(完整word版)数学：5.6《解斜三角形》教案(1)(沪教版高一下学期)

5.6 (3) 解斜三角形

一、教学内容分析

本节课是高中数学第五章三角比中第三单元的第三节课，学生已在前两节学习了正弦定理和余弦定理，知道了任意三角形的边角满足的数量关系式，这节课是利用这两个定理来解决实际生活的相关问题.

本小节的重难点是如何利用正弦定理、余弦定理来解决斜三角形，能够正确审题，将实际问题数学化是关键.通过本节课的学习更加明确数学来源于生活，又服务于生活. 二、教学目标设计

加深理解正弦定理和余弦定理的内容：任意三角形的边角数量关系及其应用.体验正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程； 深刻理解任意三角形的边角数量关系并灵活运用定理解三角形；通过实际问题的解决，感受数学与生活的密切关系，激发学习数学的热情，增强学习数学的动力.

三、教学重点及难点 教学重点

用正弦定理、余弦定理解斜三角形问题. 教学难点

用适当的方法解斜三角形及计算问题. 四、教学流程设计

12、正弦定理的两个应用：

（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；

（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. 3、余弦定理及其变形：在ABC ∆中有：A bc c b a cos 2222-+=

B ac c a b cos 2222-+=

C ab b a c cos 2222-+=

.2cos ,2cos ,2cos 2

22222222ab

c b a C ac b a c B bc a c b A -+=-+=-+=

4、 余弦定理的两个应用：

（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角； （2）已知三边，求三个内角. [说明]学生回答. 二、学习新课 1、例题解析

例1、已知∆ABC 中，∠A 0

60=

，=a 求sin sin sin a b c

A B C ++++

解：设sin sin a b A B =(>o)

sin c

k k C == 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =

从而

++++==++++sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c k A k B k C

k A B C A B C

又sin a

A

=

2k

==，所以

++=++2sin sin sin a b c

A B C

[说明]在∆ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c

C ==

()++=>++0sin sin sin a b c

k k A B C

恒成立.

这个k 是∆ABC 的外接圆直径,即k=2R.

例2、C B A b a c ABC ,,326,62,34，求中，在+===∆ 解：由已知，,b c a <<得B 最大，由余弦定理得

22

sin sin ,105,0426cos 0===∴<--

=b B c C B B 再由正弦定理得，

又0

0001054530,45,====∴>B C A C c b 于是

例3如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）．

[说明] 最大仰角是车厢立起的最大角度．

解：已知△ABC 的两边AB ＝1.95m ，AC ＝1.40m ，夹角A ＝66°20′， 由余弦定理，得

答：顶杆 约长1.89m.

[说明] 由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结．

例4、如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 处，设连杆AB 长为340mm ，由柄CB 长为85mm ，曲柄自CB 按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离

）（精确到1mm ）

[说明]：B 与0B 重合时，A 与0A 重合，故C A 0＝AB ＋CB ＝425mm ，且A A 0＝ C A 0－AC ．

解：已知△ABC 中， BC ＝85nun ，AB ＝34mm ，∠C ＝80°，

在△ABC 中，由正弦定理可得：

因为BC ＜AB ，所以A 为锐角

A ＝14°15′

∴ B ＝180°－（A ＋C ）＝85°45′

又由正弦定理：

答：活塞移动的距离约为81mm ． 例5、如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度θ.

解：在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒-15︒ = 30︒

由正弦定理：οο

15sin 30

sin 100BC

= ∴BC = 200sin15︒ 在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90︒ + θ 由正弦定理：

)90sin(15sin 20045sin 50θ+︒︒

=︒ ⇒cos θ =13- ∴θ = 42.94︒ 例6、某船在距救生艇A 处10 海里的C 处遇险，测得该船的方位角为45︒，还测得该船正沿方位角105︒的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，救生艇以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该救生艇的航向及与它们相遇所需时间. 解：设所需时间为t 小时， 在点B 处相遇（如图）

在△ABC 中，∠ACB = 120︒, AC = 100, AB = 21t, BC = 9t

由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 - 2×10×9t×cos120︒

整理得：36t2 -9t - 10 = 0 解得：12

5,3221-==t t （舍去）

由正弦定理：1433322123

)329(sin sin 120sin =⨯

⨯

⨯=

∠⇒∠=CAB CAB

BC AB ο

143

3arcsin

=∠∴CAB

45︒ 105︒ B

C A

D

B θ 45︒ 15︒ 100