第二章 随机过程的基本概念
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2007年10月
Байду номын сангаас
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2} ，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时的一维和二维概率分布。 解、
1
x1 (n) cos(n /10)
xi (n, i ) A cos(0n i )
随机相位信号
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
(t1 , t2 ,
xn )
E{exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 )
exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 ) dF (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 ,
ui R, ti T , i 1, 2, 为随机过程{ X (t ),t T }的n维特征函数.
模拟自然界实际的随机过程 。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
50
100
150
200
伪随机序列
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
伪随机序列应用举例
GPS系统中的码分多址（CDMA）
GPS卫星
0
GPS接收机
伪随机码自相关函数
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
x 1 (n)
0
-1 0 20 40 60
1
x 2 (n)
x2 (n) cos(n /10 / 2)
0
-1 0 20 40 60
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
第二章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程的基本概念及定义
自然界变化的过程可以分为确知性过程和随机过程两大类
自 然 界 变 化 过 程
确知 过程
每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定
的函数，具有确定的变化规律。
•当t可变，ω固定时， X(t) 是一个确定的时间函数；
•当t可变，ω可变时， X(t) 是一个随机过程；
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、 设随机振幅信号
X (t ) Y cos0t
其中0 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，
求 t 0,
连续参数
参数集T的是一个不可列集T {t | t 0}
状态 分类
离散状态
取值是离散的
X (t )
连续状态 取值是连续的
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
状态 连续型随机过程 连续随机序列 连续 连续
时刻 连续 离散
离散型随机过程
离散随机序列
离散
离散
连续
离散
称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。
注
如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个 样本点（0，1）所组成的样本空间
如果在二个不同时刻 t1 ， t 2 观测试验结果
则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）
则{ x1 , x 2 }是一个二维随机变量
2007年10月
fX x, 2 ( x) 0
X 2 0 0
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
2.2 随机过程的分类和举例 1、按参数集和状态分类 离散参数 参数 分类 参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…}
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
贝努利过程 设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现 的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果 出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便 可得到一无穷序列
{ xn；n 1 ， 2， ；xn 1或0 }
因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0）， 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列， 称为随机序列，也可称为随机过程。 每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
设
P{ xn 1 }= p （第 n 次抛掷出现正面的概率） P{ xn 0 }= q = 1p （第 n 次抛掷出现反面的概率）
其中 P{ xn 1 } = p 与 n 无关，
且 x i 、 xk ( i k 时)是相互独立的随机变量。
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
X (n) A cos(0n )
设{ X (t ),t T }是随机过程，则当t固定时，X (t ) 定 义 是一个随机变量，称之为{ X (t ),t T }在t时刻的状 2 态。随机变量X (t )(t固定,t T )所有可能的取值构成 的集合，称为随机过程的状态空间，记为S。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
接收机噪声
2007年10月
t1
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数
一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X（t），t[0，24]。
研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X（t），t=1，2，… 随机过程 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有 规律的。
2 , 时的概率密度。 3 0 2 0
解、 由X(0)=Y可知 f X ( x,0)
1 2
e
x2 2
2 1 X 3 2Y 0
由上可得：
2 f X ( x, ) f Y ( y) J 3 0
y 2 x
J 2
2 2 2 x 2 f X ( x, ) e 3 0
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
•按概率分布分类
高斯随机过程
瑞利随机过程 对数正态随机过程
•按统计特性分类
平稳随机过程 非平稳随机过程
•按样本函数形式分类
确定随机过程 不确定随机过程
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时 间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随 机序列的特征，我们把它称为伪随机序列，伪随机序列可以用来
随机 过程
每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观 测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
F (ti1 , ti2 ,
tin ; xi1 , xi2 ,
相容性
设m n,则 F (t1 , t2 , , tm ; x1 , x2 , F (t1 , t2 ,
2007年10月
, xm ) , tn ; x1, x2 , , xm , , , )
, tm , tm1 ,
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
对于每一个 0 ， X (t ) 是一个确定的样本函数，
它反映了 X (t ) 的变化“过程” 。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
随机过程X(t,ω)四种不同情况下的意义：
•当t固定，ω固定时，X(t) 是一个确定值； •当t固定，ω可变时， X(t) 是一个随机变量；
说明1
参数集T在实际问题中，常常指的是时间参 数，但有时也用其它物理量作为参数集。
说明2 因为
随机过程{ X (t ) ， t T }是一个二元函数
对于每一个固定的时刻 t 0 T ，X (t0 ) 是一个随机变量，
并称作随机过程 X (t ) 在 t t 0 时的一个状态，
它反映了 X (t ) 的“随机”性；
随机过程n维特征函数的定义
设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t1 , t2 , tn T，X (t1 ), X (t2 ), tn ; x1 , x2 ,
, X (tn )是n个随机变量，称 un X (tn ))]} un X (tn ))] xn ) , n, j 1
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
1、随机过程的定义
定义1 设（, F , P）为一概率空间，T 是一个实的参数集，
定义在和T 上的二元函数X (，t )，如果对于任意固定 的t T，X ( ,t )是（, F , P）上的随机变量，则称： { X ( ,t ), , t T } 为该概率空间上的随机过程，简记为{ X (t ),t T }。
因此，一个随机过程的统计特性可由其有限维分布函数 族表达出来。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
随机过程有限维分布函数族具有对称性和相容性 对称性
设i1 , i2 ,
in是1, 2, F (t1 , t2 ,
, n的任一排列,则 xin ) xn ) tn ; x1 , x2 ,
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
n维分布函数的定义
一般地,设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t1 , t2 , tn T，X (t1 ), X (t2 ), F (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 , xn ) , X (tn ) xn ), tn T x1 , x2 , xn R; t1 , t2 , , X (tn )是n个随机变量，称
xi R; ti T , i 1, 2,
易知
称为随机过程{ X (t ),t T }的有限维分布函数族.
它不仅刻划了每一时刻 t1 T 随机过程 X (t ) 的状态
X (t1 ) 的分布规律，而且也刻划了任意时刻 t1 , t 2 ,, t n T 随机过程 X (t ) 的状态 X (t1 ) ， X (t 2 ) ，„， X (t n ) 之间的关系
2.3 随机过程的有限维分布函数族
设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t T，X (t )是一个随机变量，称 F (t ; x) P ( X (t ) x),x R, t T 为随机过程{ X (t ),t T }的一维分布函数;
设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t1 , t2 T，X (t1 ), X (t2 )是两个随机变量，称 F (t1 , t2 ; x1 , x2 ) P ( X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ), x1 , x2 R; t1 , t2 T 为随机过程{ X (t ),t T }的二维分布函数;
P( X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,
为随机过程{ X (t ),t T }的n维分布函数;
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
有限维分布函数族的定义
设{ X (t ),t T }是一随机过程，其一维分布函数, 二维分布函数, F {F (t1 , t2 , , n维分布函数, tn ; x1 , x2 , xn )}, , n, n N 的全体
Байду номын сангаас
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2} ，且取值概率各为1/2, 求 n1 0 ， n2 10 时的一维和二维概率分布。 解、
1
x1 (n) cos(n /10)
xi (n, i ) A cos(0n i )
随机相位信号
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 5 0 -5 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
(t1 , t2 ,
xn )
E{exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 )
exp[ j (u1 X (t1 ) u2 X (t2 ) dF (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 ,
ui R, ti T , i 1, 2, 为随机过程{ X (t ),t T }的n维特征函数.
模拟自然界实际的随机过程 。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
50
100
150
200
伪随机序列
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
伪随机序列应用举例
GPS系统中的码分多址（CDMA）
GPS卫星
0
GPS接收机
伪随机码自相关函数
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
x 1 (n)
0
-1 0 20 40 60
1
x 2 (n)
x2 (n) cos(n /10 / 2)
0
-1 0 20 40 60
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
第二章 随机过程的基本概念
2.1 随机过程的基本概念及定义
自然界变化的过程可以分为确知性过程和随机过程两大类
自 然 界 变 化 过 程
确知 过程
每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定
的函数，具有确定的变化规律。
•当t可变，ω固定时， X(t) 是一个确定的时间函数；
•当t可变，ω可变时， X(t) 是一个随机过程；
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例、 设随机振幅信号
X (t ) Y cos0t
其中0 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，
求 t 0,
连续参数
参数集T的是一个不可列集T {t | t 0}
状态 分类
离散状态
取值是离散的
X (t )
连续状态 取值是连续的
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
状态 连续型随机过程 连续随机序列 连续 连续
时刻 连续 离散
离散型随机过程
离散随机序列
离散
离散
连续
离散
称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。
注
如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个 样本点（0，1）所组成的样本空间
如果在二个不同时刻 t1 ， t 2 观测试验结果
则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）
则{ x1 , x 2 }是一个二维随机变量
2007年10月
fX x, 2 ( x) 0
X 2 0 0
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
2.2 随机过程的分类和举例 1、按参数集和状态分类 离散参数 参数 分类 参数集T的是一个可列集T={0，1，2，…}
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
贝努利过程 设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现 的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果 出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便 可得到一无穷序列
{ xn；n 1 ， 2， ；xn 1或0 }
因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0）， 所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列， 称为随机序列，也可称为随机过程。 每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独 立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
设
P{ xn 1 }= p （第 n 次抛掷出现正面的概率） P{ xn 0 }= q = 1p （第 n 次抛掷出现反面的概率）
其中 P{ xn 1 } = p 与 n 无关，
且 x i 、 xk ( i k 时)是相互独立的随机变量。
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
X (n) A cos(0n )
设{ X (t ),t T }是随机过程，则当t固定时，X (t ) 定 义 是一个随机变量，称之为{ X (t ),t T }在t时刻的状 2 态。随机变量X (t )(t固定,t T )所有可能的取值构成 的集合，称为随机过程的状态空间，记为S。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
接收机噪声
2007年10月
t1
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数
一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X（t），t[0，24]。
研究某一商品的销售量 一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X（t），t=1，2，… 随机过程 表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它 虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有 规律的。
2 , 时的概率密度。 3 0 2 0
解、 由X(0)=Y可知 f X ( x,0)
1 2
e
x2 2
2 1 X 3 2Y 0
由上可得：
2 f X ( x, ) f Y ( y) J 3 0
y 2 x
J 2
2 2 2 x 2 f X ( x, ) e 3 0
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
•按概率分布分类
高斯随机过程
瑞利随机过程 对数正态随机过程
•按统计特性分类
平稳随机过程 非平稳随机过程
•按样本函数形式分类
确定随机过程 不确定随机过程
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时 间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随 机序列的特征，我们把它称为伪随机序列，伪随机序列可以用来
随机 过程
每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观 测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。
2007年10月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
鸟叫声
爆破信号
2007年10月
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F (ti1 , ti2 ,
tin ; xi1 , xi2 ,
相容性
设m n,则 F (t1 , t2 , , tm ; x1 , x2 , F (t1 , t2 ,
2007年10月
, xm ) , tn ; x1, x2 , , xm , , , )
, tm , tm1 ,
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
对于每一个 0 ， X (t ) 是一个确定的样本函数，
它反映了 X (t ) 的变化“过程” 。
2007年10月
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随机过程X(t,ω)四种不同情况下的意义：
•当t固定，ω固定时，X(t) 是一个确定值； •当t固定，ω可变时， X(t) 是一个随机变量；
说明1
参数集T在实际问题中，常常指的是时间参 数，但有时也用其它物理量作为参数集。
说明2 因为
随机过程{ X (t ) ， t T }是一个二元函数
对于每一个固定的时刻 t 0 T ，X (t0 ) 是一个随机变量，
并称作随机过程 X (t ) 在 t t 0 时的一个状态，
它反映了 X (t ) 的“随机”性；
随机过程n维特征函数的定义
设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t1 , t2 , tn T，X (t1 ), X (t2 ), tn ; x1 , x2 ,
, X (tn )是n个随机变量，称 un X (tn ))]} un X (tn ))] xn ) , n, j 1
2007年10月
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1、随机过程的定义
定义1 设（, F , P）为一概率空间，T 是一个实的参数集，
定义在和T 上的二元函数X (，t )，如果对于任意固定 的t T，X ( ,t )是（, F , P）上的随机变量，则称： { X ( ,t ), , t T } 为该概率空间上的随机过程，简记为{ X (t ),t T }。
因此，一个随机过程的统计特性可由其有限维分布函数 族表达出来。
2007年10月
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随机过程有限维分布函数族具有对称性和相容性 对称性
设i1 , i2 ,
in是1, 2, F (t1 , t2 ,
, n的任一排列,则 xin ) xn ) tn ; x1 , x2 ,
2007年10月
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n维分布函数的定义
一般地,设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t1 , t2 , tn T，X (t1 ), X (t2 ), F (t1 , t2 , tn ; x1 , x2 , xn ) , X (tn ) xn ), tn T x1 , x2 , xn R; t1 , t2 , , X (tn )是n个随机变量，称
xi R; ti T , i 1, 2,
易知
称为随机过程{ X (t ),t T }的有限维分布函数族.
它不仅刻划了每一时刻 t1 T 随机过程 X (t ) 的状态
X (t1 ) 的分布规律，而且也刻划了任意时刻 t1 , t 2 ,, t n T 随机过程 X (t ) 的状态 X (t1 ) ， X (t 2 ) ，„， X (t n ) 之间的关系
2.3 随机过程的有限维分布函数族
设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t T，X (t )是一个随机变量，称 F (t ; x) P ( X (t ) x),x R, t T 为随机过程{ X (t ),t T }的一维分布函数;
设{ X (t ),t T }是一随机过程，对于任意固定的 t1 , t2 T，X (t1 ), X (t2 )是两个随机变量，称 F (t1 , t2 ; x1 , x2 ) P ( X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ), x1 , x2 R; t1 , t2 T 为随机过程{ X (t ),t T }的二维分布函数;
P( X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,
为随机过程{ X (t ),t T }的n维分布函数;
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有限维分布函数族的定义
设{ X (t ),t T }是一随机过程，其一维分布函数, 二维分布函数, F {F (t1 , t2 , , n维分布函数, tn ; x1 , x2 , xn )}, , n, n N 的全体