数理经济学

...
0
0
...
0
gm (x1, x2,..., xn ) 0
h( x1,
x2 , ...,
xn
)
hh12((xx11,,xx22,,......,,xxnn))
...
0
0
...
0
hl (x1, x2,..., xn ) 0
f : Rn R, g : Rm R, h : Rn R
子集的定义：
如果集合S的每个元素也是集合T的一个 元素，那么集合S是另外一个集合T的子集。
记为：S T
2.集合的运算
并：A B＝{x | x A,或x B} 交：A B＝{x | x A,且x B} 差：A \ B ＝{x | x A,但x B}
余：Ac＝ {x | x A}
3.集合的运算规律
二、凸集
1. Rn 上的凸集 定义：
称S Rn是凸集： x1, x2 S,t [0,1], tx1 (1 t)x2 S
称z是x1与x2凸组合： 如果z tx1 (1 t)x2，（0 t 1）
凸组合 例1：(当n=1)
R中的凸组合
凸组合 例2：(当n=2)
R2中的一些凸组合
凸集： 例1：
按照经济分析方法的分类来讲解相关的数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知识，并通过介绍大量的宏微观经济模型掌握 经济分析方法和数学方法。
二、数理经济学的本质
探讨如何用数学语言准确、精练描述经 济学问题，并推敲通过数理分析而导出的 数学关系式所表达的经济学含义，由此揭 示经济活动的规律性才是数理经济学的本 质所在。
经济学问题的数学表述
数学的最优化问题：
所谓最优化问题是“在关于变量的 约束条件下，寻找使目标值最大化或 最小化的变量”的问题
举例1：非线性规划问题
min : f (x1, x2,..., xn )
s.t
:
g ( x1,
x2 , ...,
xn
)
g1(
x1,
x2
,...,
xn
)
g2 (x1, x2,..., xn )
转换律: A\B＝A I BC;
对偶原理；（De－Morgen原理）
(1) ( U A )C＝I AC ,
(2) ( I A )C＝U AC 。
4. 集合的乘积
ST (s,t) | s S,t T
X1 X2 ... Xn (x1, x2,..., xn ) | xi Xi
记Xi X1 X2 ... Xi1 Xi1 ... Xn
数理经济学
授课教材、大纲与内容
其它参考书： 1、蒋中一《数理经济学的基本方法》
商务印书馆 2、蒋中一《动态最优化基础》商务印书馆 3、邵宜航 《数理经济学精要》科学出版社
导论
一、什么是数理经济学？
数理经济学不是经济学的一个分支学科，它 是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符 号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推 理的一种方法。就分析的具体对象而言，它可 以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、 城市经济学或其它经济学科。
c(t )表示t时点的人均消费，k (t )表示t时点的人均资
本存量，U 表示个人效用函数， 表示主观贴现率。
三、授课逻辑主线
经济学定义为研究有限资源的有效（最 优）配置的科学，因此许多经济学问题可 以表示为数学的最优化问题。本课程主要 学习在微观经济学和宏观经济学中经常使 用的最优化数学分析方法。
R2中的凸集
非凸集： 例2：
R2中的非凸集
因此当且仅当把集合内的任意两点用一条 直线联接，该直线完全处于集合内，那么此集 合为凸集。
凸集本质上没有洞，无断点，在边界没有麻 烦的凸凹。
2. 凸集的性质
定理1：凸集的交集是凸集
设S与T是Rn上的凸集，那么S T是凸集。
交换律： A UB＝B U A，A I B＝B I A;
结合律：（A U B）U C＝A U（B U C）, （A I B）I C＝A I（B I C）;
分配律： (A U B）I C＝（A I C）U（B I C）, （A I B）UC＝（A UC）I（B UC）;
吸收律； 若A B，则A UB＝B；A I B＝A, A I , A \ B＝，A U＝A;
第一章 集合和映射
一、集合
1. 集合的定义：
具有某种特定性质的事物的总体。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
举例：
1. R x | x
2. Rn (x1,..., xn ) | xi R,i 1,...,n 3. Rn (x1,..., xn ) | xi 0,i 1,...,n 4. Rn (x1,..., xn ) | xi 0,i 1,...,n
举例2：最优经济增长问题（连续型）
研究一代表性家庭如何选择最优的动态消费路径， 以最大化其从现在到将来的效用现值总和。
模型描述为：
max : U (c(t))etdt (c,k) 0
s.t : k&(t) f (k(t)) c(t) k(0) k0
消费效用现值总和
资源和技术的约束 初期的资本存量限制
举例1：消费者选择问题
在收入水平的约束条件下，选择最优的消费量组 合以最大化消费效用。模型为：
max :
( x1,...,xn )
U
(
x1
,
x2
,
...,
xn
)
s.t : p1x1 p2x2 ... pnxn y
xi表示第i个商品的消费量，pi表示相对应的 商品价格，U为消费效用函数，y为收入。
举例2：最优控制问题
min : t1 f (t, x(t),u(t))dt t0
s.t : x&(t) (t, x(t),u(t)) x(t0 ) x0 u(t) U
f : R Rn Rm R, : R Rn Rm R,U Rm
四、授课主要内容
相关数学背景知识
（集合与映射、微积分、微分方程）
静态最优化
（最优化的古典方法——无约束、等式约束； 最优化的非古典方法——数学规划（线性规划和 非线性规划），处理不等式约束。）
动态最优化
（变分法、最优控制理论和动态规划 ）
第一部分 数学背景
内容见 杰里和瑞尼：《高级微观经济理论》 上海财经大学出版社 附录A1、A2
主要内容：
一、集合和映射 二、凸集 三、关系与函数 四、一点拓扑学 五、实值函数 六、分离超平面定理