 1) d3 W Q = , ! ( ) d3 !( ) ( 6)
3
( 2)
引入无量纲量 = x , W = w , Q = ql 得无量纲形式的控制方程 l E 0I 0 l 4 2 df ( ) 2 dg ( ) d 3 W dW+ + 4 3 + f( ) d g( ) d d d 1 df( )+ 2 d f ( ) dg ( ) + 1 d g( ) d2 W Q 2 = , f( ) d f ( ) g( ) d d g( ) d 2 d2 f ( ) g( ) 具体数值计算时 , 考虑如下 2 种情况功能梯度变截面梁 : ( 1) 圆截面梁 , 假设梁的直径和弹性模量均沿长度方向线性变化, 即 g( ) =
k= 1, j ! i k ! i, j N
∀
N
(xi - xk) /
k= 1 j ! i, k ! j
∀
N
( xj - xk),
A (ii 1) =
k= 1 k ! i, j ! i
1 , i , j = 1, 2, (xi - xk)
N
,N
二阶及二阶以上权系数满足
N
A =
k= 1
k ij
A A
1 ik
2
数值方法
采用微分求积法对 变系 数高 阶 微分 方程 进行 数值 求解 . 设区 间 [ 0, 1 ] 上有 N 个 互不 重 合的 结点 0= 1 < 2 < 3 < < N = 1, 采用非均匀结点划分公式
i
#( i - 1) = 1 1 - cos , i = 1, 2, 2 N- 1
,N
( 9)
2 2
( ) , D = Q/ ,D= Qe
-
4
( ) ; 对式( 6) 离散
时为 D = Q/ ! ( ) , B = 2( ∀ - 1) / ! ( ) , C = 0 ; 式( 7)
2
.
3
结果讨论
为了说明 DQM 法计算 结果 的可靠 性和收 敛
性, 首先给出将功能梯度变截面简支梁退化为均质 梁, 给定无量纲载荷 Q = 1, 取结点数为不同值时梁 的挠度数值解与解析解的比较见图 1. 图 1 可以看 出随结点数增加 , 数值结果的误差逐渐缩小, 当结点 数为 13 时 , 二者 已 经 非 常 接 近, 平 均 误 差 为 0. 47% . 所以后续计算时均取 13 个结点. 梁的弹性模量为常数, 横截面直径线性变化 , 取不同值时 梁挠 度的 变 化规 律见 图 2, 其 中给 定 Q= 1 . 从图 2 可 以看出当弹性模量为常数 , 横截面 尺寸连续变化时梁的最大挠度发生在中点偏右的位 置, 并且随着 取值的增大逐渐减少 , 随 大挠度所在位置也逐渐趋于梁的中点. 的增大最
4 3
1
控制方程
考虑变截面梁, 长为 l , 材料特性沿长度连续变
化 , 作用横向载荷 q, 梁的弯曲平衡方程为
2 d2 EI d w = q, 2 dx 2 dx
( 1)
假设梁的弹性 模量与横截面尺寸均沿 轴线连续变 化 , 可设为 E = E 0 f ( x ) 、 I = I 0 g( x ) , 将其带入式 ( 1 ) 得问题的基本控制方程
16 离散后全部结点位移表示为 [ X ] T = { W 1, W 2, 根据微分求积法基本理论 [ 7~ 9]
N
甘 肃 科 学 学 报
2010 年
第1期
, WN }T
W (i k) =
( k)
j = 1, j ! i
A (ij k) W j ,
( k)
式中 W 为 W 对 的 k 阶导数, A ij 为 k 阶导数的 权系数. 其中一阶导数的权系数为 A (ij 1) =
Bending of Functionally Graded Beam with Variable Cross Sections by Differential Quadrature Method
ZH ANG Jing hua, GONG Yun, L I Shi rong
( School of Sciences , L anz hou Univer sity of Science and T echnology , L anz hou 730050, China)
( k- 1) kj
=
=
k= 1
A (ikk- 1) A 1 kj .
为了考察材料参数沿轴向梯度变化时对梁变形 的影响 , 梁的横截面尺寸为常数 , 弹性模量沿轴向线 性变化时挠度见图 3 . 从图 3 可以看出当横截面尺 寸为常数, 材料参数 ∀取不同值时梁的最大挠度没 有发生在梁的中点 , 而在中点偏右的位置 . 并且梁的 挠度随着 ∀取值的增大逐渐减小.
将控制方程( 5 ) ~ ( 7) 及边界条件 j = 1, j ! i N N
A (ij 4) W j + B
j = 1, j ! i
A (ij3) W j + C
j = 1, j ! i
A (ij2) W j = ( 10) ( 11) ( 12)
Abstract: T he bending of f unct io nally g raded m at erial ( FGM ) beam w it h v ariable cross sect ions is ana l yzed by using diff erent ial quadrat ure met ho d ( DQM ) . Based o n t he theory o f Euler beam, considering the variat ions of cross sect ion and g radient o f the mat erials along t he ax ial co ordinate, t he go ver ning equat io ns ar e derived. DQM is used t o num erically solve higher order diff er ent ial equat io ns w ith variable coeff icient s. First ly, comparisons bet w een the numerical results and analyt ical r esult s fo r t he hom ogeno us beam are g iv en, w hich show s t he ef f iciency and accur acy o f the DQM . T hen, def lect ions of t he FGM beam w it h t he var ied m at erial pro pert ies and t he cross sect ions are obt ained. T he variat ions of t he def lect ion w it h t he parame t ers of g eo met ric and gradient of t he mat er ials changing alo ng t he axial coor dinat e are ex am ined. Key words: f unctionally graded m aterial; dif ferent ial quadr at ure m et hod; v ar iable cross sect ion beam; numerical so lut ion 轻质高强材料的不断 出现和材料技术的 飞速 发展使得外形美观、 受力合理的构件与结构不断的 出现 . 其中变截面 结构已得到推广应 用, 对其 力学 行为的 研 究 也 受 到人 们 的 关 注 . Piov an 和 Sam paio 采用有 限元法 分析了 功能 梯度可 伸长梁 的 轴向振动问题 . 李清禄 了设计求解 . 王东东等
D, i = 3 , 4,
N
,N- 2
W( W(
1
) = 0, ) = 0,
j = 1, j ! i N
A A
( 2) 2j
W j = 0, W j = 0,
n
( 2) n- 1j
j = 1, j ! i
其中 B 、 C 和 D 为与弹性模量和截面尺寸变化有关 的系数, 对式( 5 ) 进行离散时为 B = 8( - 1) / ( ) , C = 12 ( - 1 ) / 为B = 2 , C=