1基于积分欧拉公式的微分方程初值问题的解法

基于积分欧拉公式的微分方程初值问题的解法

【摘要】本文在积分欧拉公式的基础上，利用Gauss求积公式和Simpon公式解决欧拉公式的积分，获得了另外一种求解微分方程的方法，并对这种方法进行了精度比较。

【关键词】Gauss Simpon 欧拉稳定性

一、引入

含初值的微分方程：一阶常微分方程初值问题

，其中f(x,y)是一个已知函数是给定的数。

其中函数f：上连续且关于y满足Rlipschitz条件。

∈R，则初值问题在[x0,b]上存在唯一连续可微解y(x)。

二、欧拉公式的推导

基于几何直观，从初始点P0(x0,y0)出发。沿该点的方向场方向推进到x=x1上一点P1(x1,y1)，然后再沿点的方向推进到x=x2上一点P2(x2,y2)，循此前进作为一条折线P0 P1 P2……，用此折线作为近似解曲线（以直代曲），用折线上点Pn的纵坐标yn作为常微分方程在xn上的近似解，此法为Euler法。

针对Pn Pn+1，它的斜率为fn(xn,yn)，点Pn，Pn+1的坐标分别为(xn,yn)，(xn+1,yn+1)，所以由直线方程k=f(xn,yn)=，则yn+1=yn+hf(xn,yn)，此公式为一个求相挨节点的近似解的递推关系，称为欧拉公式。

三、扩展数值积分法

由①

将①式两边在[xn,xn+1]上积分得：

现在如何消去是构造递推公式的关键？

由Gauss求积公式推导微分解法

Gauss求积公式是求积方法的一种：