自主招生数学不等式 第三讲

自主招生学案：不等式第三讲

（2013年12月24日枣庄八中陈文)

考点三：重要不等式

一、考点分析：自主招生考试中所考的重要不等式主要包括绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式、琴生不等式等。

二．不等式求解的常见题型：

1、利用不等式证明结论。

2．利用不等式解决数学建模问题。 3．借助不等式求最优解问题。 4．不等式的综合问题。

三、例题详解及梯度训练：

（一）绝对值不等式

从不等式的背景可以看到，许多不等关系都涉及距离的长短、面积或体积的大小、重量的大小等等，他们都要通过非负数来表示，因此，研究含有绝对值的不等式具有重要意义。

定理1： 如果a ，b 都是实数，则||||||||||||a b a b a b -≤±≤+等号是否成立依赖与ab 的符号。

定理2： 如果a ，b ，c 都是实数，那么||||||a c a b b c -≤-+- 当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立

例1．如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个火车站，要求到六个村庄的路程

之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？

(2010年浙江大学)

梯度训练：

1.若对一切实数x ，都有|x-5|+|x-7|>a ，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．a<12 B. a<7 C. a<5 D. a<2 (2011年复旦大学)

2.|x-5|+|x-7|+|x-6|+|x-8|>a ，则a 的取值范围如何？

（二）平均值不等式

设(0,)(1,2,...,)i a i n ∈+∞=，记这n 个数的 调和平均值11n n

i i

n H a ==

∑，

几何平均值n G =

算术平均数1

n

i

i n a

A n

==

∑，

方幂平均数n X =

则n n n n H G A X ≤≤≤，当且仅当12...n a a a ===时等号成立。 例2．设正数a ，b ，c 满足a+b+c=1，求证：1

111000

()()...()27

a b c a b c +++≥

。 （2008年南京大学）

推广1：

推广2：

梯度训练：

1.设n 为正整数，求证：1

11(1)(1)1

n n n n ++<++。 （2008年山东大学）

2.已知已知函数212(),(1)1,(),23x f x f f ax b =

==+令111

,()2

n n x x f x +==。 （1）求数列的通项公式；（2）证明：121

...2n x x x e

>

对于任意的两组实数1212,,...,,,...(2)n n a a a b b b n ≥和，有

2

2

21

1

1

()()()n n n

i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当且仅当(,i=1,2)i i a b λμλμ=为常数，，...n 时成立

当都为正实数时，等号成立的条件可以改写为

12

12...n n

a a a

b b b === 例3.证明柯西不等式。 （2009年华东师范大学）

梯度训练：

1.设实数a ，b ，c 满足2

2

2

3

23.392712

a b c a b c ---++=

++>求证: （2008年西安交通大学）

2.设a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1，求2

2

2

111()()()a b c a

b

c

+++++的最小值。

（2008年南开大学）

设12121111...,...,,...,,,...,n n n n a a a b b b c c c b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数，为的任意排列，则

121111221122.........n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++

当且仅当1212......n n a a a b b b ======或时，等号成立

例4.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i （i=1,2，…10）个人的水桶需要t i 分钟，假定这些t i 各不相同。问只有一只水龙头时，应如何安排10个人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？

梯度训练：

设12,,...,n a a a 是n 个互不相等的正整数，求证：

321222

111

1......2323n a a a a n n

++++≤++++

1.凸函数：

（1）下凸函数：一般地，设f （x ）是定义在（a ，b ）区间上的函数，如果对于定义域内的任意两个数12,x x 都有1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≤

，则称f （x ）是（a ，b ）内的下凸函数.

（2）上凸函数：一般地，设f （x ）是定义在（a ，b ）区间上的函数，如果对于定义域内的任意两个数12,x x 都有1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≥

，则称f （x ）是（a ，b ）内的下凸函数.

2.凸函数常用的性质：

性质1：（琴生不等式）：对于（a ，b ）内的下凸函数f （x ），有

1212...()()...()

(

)n n x x x f x f x f x f n n

++++++≤

性质2：（加权琴生不等式）：对于（a ，b ）内的下凸函数f （x ），若12...1n a a a +++=，则

11221122(...)()()...()n n n n f a x a x a x a f x a f x a f x +++≤+++

注：对于上述两个关于凸函数的性质，我们将“≤”改为“≥”，即得上凸函数的琴生不等式。

例5.已知A,B,C 是锐角三角形⊿ABC 的三个内角，求tanA+tanB+tanC 的最小值。

（2010年北京科技大学）