第三节柏努利方程应用2

u1 p1 u2 p2 gz1 we gz2 h f 12 2 2
2）基准水平面的选取 所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平
2
2
行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个
截面中的任意一个截面。 3）两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。
2 1
2
以Ne表示。
Ne=wews=weVs
7.恒算基准不同，柏努利方程的形式也不同： 以单位质量为基准（即以1kg流体为基准）
u1 p1 u2 p2 gz1 we gz2 h f 12 2 2
2 2
单位：J/kg
以单位体积为基准（即以1m3流体为基准）
60.1510 2.49 因此，we 9.81 26 160 1000 2 479.7 J kg
4 2
2 2'
24m
Ne we ws
34.5 ws Vs 1000 9.58 kg s 3600
1
2m
1'
Ne 479 .7 9.58 4596W 4.6kW
h
【例2】有一输水系统，如本题附图所示，水箱内水面维持恒定， 输水管直径为φ60×3mm，输水量为18.3m3/h，水流经全部管道 （不包括排出口）的能量损失可按Σhf=15u2公式计算，式中u为管 道内水的流速（m/s）。试求： （1）水箱中水面必须高于排出口的高度H； （2）若输水量增加5%，管路的直径及其布置不变，管路的能量损 失仍可按上述公式计算，则水箱内的水面将升高多少米？ 解:(1)选水箱液面作上游截面1—1, 管出口（内侧）处作下游截 面2—2 选通过2—2截面管中心线的 平面作基准水平面 1 1' H 2 0 2' 0'
即为静力学方程式。或者说静力学是流体流动的一种特殊形式。
u p1 u2 p2 gz1 we gz2 h f 12 2 2
6.柏努利方程当中的位能、动能、静压能是两个截面上流体本身所 具有的能量，而其中的we和hf1-2分别是外界加入的能量及流体在 流动时所损失的能量。 We：输送设备对单位质量流体所作的有效功，J/kg 有效功率：单位时间输送设备对流体所作的有效功，单位：W
2 1 2
Leabharlann Baidu
u1 p1 u2 p2 gz1 we gz2 h f 12 2 2
(b)截面上已知量最多。除所需求取的未知量外， Z、u、p等 有关物理量，都应该是已知的或能通过其它关系计算出来。
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2
(c) 所求的未知量应在截面上或在两截面之间。
(d) ∑hf 应与所选截面对应一致。 2 2 1 1
任意截面的总机械能是相等的，即:
3000
6 6'
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E
2 2'
2 2 u12 p1 u2 p2 u3 p3 E gz1 gz2 gz3 2 2 2 2 2 2 u4 p4 u5 p5 u6 p6 gz4 gz5 gz6 2 2 2
u2 p z, , 分别称为位压头、动压头、静压头； 2 g g
Hf1-2：压头损失；
He:输送设备对流体所提供的有效压头。
§1.2.4 柏努利方程的应用计算
u p1 u2 p2 gz1 we gz2 h f 12 2 2
1、应用柏努利方程的注意事项 1）作图并确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，定出上下截面。截面的选 取原则： • (a) 两截面均应与流动方向相垂直，并且在两截面间的流体 必须是连续的。 2 2 1 1
注意：方程当中的压强不能用真空度计算。
2 2 1 2 2 0
0
1 1 1
【例1】20℃的空气在直径为80mm的水平管流过。现于管路中接一 文丘里管，如本题附图所示。文丘里管的上游接一水银U管压差计， 在直径为20mm的喉颈处接一细管，其下部插入水槽中。空气流过 文丘里管的能量损失可忽略不计。当U管压差计读数R=25mm、 h=0.5m时，试求此时空气的流量为若干m3/h。当大气压强为 101.33×103Pa。
4.对于实际流体，由于存在能量损失，当没有外功加入的情况下， 系统的总机械能会逐渐减小，上游截面的总机械能会大于下游截
2 1
2
面的总机械能。
5.若流速为0，即流体处于静止状态时，柏努利方程可写为：
p1 p2 gz1 gz2
此式又可写为：
p1 p2 z1 z2 g
18.3 Vs Vs 2.22 m u2 s A d 2 0.0542 2 4 4
H=7.79m
2 2
2 0 2'
(2) 输水量增加5%后，水箱中水面上升高度H, 设此时水箱中水面高出排出口高度为H 输水量增加5%,则流速也增加5%,即:
1.05u2 u2
u'2=2.22m/s
或P1= RHgg
=13600×9.81×0.025=3335Pa（表）
p2=pa- Rg
或p2=- Rg =-1000×9.81×0. 5=-4905Pa（表）
p1 p2 101330 3335 101330 4905 于是 7.9% 20% p1 101330 3335
2
2
—柏努利方程
对于理想流体,在没有外界能量加入时，任意两个截面上所 具有的动能、位能、静压能之和是一个常数，即总机械能E 为常数。 但各个分机械能不一定相等，之间可以相互转换。
【例】如图，理想流体在管路中稳定流动，管路为等径管路，试 分析不同机械能会如何变化？ 1 解：理想流体，且没有提供能 量的传动设备，因此，柏 努利方程为:
选通过管道中心线的水平面 解： 做基准水平面。 R 0 1 1' 2 2' h 0'
选测压口处为上游截面1—1， 文丘里管得喉颈处为下游截面 2—2；
因为系统所输送的是气体，所以要检验一下是否满足柏努利方程 的条件： p p
1 2
p1=pa+ RHgg
p1
20%
0
R
1 1'
2
2' h
0'
在1—1和2—2两截面间列柏努利方程：
u1 p1 u2 p2 gz1 we gz2 h f 12 2 2
式中,z1=0,z2=0, p1=3335Pa(表), p2=-4905Pa(表), we=0,hf1-2=0 0 1
2
2
R 2 2' h
0'
1'
z1g
u12
2
p1 we z2 g
u22
2
p2 h f 12
单位：Pa
以单位重量为基准
2 2 u1 p1 we u2 p2 h f 12 z1 z2 2 g g g 2 g g g
单位：m
h f 12 w e 令： He, H f 12 g g 2 2 u1 p1 u2 p 则z1 He z2 2 H f 12 2 g g 2 g g
2 2
2 2' 24m
2m 1 1'
u1 p1 u2 p2 gz1 we gz2 h f 12 2 2
由已知： Z1=0,
Z2=24+2=26m,
P1=0(表） u10
P2= 6.15×104Pa(表压)
hf1-2= 160J/kg
Vs 34.5 u2 2.49 m s 2 2 d 0.07 3600 4 4
u2 u 于是 6866 .5 2 2
连续性方程:u1A1= u2A2 u1=7.34m/s
2
2 1
d1 u2 u1 d 16u1 2
2 3 m 132 .8
2
Vs

4
d u
2 1 1

4
3 m 0.08 7.34 0.03689
s
已知条件: Z1=3m, Z2=0m, Z3=3m, Z4=3.5m, Z5=3m, Z6=2m P1=0(表), P6=0(表) u10
4
1 3000 3 3' 1' 5 5' 6 6' 2 2' 1000 500
u12 p1 E gz1 3 9.81 29.43J / kg 2 u p6 u 而E E6 gz6 2 9.81 2 2 u6=4.43m/s
u1 p1 u2 p2 gz1 gz2 h f 12 2 2
式中: Z1=H, Z2=0, p1=0(表), p2=0(表), Σh =15u2 f 因为水槽截面与管道相比很大,可 以近似认为1—1处的流速为0 即u10 1 1' H 0'
2
2
u 2 gH 15u2 2
u p1 u2 p2 gz1 we gz2 h f 12 2 2
3.理想流体的柏努利方程：理想流体没有能量损失，因此方程中
2 1
2
的hf1-2为0，当没有能量加入时，即we也为0时，理想流体的
伯努利方程变为：
u1 p1 u2 p2 gz1 gz2 2 2
1
z1 2 2 0
u p1 u2 p2 gz1 gz2 2 2
定态流动,管径不变,d1=d2,因而,u1=u2
2 1
2
z2
0
因而,
p1 p2 gz1 gz2
流体自截面1—1流到截面2—2位能降低,其静压能升高,一部 分位能变成了静压能.
【例】有一变径水平通风管,如图,在锥形接头两侧各引出测压连 接管与U形管压差计相连,用水作指示液,测得读数R为40mm,假设 空气为不可压缩理想流体,试估计两截面上空气动能的变化,空气 密度=1.2kg/m3,水的密度1000kg/m3. 1 2 解: 选通过管道中心的水平面 0 0 0—0做基准水平面 2 1 在1—1, 2—2两截面间列柏努利方程 因是理想流体,且两截面间没有输送设备 提供能量,因而可列柏努利方程: R
2 u2 2 gH 15u 2
2
H=8.58m 1 1' H' 0'
H=0.59m
0
2 2'
【例3】用泵将贮液池中常温下的水送至吸收塔顶部，贮液池水面 维持恒定，各部分的相对位置如本题附图所示。输水管的直径为 76×3mm，排水管出口喷头连接处的压强为6.15×104Pa(表压)，送 水量为34.5m3/h，水流经全部管道（不包括喷头）的能量损失为 160J/kg，试求泵的有效功率。 解: 选择贮槽液面做上游恒算截面 1—1,排水管口与喷头连接处做 下游恒算截面2—2 (不能选在喷头下方,须保持液 面的连续性) 选1—1截面做基准水平面 在1—1及2—2截面间列 柏努利方程:
u2 u 392.4 327 J kg 2 2 1.2
此例说明,管径减小,动能增加,但静压能会相应减小,部分静压能 转变成了动能. 1 2 0 1 2 0
2 2 1
R a a
u p1 u2 p2 gz1 we gz2 h f 12 2 2
1000 500
【例4】水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动，管路直 径没有变化，水流经管路的能量损失可以忽略不计，试计 算管内截面2-2 、3-3、4-4 、5-5 处的压强。大气压强为 1.0133×105Pa。图中所标注的尺寸均以mm计。 4 解： 选择2-2 截面做基准水平面 4' 3 3' 理想流体，没有外部能量加入， 1 1' 5 5' 因此，根据理想流体柏努利方程，
u p1 u2 p2 gz1 gz2 2 2
此式中,z1=0,z2=0,因而方程可化为:
2 1
2
a
a
u1 p1 u2 p2 2 2
2
2
u2 u1 p1 p2 2 2
2
2
p1-p2=R (水- )g R 水g =1000×0.04×9.81=392.4pa