孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.9 布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动
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p z i H中不含x，z,所以它和算符px i x 及 z
是对易的。根据量子力学，可选H的本征波函 ˆx, p ˆ z 的本征波函数。 数同时为 p
电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转
90度,并乘以因子 / eB 得到.
B
[k(t) k(0)] eB
r () t r ( 0 )
r ( t ) r ( 0 ) B [ k ( t ) k ( 0 ) ] e B
二、均匀磁场中自由电子的量子化理论
kx
(2)电子在实空间的运动图象
k v (k ) m
v v v
x
m m m
k k k
x
y
y
z
z
dk x eB eB dvx k vy y dt m dt m m m dk y eB eB dvy kx vx m dt m m m dt dvz dt 0
B B z
且
B A
可令
A ( B y , 0 , 0 )
2 1 ˆ (p H e A ) 2 m
( o r A ( 0 , B x , 0 ) )
2 2 2 1 eBy p p p x y z 2 m
如图：
(k )
1 vk ( ) ( k ) 由 r 得： k
v () k v () k
dk
k
2 d k 2 () k d k T (, k ) z e Bv B c e
A( , kz ) eB
1. 朗道能级 考虑边长为 L 的立方体,以它们的边长为 x,y,z 轴,外磁场平行 于z 轴且均匀. 即：
B B z
自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算符为：
2 1 ˆ (p H e A ) 2 m p：电子的运动学动量， ：电子的场动量， A
e A ：矢量势
则由于
3.9 布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动
本节主要内容： 一、 恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动 二、 均匀磁场中自由电子的量子化理论 三、 德哈斯-范阿尔芬效应 四、 回旋共振方法
一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动 1 .恒定磁场中的准经典运动 准经典运动的两个方程：
1 r vk ( ) ( k ) k
电子在r 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内 做匀速圆周运动，回旋频率为 e Bm / 0
以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格周期 场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形式上仍可写成：
e B * ; m 称 为 回 旋 有 效 质 量 ( c y c l o t r o n e f f e c t i v e m a s s ) c * c m c
2
(1)电子在k 空间的运动图象
在k空间，电子总是沿着垂直于磁场的 平面和等能面的交线运动 自由电子的等能面是球面,与 kz 垂直的平 面与等能面的交线就是一系列圆.
2m
dt
0
kz
B
k
k
k
y
kz 保持不变,在 kx — ky 面内做匀速 圆周运动,回转的频率 e Bm / 0
因而,在k空间,电 所以，在 k 空间中，波矢 满足 ： 子总是沿着垂直 d k 于磁场的平面和 1). 垂直于B 的方向 kB 0 等能面的交线运 d t d k 动. z 设 B / / z 轴 ， 则 0 , k 保 持 为 常 量 。 z d t
d k ( evk )( ) B d t
r 是 电 子 在 实 空 间 位 置 矢 量 在 垂 直 磁 场 方 向 的 投 影
所以,电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场 / eB得到. 轴旋转90度,并乘以因子
积 分 得 ： r ( t ) r ( 0 ) B [ k ( t ) k ( 0 ) ] e B
2
A ( ,k 是 用 ，标 k 的 z) z 记 轨 道 在 k 空 间 所 围 面 积
2 eB A (, kz ) * 与 c * 比较可知： m c mc 2
A (, kz ) m 2
2 * c
m 是 与 轨 道 相 关 的 回 旋 有 效 质 量
* c
它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。
对方程
d k ( evk ) ( ) B 两边用 B B/ B叉乘，得： d t
d r d k B ( e ) B [ v ( k ) B ] e B v e B d t d t
d r d k B d t e B d t
k
2). d k
d t d k1 d d • 0 说明电子沿着等能面运动 d t d k d t
kv 0 (波矢的变化)垂直于 v ( k ) 的方向
说明k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量
k2 以自由电子为例加以讨论： B ( 0 ,0 ,B ) 2m 1 v ( k) ( k ) eB dkx k k dt m ky v ( k ) d k m ( evk )( ) B eB dky d t kx dk e dt m k B 2 2 k m dt dkz
相应的周期为：
d k d k e B ( e ) v () k B v d t d t
2 d k d k d k T (, k ) z e B e Bv c k v 百度文库
设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε + Δε两个等能面 间法线距离。
是对易的。根据量子力学，可选H的本征波函 ˆx, p ˆ z 的本征波函数。 数同时为 p
电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转
90度,并乘以因子 / eB 得到.
B
[k(t) k(0)] eB
r () t r ( 0 )
r ( t ) r ( 0 ) B [ k ( t ) k ( 0 ) ] e B
二、均匀磁场中自由电子的量子化理论
kx
(2)电子在实空间的运动图象
k v (k ) m
v v v
x
m m m
k k k
x
y
y
z
z
dk x eB eB dvx k vy y dt m dt m m m dk y eB eB dvy kx vx m dt m m m dt dvz dt 0
B B z
且
B A
可令
A ( B y , 0 , 0 )
2 1 ˆ (p H e A ) 2 m
( o r A ( 0 , B x , 0 ) )
2 2 2 1 eBy p p p x y z 2 m
如图：
(k )
1 vk ( ) ( k ) 由 r 得： k
v () k v () k
dk
k
2 d k 2 () k d k T (, k ) z e Bv B c e
A( , kz ) eB
1. 朗道能级 考虑边长为 L 的立方体,以它们的边长为 x,y,z 轴,外磁场平行 于z 轴且均匀. 即：
B B z
自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算符为：
2 1 ˆ (p H e A ) 2 m p：电子的运动学动量， ：电子的场动量， A
e A ：矢量势
则由于
3.9 布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动
本节主要内容： 一、 恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动 二、 均匀磁场中自由电子的量子化理论 三、 德哈斯-范阿尔芬效应 四、 回旋共振方法
一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动 1 .恒定磁场中的准经典运动 准经典运动的两个方程：
1 r vk ( ) ( k ) k
电子在r 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内 做匀速圆周运动，回旋频率为 e Bm / 0
以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格周期 场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形式上仍可写成：
e B * ; m 称 为 回 旋 有 效 质 量 ( c y c l o t r o n e f f e c t i v e m a s s ) c * c m c
2
(1)电子在k 空间的运动图象
在k空间，电子总是沿着垂直于磁场的 平面和等能面的交线运动 自由电子的等能面是球面,与 kz 垂直的平 面与等能面的交线就是一系列圆.
2m
dt
0
kz
B
k
k
k
y
kz 保持不变,在 kx — ky 面内做匀速 圆周运动,回转的频率 e Bm / 0
因而,在k空间,电 所以，在 k 空间中，波矢 满足 ： 子总是沿着垂直 d k 于磁场的平面和 1). 垂直于B 的方向 kB 0 等能面的交线运 d t d k 动. z 设 B / / z 轴 ， 则 0 , k 保 持 为 常 量 。 z d t
d k ( evk )( ) B d t
r 是 电 子 在 实 空 间 位 置 矢 量 在 垂 直 磁 场 方 向 的 投 影
所以,电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场 / eB得到. 轴旋转90度,并乘以因子
积 分 得 ： r ( t ) r ( 0 ) B [ k ( t ) k ( 0 ) ] e B
2
A ( ,k 是 用 ，标 k 的 z) z 记 轨 道 在 k 空 间 所 围 面 积
2 eB A (, kz ) * 与 c * 比较可知： m c mc 2
A (, kz ) m 2
2 * c
m 是 与 轨 道 相 关 的 回 旋 有 效 质 量
* c
它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。
对方程
d k ( evk ) ( ) B 两边用 B B/ B叉乘，得： d t
d r d k B ( e ) B [ v ( k ) B ] e B v e B d t d t
d r d k B d t e B d t
k
2). d k
d t d k1 d d • 0 说明电子沿着等能面运动 d t d k d t
kv 0 (波矢的变化)垂直于 v ( k ) 的方向
说明k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量
k2 以自由电子为例加以讨论： B ( 0 ,0 ,B ) 2m 1 v ( k) ( k ) eB dkx k k dt m ky v ( k ) d k m ( evk )( ) B eB dky d t kx dk e dt m k B 2 2 k m dt dkz
相应的周期为：
d k d k e B ( e ) v () k B v d t d t
2 d k d k d k T (, k ) z e B e Bv c k v 百度文库
设Δ(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为ε和ε + Δε两个等能面 间法线距离。