高中数学第九章第3讲圆的方程

第3讲 圆的方程

分层训练A 级 基础达标演练

(时间：30分钟 满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是________． 解析 AB 的中点坐标为(0,0)， AB ＝

[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，

∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2

2．(2012·广州检测二)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．

解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，

故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案 x 2＋(y －2)2＝1

3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为__________________． 解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝5.

答案 x 2＋(y ＋2)2＝5

4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________． 解析 设圆上任一点为Q (x 0

，y 0

)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧

x ＝4＋

x

2，

y ＝－2＋y

2，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)

2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1

5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则MN 的最小值是________．

解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝

45. 答案 4

5

6．经过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)的圆的标准方程为________． 解析 法一 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪

⎧

1＋144＋D ＋12E ＋F ＝049＋100＋7D ＋10E ＋F ＝081＋4－9D ＋2E ＋F ＝0

解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0， 即圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.

法二 由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)， k AB ＝－1

3，则AB 的中垂线方程为：3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1y ＝2

即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝

(1－1)2＋(2－12)2＝10.

∴所求圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100. 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝100 二、解答题(每小题15分，共30分)

7．求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程．

解 法一 设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |

2

， ∴r 2＝⎝

⎛⎭⎪⎫|a －b |22

＋(7)2， 即2r 2＝(a －b )2＋14，

① 由于所求的圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2.

②

又因为所求圆心在直线3x －y ＝0上， ∴3a －b ＝0.

③

联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1， b ＝－3，r 2＝9. 故所求的圆的方程是

(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.

法二 设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2

－4F . 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，

由圆与x 轴相切，得Δ＝0，即D 2＝4F .

④

又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D

2，－E 2到直线x －y ＝0的距离为

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪－D 2＋E 22

. 由已知，得⎝ ⎛⎭⎪

⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 222＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )

⑤

又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D

2，－E 2在直线3x －y ＝0上，

∴3D －E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得

D ＝－2，

E ＝－6，

F ＝1或D ＝2，E ＝6，F ＝1. 故所求圆的方程是x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0 或x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0.

8．(2010·连云港模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y

x 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．

解 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，

y

x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y

x ＝k ，即y ＝kx .

当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|

k 2＋1＝3，

解得k ＝±3.

所以y

x 的最大值为3，最小值为－ 3.

(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时

|2－0＋b |

2

＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.

分层训练B 级 创新能力提升

1．若圆心在x 轴上、半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是________．

解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)．因为直线x ＋2y ＝0与圆相切，所以

|a ＋2×0|12

＋2

2

＝