计算机科学与数学

Discrete Fields on Triangle Meshes
[Polthier and Preuss 2000]
• Need new field definitions for discrete irregular grids, such as a triangle mesh. • Discrete Vector Fields
详见：杨振宁，“爱因斯坦对物理学的贡献”
物理学的几何化
一个区域的边界是没有边界的。此缪毕乌斯（ Moebius)条带仅有一个表面，其边界是单一边缘，可 是边缘本身并无边界。关于此定理的进一步解释，见 图80b.2。[杨振宁：“爱因斯坦对物理学的贡献”， 插图由路易斯.富尔干尼(Louis Fulgoni )作。]
“Life is good for only two things: to study mathematics and to teach it.‖
Poisson Equation
f
2 2 2 2 x y
( x, y )
Boundary conditions
物理学的几何化
一个区域的边界本身没有边界。在左图中，带阴影的二维区 域有一个一维圈作其边界。此圈没有端点，即它本身并无边界。 中图的三维区域由一个封闭的二维曲面限定其范围。这个曲 面同样无边缘，也就是无边界。 若我们将此区域割开，抛去下部，则给了曲面一边缘。但同 时我们另外创造出一个平面，如右图所示。此图中的三维区域的 边界包括两部分，一为曲面，一为平面。每一部分都有边界，这 两个边界正好方向也相反，互相抵消，所以右图的三维 区域的总 边界也没有边界。
计算机科学与数学
郭百宁 微软亚洲研究院
“诸位在校，有两个问题应该问问自己： 第一，到浙大来做什么？第二，将来毕业 了做什么样的人？” 浙江大学前校长竺可桢
学习计算机科学 = 学习编程？
计算机科学
编程是工具（拳法招式） 数学是基础（内功心法）
增强数学功力，提高学习层次
物理学本身也分成了许多独立的领域，其中 每一个领域都可以消耗我们短促的一生的全部精 力，还不一定能满足我们获得更深奥知识的欲望 。在这里，大量彼此间无联系的试验数据也是人 们难以招架的。可是在这个领域中。我很快就学 会从一大堆充斥我们的头脑、分散我们对本质事 物注意力的东西中，分辨出哪些可能导致根本性 的结果，而置其他于不顾。 爱因斯坦
•


变分原理：测地线 微积分 微积分
莱布尼茨(1646-1716)

… 相信我，如果我可以重新开始学习，我将听 从柏拉图的建议，从数学开始。
——伽利略
数学的威力（魅力）
透过表面现象，看到最重要的基本原理
例：欧氏几何
科学的深入总是伴随与数学的深层次结合
例：物理学的几何化 抽象但威力巨大
– Piecewise constant vector fields, i.e. a constant vector within each triangle. The vector is coplanar with the triangle.
• Discrete Potential Fields
– Piecewise linear potential fields, i.e. the potential is a linear combination of piecewise-linear basis functions.
回到计算机科学。。。
透过表面现象，看到最重要的基本原理
学问的深入总是伴随与数学的深层次结合
Gradient-Based Algorithms for Shape Deformation
Shape deformation
Why it’s so hard?
Detail preservation Local changes global effects Seamless: No artifacts!
欧几里得(公元前350年) 《原本》
●
欧几里得几何公设
任意两点间可作唯一的直线 ■任何线段可以无限延长 ■以任一点为中心和任一距离为 半径可作一圆 ■所有直角彼此相等 ■对于一直线L和该直线外的一点 P，存在唯一通过P，并和L不 相交的直线。
■
源于少数原理，…却结出累累硕果， 这就是几何的骄傲。 ——牛顿
(x)
Density on Mesh
Analogy for Image
(x)
I
Image Density
Image (Potential) Image Gradient
g
g I
Relationships
g
Field
g I
g ds (x) div (g) lim
要掌握物理学基本原理方面的更 渊博的知识，离不开非常错综复杂的 数学方法。经过多年的独立科学研究 ，我才逐渐明白了这个道理。 爱因斯坦
科学的崛起总是伴随数学的突飞猛进
文艺复兴时期
• 笛卡儿(1596-1650) • 德萨格 (1591-1661)

解析几何：笛卡儿坐标系
射影几何
• 费马(1601-1665) • 牛顿 (1642-1727)
Pérez, Gangnet & Blake, «Poisson Image Editing »
Cloning by solving Poisson Equation
I div (I A )
s.t. I | I B |
IA
IB
Pérez, Gangnet & Blake, «Poisson Image Editing »
E
Electric Potential
E
Electric Field

(x)
E
Derivations
Gauss’s Law: Gauss’s theorem:
ds
E ds
S
S
V
(x) dv 0
S
V
E d s E dv
V
(x) E 0
min w dA

2
• The Poisson equation solves the same problem.
– It recovers an unknown scalar Βιβλιοθήκη Baiduunction from a given vector ―guidance‖ field and a boundary condition.
物理基本原理的几何命题
高斯定律是電磁學裏的重要定理，闡明了流出 封闭表面的电通量與封闭曲面内电荷之间的关 系。 法拉第电磁感应定律是电磁学中的一条基本定 律，跟变压器、电感元件及多种发电机的运作 有密切关系（任何封闭电路中感应电动势的大 小，等于穿过这一电路磁通量的变化率）。
几何命题：一个区域的边界是没有边界的
–
x i i Bi x
– where the weights for the bases are defined at the vertices of the grid.
Poisson Equation on Triangle Meshes
[Tong et al. 2003]
• A Poisson equation for discrete fields on triangle meshes can be defined.
ds


Physical origins
Electrostatic potential
(x) 0
Gravitational potential
4G (x)
Electrostatic potential
q1q2r F 3 4 0r
(x)

Charge Density
Or, “beauty” and “beast”?
Pérez, Gangnet & Blake, «Poisson Image Editing »
Gradient-Based Algorithms
Local changes global effects Detail preservation Seamless: Avoid artifacts by distributing errors using least-squares minimization

E
Gravitational potential
mMGr F r3
m
(x)

Mass Density
F mg

Gravitational Potential Force Field
g
(acceleration)
(x)
g
Relationships
g
Field
g
E
(x) 0
Poisson Equation
Relationships
E
Field
E
E ds (x) S div (E) lim 0 V
V 0

Potential

Density
(x) 0
(x) ( x0 , y0 )
S
V 0
V
I
Potential

Density
I (x)
g I
g ds (x) div (g) lim
S
V 0
V
I (x)
I (x)
Seamless Cloning
Precise selection: tedious and unsatisfactory Alpha-Matting: powerful but involved Seamless cloning: loose selection but no seams?
g ds 4G (x) div (g) lim
S
V 0
V

Potential

Density
4G (x)
Analogy for Geometry
g
Gradient on Mesh
g
(x)
(x) div (g)

Scalar field on Mesh (Potential)
Why it’s so hard?
Why it’s so hard?
Gradient-Based Algorithms
Siméon Denis Poisson
His teachers: Laplace, Lagrange, … Poisson’s terms:
Poisson's equation Poisson's integral Poisson distribution Poisson brackets Poisson's ratio Poisson's constant 1781-1840, France
w f *
wx wy wz 2 2 2 2 2 2 , w x y z x y z

“Beauty and beast”?
Pérez, Gangnet & Blake, «Poisson Image Editing »
Vector Fields and Poisson Equation
• Given a vector field w, how can we approximate it using the gradient field of a scalar function?
– Mathematically, we want to solve this minimization
Dirichlet boundary conditions:
f |
f | s
Neumann boundary conditions:
ds


Existence of solution
The solution of a Poisson Equation is uniquely determined in , if Dirichlet boundary conditions or Neumann boundary conditions are specified on