直接 证明和间接证明

所以
a
+ 2
b

ab 成立
分析法的定义：
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、 定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法． 又叫执果索因法或叫逆推证法。
特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
练习. 求证： 3 2 6 5
例4.如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作 SB的 垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求 证：AF⊥SC
S
F E
A
C
B
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0
∵a ≠ 0
∴x 1
-
x 2

0,即x1
=
x 2
与x 1

x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现，是唯一 性问题,常用反证法。
例7.已知直线a,b和平面 ,如果 a , b 且a∥b,求证:a ∥
得到一个明显成立
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
的结论
例3:求证 3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5 都是正数， 所以为了证明 3 7 2 5 只需证明 ( 3 7)2 (2 5)2 展开得 10 2 21 20 即 21 5 只需证明21<25，因为21<25成立， 所以不等式 3 7 2 5 成立。
知识结构
推理
推
理
与
证
明
证明
合情推理 演绎推理
直接证明 间接证明
归纳推理 类比推理
综合法 分析法 反证法
1.综合法 例1：已知a>0,b>0,求a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明:
因为b2+c2 ≥2bc,a>0，所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0，所以b(c2+a2)≥ 2abc.
所以B=60o。
③
由a,b,c成等比数列，有b2=ac,
④
则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,
再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0
因此a=c。从而有A=C
⑤
则由② ③ ⑤得A=B=C=60o。
所以三角形ABC是等边三角形。
回顾基本不等式： a b ab (a>0,b>0)的证明.

a

b
P
看课本第43页，例题8。
知识结构
推理
推
理
与
证
明
证明
合情推理 演绎推理
直接证明 间接证明
归纳推理 类比推理
综合法 分析法 反证法
已知α,β≠
kπ+π(k 2

Z),且
sinθ+ cosθ= 2sinα，sinθgcosθ= sin2β
求证：1 - tan2α= 1 + tan2α
1 - tan2β . 2(1 + tan2β)
看课本第41页，例题6。
上述过程可用框图表示:
P P1
Pn P '
P1 P2


Q' Qm
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
综合法的定义：
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列 的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法。 综合法又叫由因导果法或顺推证法.
特点:“由因导果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表
示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
2.2 直接证明与间接证明———直接证明
2.2.1 综合法和分析法
复习
推理
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般）（特殊到特殊） （一般到特殊）
合情推理的结论不一定正确,有待证明; 前提和推理形式正确时演绎推理得到的结论一定正确.
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理. 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.
2
证明:
a+b
证明:要证 2
ab
因为 ( a b)2 0 只需证 a + b 2 ab
所以 a + b 2 ab 0 只需证 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
只需证 ( a b)2 0
a+b
所以 2
ab 成立 因为 ( a b)2 0 成立
S
F E
A
C
B
本题如何用综合法来证明？ 本题中： SB⊥平面AEF 吗？
请结合上述例子和自己感受，说说综合法和分析 法的各自特点和它们的适用情况。
（1）综合法： 由因导果，当条件明确，思路清晰时适用； （2）分析法： 执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。 （3）综合法是分析法的逆过程。
例5.
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、 c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△
ＡＢＣ为等边三角形．
证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，
①百度文库
因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o， ②
Q2 Q1 Q1 Q
小结
直接证明
直接证明 分析法 解题方向比较明确，利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述。
综分 合析 法法
通常以分析法寻求 思路，再用综合法有条理地表述解题过程
2.2 直接证明与间接证明———间接证明
2.2.2 反证法
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、
B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？ 分析:
假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
例6、已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
证：由于a ≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，
```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2 （x1 ≠x2 )是方程的两个根.