应用力学辛数学方法的 教材与课程建设 大工 钟万勰 辛体系 20FDC950-C62B-11DE-8950-F982CB7D2ADC
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一正一负两个实数本征值
形式相同 形式相同 相差一个符号 相差一个符号 本征值都是一正一负，但性质不同
15:44 12
统一的辛对偶体系—深入浅出
通过联系和对比： 体现统一的方法论 明确动力学与静力学之间的区别和联系 从另一个角度更深入审视静力学问题 有利于将动力学和静力学的知识相互融汇
15:44 13
对偶变量：Hamilton矩阵
哈密顿矩阵：H T = JHJ 本征向量的辛正交关系：xT Jxi = 0 j 辛矩阵：S T JS = J
15:44 17
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
几何方面
普通内积
x Iy = x ⋅ y ⋅ cos (θ )
T
辛内积
⎛ x1 x Jy = det ⎜ ⎝ x2
8
课程和教材特色
综合我们多年的特色研究成果，从整体和系统的 角度在课程和教材建设中进行尝试
钟万勰等. 计算结构力学与最优控制. 大连理工大学出版社，1993 钟万勰. 弹性力学求解新体系. 大连理工大学出版社，1995 钟万勰. 应用力学对偶体系. 科学出版社，2002
课程和教材内容新，体现研究前沿，突出创新 涉及知识面宽，不同概念互相交叉 强调深入浅出 理论和数值方法并重
背
景
如何通过课程改革培养高水平创新人才是一 个极具挑战性的课题 现代应用力学正向多学科交叉的方向发展 促进了应用力学基本理论和方法的发展，同 时应用力学的教学和教材改革也面临挑战和 机遇 应用力学不同学科领域各有自己的一套方法 论，学生学习负担重 不同的方法论不利于知识的融会贯通，限制 学生的视野和独立思考能力
15:44 19
统一的辛对偶体系—交叉
将不同学科中的概念建立联系 帮助学生理解新概念，重新认识旧概念 融会知识，开阔视野
15:44 20
统一的辛对偶体系—交叉
辛矩阵： S T JS = J 保辛： 有限元列式
⎡K aa ⎢K ⎣ ba K ab ⎤ ⎧q a ⎫ ⎧−p a ⎫ ⎥ ⎨q ⎬ = ⎨ p ⎬ K bb ⎦ ⎩ b ⎭ ⎩ b ⎭
R(t ) + R 2 / m + k = 0
⎡ 0 1 m⎤ H=⎢ ⎥ ⎣ −k 0 ⎦
一正一负两个纯虚本征值
δ ∫ ⎡ Nw − H ( w, N ) ⎤dz = 0 ⎣ ⎦
∂S ∂z + H ( w, ∂S ∂w) = 0
R( z ) + R 2 / EF − k = 0
⎡ 0 1 EA⎤ H=⎢ 0 ⎥ ⎣k ⎦
15:44 9
统一的辛对偶体系—深入浅出
从应用力学中的一些基本问题进行讲述 以统一的辛对偶体系平行授课 浅：可通过一维问题切入讲述。它最简单，故便 于分析、理解 深：采用统一的理论和分析方法，通过比较多种 领域的有关课题，从静力学、振动理论，到量子 力学与控制理论，可达到某种程度的深入
15:44 10
4
15:44
背
变分原理的问题
景
分析动力学有Hamilton变分原理 弹性力学、结构力学有最小势能变分原理
力学的两方面，各自发展 两方面有何关系？ 学科交叉
势能、余能 四类生成函数，正则变换
15:44
属于不同学科，完全无关的问题 能够建立联系？
5
背
景
R. Courant & D. Hilbert: ‘Methods of mathematical physics’ “科学发展的洪流，可能逐渐分裂成为细小而又细小的溪渠， 以致乾涸。 因此， 有必要引导我们的努力转向于将许多有特点 的和各式各样的科学事实的共同点及其相互关联加以阐明， 以 重新统一这种分离的趋向” “本书就是针对这个目的为供学习数学物理而作的。本书发展 了起源于物理问题的数学方法， 并试图使这些结果纳入统一的 数学理论(unified mathematical theories)。作者并未企图做得 完备， 只是希望本书可以便利于读者接近一个丰富而重要的领 域” 15:44
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
不同理论的对比 物理背景、代数、几何并重 体现辛对偶体系的优越性
15:44 14
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
弹簧-质量系统的振动
物理方面：动能，势能，机械能守恒
Lagrange函数=动能减势能 Hamilton函数=动能加势能
⎧q ⎫ ⎡ 0 m −1 ⎤ ⎧q ⎫ ⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎩ p ⎭ ⎣ −k 0 ⎦ ⎩ p ⎭ 对偶变量
∂U ∂qb
统一的辛对偶体系—交叉
余能
C ( p a , pb )
第四类生成函数
F4 ( p, P )
第二类和第三类生成函数对应的能量是什么？ 结构力学中什么模型与之对应？
15:44 24
统一的辛对偶体系—交叉
p a = −K aa q a − K abqb pb = +K ba q a + K bbqb
第四届力学课程报告论坛
应用力学辛数学方法的 教材与课程建设
大连理工大学 工程力学系
钟万勰、高强
2009年10月25日
15:44 1
主 要 内 容
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
15:44 2
背 景 课程和教材建设 课程和教材特色 统一的辛对偶体系—深入浅出 统一的辛对偶体系—物理、代数、几何 统一的辛对偶体系—学科交叉 统一的辛对偶体系—数值方法 结 论
简单变换
qb = Fq a − Gpb p a = Qq a + F T pb
F2 ( q, P )
∂F2 p= , ∂q
15:44
∂F2 Q= ∂P
1 T T V ( q a , pb ) = ( 2pb Fq a − pb Gpb + q T Qq a ) a 2 ∂V ∂V , qb = pa = ∂q a ∂pb
第二类生成函数
混合能
25
统一的辛对偶体系—数值方法
基于统一思想的数值分析手段：精细积分方法 加法定理，2N类算法 基于增量思想的存储和计算 动力学初值问题—矩阵指数 结构力学、控制边值问题— Riccati方程 一类非线性方程—椭圆函数
15:44 26
统一的辛对偶体系—数值方法
32位计算机上进行以下运算：
15:44 7
课程和教材建设
讲座(2005-2009)
上海交通大学 清华大学 西安交通大学 北京大学 哈尔滨工业大学 浙江大学 西北工业大学 西安电子科技大学
课程(2005-2009)
大连理工大学，力学系本科生，《工程力学基础》 大连理工大学，博士生，《现代力学进展》
教材建设
《应用力学的辛数学方法》 《力、功、能量与辛数学》 15:44
p a = −K aa q a − K abqb pb = +K ba q a + K bbqb
变形势能只是两端位移的函数
U ( q a , qb ) , p a = −
15:44
第一类生成函数
F1 ( q, Q ) , p = − ∂F1 , ∂q P= ∂F1 ∂Q
23
∂U , ∂q a
pb =
统一的辛对偶体系—交叉
正则变换
Q = f ( q, p ) , P = g ( q, p )
四类生成函数
∂F1 ∂F1 , P= F1 ( q, Q ) , p = − ∂q ∂Q ∂F2 ∂F2 T , Q= F2 ( q, P ) − P Q, p = ∂q ∂P ∂F3 ∂F3 T , P=− F3 ( p, Q ) + p q, q = − ∂p ∂Q ∂F ∂F F4 ( p, P ) + p T q − P T Q, q = − 4 , Q = 4 ∂p ∂P
( λ − λ ) x Ix
i j T j
i
=0
( λ − λ ) x Jx
i j T j
i
=0
x T Ix i = 0 j
15:44
x T Jxi = 0 j
16
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
单变量：对称矩阵
对称矩阵：A T = IAI 本征向量的正交关系：xT Ixi = 0 j 正交矩阵：Q T IQ = I
mx ( t ) + kx ( t ) = 0
时间 t
EAw ( z ) − kw ( z ) = 0
长度 z
L ( x, x ) = 1 2 mx 2 − 1 2 kx 2
S = ∫ L ( x, x )dt
0 t
L ( w, w) = 1 2 EAw2 + 1 2 kx 2
S = ∫ L ( w, w)dz
T
y2 ⎞ ⎟ y2 ⎠
15:44
长度、夹角 正交
面积、体积 功的互等
18
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
进一步推广至陀螺系统
My + Gy + Ky = f ( t ) M = M T , G = −G T , K = K T
基于单变量描述，常用的振型叠加方法不适用 体现辛对偶体系的优势 从更一般的系统更深入的讨论物理、代数、几何 三个方面
1 + 10
−17
+ 10
−17
+
+ 10
+ 10−17 =1
+ 10−17 ) =2
−17
=？
1017 次
{
15:44
⎡(1+10−17 ) +10−17 ⎤ + ⎣ ⎦
}
1 + (10−17 + 10−17 +
27
统一的辛对偶体系—数值方法
考虑常微分方程 其通解可写成为
v = Av
v = exp( At ) ⋅ v 0
15:44 3
背
Lagrange方程 最小作用量原理 Hamilton正则方程 正则变换 Hamilton-Jacobi理论 等等
景
经典分析力学是力学最根本的体系
统计力学、电动力学、量子力学等学科的基础也 是经典分析力学 现代控制论所奠基的状态空间法的起点至少也应 回溯到Hamilton正则方程体系 反而在应用力学课程中体现得不够 能够纳入统一体系？
15
mq + kq = 0
15:44
单变量
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
振型叠加法的代数基础：本征值问题
单变量：对称矩阵 对称矩阵：A T = IAI A i xi = λi xi A jx j = λjx j x T IA i xi = λi x T Ixi j j xiT IA j x j = λ j xiT Ix j 对偶变量：Hamilton矩阵 哈密顿矩阵：H T = JHJ H i xi = λi xi H jx j = λjx j x T JH i xi = λi x T Jxi j j xiT JH j x j = λ j xiT Jx j
vb = f ( v a ) , ∂v b S= ∂v a
简单变换
状态向量描述
⎧qb ⎫ ⎡ S11 S12 ⎤ ⎧q a ⎫ ⎨ ⎬=⎢ ⎨ ⎬ pb ⎭ ⎣S 21 S 21 ⎥ ⎩p a ⎭ ⎦ ⎩
刚度矩阵对称
系数矩阵为辛矩阵
有限元刚度矩阵的对称性与保辛等价 变形势能路径无关与保辛等价
15:44 21
6
背
景
结构力学与控制理论相互模拟的理论表明，应用 力学中多门学科相互间是密切关联的，它们应有 一个公共的理论体系 对应用力学的一些学科分支引入辛对偶变量体系 ，可建立起这个公共的理论体系 有利于教学中不同学科的互相渗透，为教学和课 程改革提供一个新的视角 以统一的理论体系为基础，有利于知识的融会贯 通，学懂了一门课程，以此类推，就容易学懂另 一门课程
22
15:44
统一的辛对偶体系—交叉
∂U ( ε ) , 弹性力学熟知的事实： σ = ∂ε ∂U (σ ) ε= ∂σ
简单有限元模型，位移法
1 ⎧q a ⎫ ⎡K aa U ( q a , qb ) = ⎨ ⎬ ⎢ 2 ⎩qb ⎭ ⎣K ab
T
K ab ⎤ ⎧q a ⎫ ⎨ ⎬ K b ⎥ ⎩qb ⎭ ⎦
0 z
δS = 0
x, p = mx
δS = 0
w, N = EAw
H ( x, p ) =
t 0
1 2 1 2 p + kx 2m 2
L ( w, w ) =
L 0
1 1 N 2 − kx 2 2 EA 2
源自文库
δ ∫ ⎡ px − H ( x, p ) ⎤dt = 0 ⎣ ⎦
∂S ∂t + H ( x, ∂S ∂x ) = 0
统一的辛对偶体系—深入浅出
弹簧-质量系统的振动
弹性支承的轴向拉杆
15:44 11
统一的辛对偶体系—深入浅出
辛体系统一框架下动力学和弹性静力学的比较 单自由度弹簧—质量系统 微分方程 自变坐标 Lagrange 函数 作用量 Hamilton 变分原理 对偶变量 Hamilton 函数 对偶变量变分原理 H-J 方程 Riccati 方程 Hamilton 矩阵 Hamilton 矩阵本征值 弹性地基拉杆 比较 相差一个符号 体现了物理背景 动力学为动能减去势能；静力学为势能相加 形式相同 形式相同 形式相同，具体物理含义不同 相差一个符号
形式相同 形式相同 相差一个符号 相差一个符号 本征值都是一正一负，但性质不同
15:44 12
统一的辛对偶体系—深入浅出
通过联系和对比： 体现统一的方法论 明确动力学与静力学之间的区别和联系 从另一个角度更深入审视静力学问题 有利于将动力学和静力学的知识相互融汇
15:44 13
对偶变量：Hamilton矩阵
哈密顿矩阵：H T = JHJ 本征向量的辛正交关系：xT Jxi = 0 j 辛矩阵：S T JS = J
15:44 17
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
几何方面
普通内积
x Iy = x ⋅ y ⋅ cos (θ )
T
辛内积
⎛ x1 x Jy = det ⎜ ⎝ x2
8
课程和教材特色
综合我们多年的特色研究成果，从整体和系统的 角度在课程和教材建设中进行尝试
钟万勰等. 计算结构力学与最优控制. 大连理工大学出版社，1993 钟万勰. 弹性力学求解新体系. 大连理工大学出版社，1995 钟万勰. 应用力学对偶体系. 科学出版社，2002
课程和教材内容新，体现研究前沿，突出创新 涉及知识面宽，不同概念互相交叉 强调深入浅出 理论和数值方法并重
背
景
如何通过课程改革培养高水平创新人才是一 个极具挑战性的课题 现代应用力学正向多学科交叉的方向发展 促进了应用力学基本理论和方法的发展，同 时应用力学的教学和教材改革也面临挑战和 机遇 应用力学不同学科领域各有自己的一套方法 论，学生学习负担重 不同的方法论不利于知识的融会贯通，限制 学生的视野和独立思考能力
15:44 19
统一的辛对偶体系—交叉
将不同学科中的概念建立联系 帮助学生理解新概念，重新认识旧概念 融会知识，开阔视野
15:44 20
统一的辛对偶体系—交叉
辛矩阵： S T JS = J 保辛： 有限元列式
⎡K aa ⎢K ⎣ ba K ab ⎤ ⎧q a ⎫ ⎧−p a ⎫ ⎥ ⎨q ⎬ = ⎨ p ⎬ K bb ⎦ ⎩ b ⎭ ⎩ b ⎭
R(t ) + R 2 / m + k = 0
⎡ 0 1 m⎤ H=⎢ ⎥ ⎣ −k 0 ⎦
一正一负两个纯虚本征值
δ ∫ ⎡ Nw − H ( w, N ) ⎤dz = 0 ⎣ ⎦
∂S ∂z + H ( w, ∂S ∂w) = 0
R( z ) + R 2 / EF − k = 0
⎡ 0 1 EA⎤ H=⎢ 0 ⎥ ⎣k ⎦
15:44 9
统一的辛对偶体系—深入浅出
从应用力学中的一些基本问题进行讲述 以统一的辛对偶体系平行授课 浅：可通过一维问题切入讲述。它最简单，故便 于分析、理解 深：采用统一的理论和分析方法，通过比较多种 领域的有关课题，从静力学、振动理论，到量子 力学与控制理论，可达到某种程度的深入
15:44 10
4
15:44
背
变分原理的问题
景
分析动力学有Hamilton变分原理 弹性力学、结构力学有最小势能变分原理
力学的两方面，各自发展 两方面有何关系？ 学科交叉
势能、余能 四类生成函数，正则变换
15:44
属于不同学科，完全无关的问题 能够建立联系？
5
背
景
R. Courant & D. Hilbert: ‘Methods of mathematical physics’ “科学发展的洪流，可能逐渐分裂成为细小而又细小的溪渠， 以致乾涸。 因此， 有必要引导我们的努力转向于将许多有特点 的和各式各样的科学事实的共同点及其相互关联加以阐明， 以 重新统一这种分离的趋向” “本书就是针对这个目的为供学习数学物理而作的。本书发展 了起源于物理问题的数学方法， 并试图使这些结果纳入统一的 数学理论(unified mathematical theories)。作者并未企图做得 完备， 只是希望本书可以便利于读者接近一个丰富而重要的领 域” 15:44
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
不同理论的对比 物理背景、代数、几何并重 体现辛对偶体系的优越性
15:44 14
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
弹簧-质量系统的振动
物理方面：动能，势能，机械能守恒
Lagrange函数=动能减势能 Hamilton函数=动能加势能
⎧q ⎫ ⎡ 0 m −1 ⎤ ⎧q ⎫ ⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎩ p ⎭ ⎣ −k 0 ⎦ ⎩ p ⎭ 对偶变量
∂U ∂qb
统一的辛对偶体系—交叉
余能
C ( p a , pb )
第四类生成函数
F4 ( p, P )
第二类和第三类生成函数对应的能量是什么？ 结构力学中什么模型与之对应？
15:44 24
统一的辛对偶体系—交叉
p a = −K aa q a − K abqb pb = +K ba q a + K bbqb
第四届力学课程报告论坛
应用力学辛数学方法的 教材与课程建设
大连理工大学 工程力学系
钟万勰、高强
2009年10月25日
15:44 1
主 要 内 容
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
15:44 2
背 景 课程和教材建设 课程和教材特色 统一的辛对偶体系—深入浅出 统一的辛对偶体系—物理、代数、几何 统一的辛对偶体系—学科交叉 统一的辛对偶体系—数值方法 结 论
简单变换
qb = Fq a − Gpb p a = Qq a + F T pb
F2 ( q, P )
∂F2 p= , ∂q
15:44
∂F2 Q= ∂P
1 T T V ( q a , pb ) = ( 2pb Fq a − pb Gpb + q T Qq a ) a 2 ∂V ∂V , qb = pa = ∂q a ∂pb
第二类生成函数
混合能
25
统一的辛对偶体系—数值方法
基于统一思想的数值分析手段：精细积分方法 加法定理，2N类算法 基于增量思想的存储和计算 动力学初值问题—矩阵指数 结构力学、控制边值问题— Riccati方程 一类非线性方程—椭圆函数
15:44 26
统一的辛对偶体系—数值方法
32位计算机上进行以下运算：
15:44 7
课程和教材建设
讲座(2005-2009)
上海交通大学 清华大学 西安交通大学 北京大学 哈尔滨工业大学 浙江大学 西北工业大学 西安电子科技大学
课程(2005-2009)
大连理工大学，力学系本科生，《工程力学基础》 大连理工大学，博士生，《现代力学进展》
教材建设
《应用力学的辛数学方法》 《力、功、能量与辛数学》 15:44
p a = −K aa q a − K abqb pb = +K ba q a + K bbqb
变形势能只是两端位移的函数
U ( q a , qb ) , p a = −
15:44
第一类生成函数
F1 ( q, Q ) , p = − ∂F1 , ∂q P= ∂F1 ∂Q
23
∂U , ∂q a
pb =
统一的辛对偶体系—交叉
正则变换
Q = f ( q, p ) , P = g ( q, p )
四类生成函数
∂F1 ∂F1 , P= F1 ( q, Q ) , p = − ∂q ∂Q ∂F2 ∂F2 T , Q= F2 ( q, P ) − P Q, p = ∂q ∂P ∂F3 ∂F3 T , P=− F3 ( p, Q ) + p q, q = − ∂p ∂Q ∂F ∂F F4 ( p, P ) + p T q − P T Q, q = − 4 , Q = 4 ∂p ∂P
( λ − λ ) x Ix
i j T j
i
=0
( λ − λ ) x Jx
i j T j
i
=0
x T Ix i = 0 j
15:44
x T Jxi = 0 j
16
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
单变量：对称矩阵
对称矩阵：A T = IAI 本征向量的正交关系：xT Ixi = 0 j 正交矩阵：Q T IQ = I
mx ( t ) + kx ( t ) = 0
时间 t
EAw ( z ) − kw ( z ) = 0
长度 z
L ( x, x ) = 1 2 mx 2 − 1 2 kx 2
S = ∫ L ( x, x )dt
0 t
L ( w, w) = 1 2 EAw2 + 1 2 kx 2
S = ∫ L ( w, w)dz
T
y2 ⎞ ⎟ y2 ⎠
15:44
长度、夹角 正交
面积、体积 功的互等
18
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
进一步推广至陀螺系统
My + Gy + Ky = f ( t ) M = M T , G = −G T , K = K T
基于单变量描述，常用的振型叠加方法不适用 体现辛对偶体系的优势 从更一般的系统更深入的讨论物理、代数、几何 三个方面
1 + 10
−17
+ 10
−17
+
+ 10
+ 10−17 =1
+ 10−17 ) =2
−17
=？
1017 次
{
15:44
⎡(1+10−17 ) +10−17 ⎤ + ⎣ ⎦
}
1 + (10−17 + 10−17 +
27
统一的辛对偶体系—数值方法
考虑常微分方程 其通解可写成为
v = Av
v = exp( At ) ⋅ v 0
15:44 3
背
Lagrange方程 最小作用量原理 Hamilton正则方程 正则变换 Hamilton-Jacobi理论 等等
景
经典分析力学是力学最根本的体系
统计力学、电动力学、量子力学等学科的基础也 是经典分析力学 现代控制论所奠基的状态空间法的起点至少也应 回溯到Hamilton正则方程体系 反而在应用力学课程中体现得不够 能够纳入统一体系？
15
mq + kq = 0
15:44
单变量
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
振型叠加法的代数基础：本征值问题
单变量：对称矩阵 对称矩阵：A T = IAI A i xi = λi xi A jx j = λjx j x T IA i xi = λi x T Ixi j j xiT IA j x j = λ j xiT Ix j 对偶变量：Hamilton矩阵 哈密顿矩阵：H T = JHJ H i xi = λi xi H jx j = λjx j x T JH i xi = λi x T Jxi j j xiT JH j x j = λ j xiT Jx j
vb = f ( v a ) , ∂v b S= ∂v a
简单变换
状态向量描述
⎧qb ⎫ ⎡ S11 S12 ⎤ ⎧q a ⎫ ⎨ ⎬=⎢ ⎨ ⎬ pb ⎭ ⎣S 21 S 21 ⎥ ⎩p a ⎭ ⎦ ⎩
刚度矩阵对称
系数矩阵为辛矩阵
有限元刚度矩阵的对称性与保辛等价 变形势能路径无关与保辛等价
15:44 21
6
背
景
结构力学与控制理论相互模拟的理论表明，应用 力学中多门学科相互间是密切关联的，它们应有 一个公共的理论体系 对应用力学的一些学科分支引入辛对偶变量体系 ，可建立起这个公共的理论体系 有利于教学中不同学科的互相渗透，为教学和课 程改革提供一个新的视角 以统一的理论体系为基础，有利于知识的融会贯 通，学懂了一门课程，以此类推，就容易学懂另 一门课程
22
15:44
统一的辛对偶体系—交叉
∂U ( ε ) , 弹性力学熟知的事实： σ = ∂ε ∂U (σ ) ε= ∂σ
简单有限元模型，位移法
1 ⎧q a ⎫ ⎡K aa U ( q a , qb ) = ⎨ ⎬ ⎢ 2 ⎩qb ⎭ ⎣K ab
T
K ab ⎤ ⎧q a ⎫ ⎨ ⎬ K b ⎥ ⎩qb ⎭ ⎦
0 z
δS = 0
x, p = mx
δS = 0
w, N = EAw
H ( x, p ) =
t 0
1 2 1 2 p + kx 2m 2
L ( w, w ) =
L 0
1 1 N 2 − kx 2 2 EA 2
源自文库
δ ∫ ⎡ px − H ( x, p ) ⎤dt = 0 ⎣ ⎦
∂S ∂t + H ( x, ∂S ∂x ) = 0
统一的辛对偶体系—深入浅出
弹簧-质量系统的振动
弹性支承的轴向拉杆
15:44 11
统一的辛对偶体系—深入浅出
辛体系统一框架下动力学和弹性静力学的比较 单自由度弹簧—质量系统 微分方程 自变坐标 Lagrange 函数 作用量 Hamilton 变分原理 对偶变量 Hamilton 函数 对偶变量变分原理 H-J 方程 Riccati 方程 Hamilton 矩阵 Hamilton 矩阵本征值 弹性地基拉杆 比较 相差一个符号 体现了物理背景 动力学为动能减去势能；静力学为势能相加 形式相同 形式相同 形式相同，具体物理含义不同 相差一个符号