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{x∈I|p(x)}，其中 x 表示集合的元素，I 表示 x 的取 值范围，p(x)表示元素应满足的关系．如由不等式 x－3>2 的所有解组成的集合可以表示为{x∈R|x－ 3>2}．
(2)描述法的语言形式主要有两种：文字语言和符号 语言，如表示直角坐标轴上的点的集合． 文字语言形式：{点 P|P 是直角坐标轴上的点}； 符号语言：{(x，y)|xy＝0}． (3)使用描述法时，还应注意以下几点： ①写清集合中元素的代号，如实数或实数对； ②说明该集合中元素具有的性质，如方程、不等式、 函数或几何图形等； ③不能出现未被说明的字母； ④所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的 语句力求简明、确切．
[规范作答] (1)若 A 中没有任何元素，则关于 x 的 方程 ax2＋2x＋1＝0 无实根．
当 a＝0 时，x＝－12，不合题意；2 分 当 a≠0 时，Δ＝4－4a＜0，即 a＞1.4 分 ∴当 a＞1 时，A 中没有任何元素.6 分 (2)A 中只有一个元素，即关于 x 的方程 ax2＋2x＋1 ＝0 只有一个实数根或有两个相等的实数根 当 a≠0 时，Δ＝0，解得 a＝1，此时 x＝－1.8 分
(2)本例中，若A中至少有一个元素，求a的取值范 围；
(3)本例中，若A中至多有一个元素，求a的取值范 围．
解析： (1)∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，a＝－3. ∴方程－3x2＋2x＋1＝0 的解为 x1＝1 或 x2＝－13， ∴A＝{－13，1}． (2)①A 中只有一个元素时，由例题第(2)问知，a
解析： (1){x|x＝2n，n∈N}；(2){3,5,7,11,13,17,19}；
(3){x－3，x＋3}；(4){1,2， 5，－ 5}；(5){(x，
y)|x＜0，y＜0}；(6)x，yyy＝ ＝kk12xx＋ ＋bb12，
；
(7)xx≥45
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
集合的表示方法
【正解】 (1)由 x3＝x，即 x(x2－1)＝0，得 x＝0 或 x ＝1 或 x＝－1，因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列 举法表示应为{0,1}． (2)集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全 体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表 示应为{x|x 为实数}或 R.
当 a＝0 时，x＝－12.10 分 ∴当 a＝0，或 a＝1 时，A 中只有一个元素.12 分
[题后感悟] 已知集合中元素的个数，求参数的值 或取值范围时，关键是对集合的表示方法的正确理 解．本例中，由于集合A是方程的解集，所以转化 为对方程根的讨论问题．
2.(1)本例中，若1∈A，求a的值并用列举法表示集 合A；
来自百度文库
1．正确认识列举法表示集合 (1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但 元素间存在明显规律的集合，可采用列举法． (2)用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不 是用“、”隔开； ②元素不能重复；③不考虑元素顺序．
2．准确理解描述法表示集合 (1)描述法就是通过概括集合中所有元素具有的共 同特征的方式来表示集合的方法．它的一般形式为
x＋y＝3 (3)方程组x－y＝－1 的解是有序实数对，而集合{x＝ 1，y＝2}表示两个等式组成的集合，方程组的解集正确
x＝1 的表示应为{(1,2)}或{(x，y)|y＝2 } .故选 D. 答案： D
a≠0， ＝0 或 a＝1.②A 中有两个元素时，则有Δ＞0. 解 得 a＜1，且 a≠0. 所以当 a≤1 时，A 中至少有一个元素．
(3)A 中至多有一个元素，即关于 x 的方程 ax2＋2x ＋1＝0 没有实数根或只有一个实数根或有两个相 等的实数根，
∴Δa≠＝04，－4a≤0， 或 a＝0. ∴a≥1 或 a＝0.∴当 a≥1 或 a＝0 时，A 中至多有 一个元素．
答案： A
3．用列举法表示集合 D＝1＋6 x∈N|x∈Z为 D ＝________. 解析： ∵1＋6 x∈N， ∴1＋x＝1 或 1＋x＝2 或 1＋x＝3 或 1＋x＝6.
∴1＋6 x＝6，或 3，或 2，或 1. ∴D＝{6,3,2,1}． 答案： {6,3,2,1}
4．用适当的方法表示下列集合： (1)由所有非负偶数组成的集合； (2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集 合； (3)x2－9的一次因式组成的集合； (4)方程(x－1)(x－2)(x2－5)＝0的解组成的集合； (5)平面直角坐标系内第三象限的所有点组成的集合； (6)两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的交点的集 合； (7)不等式3x≥4－2x的解集．
◎下列说法：
(1)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；
(2)实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}；
(3)方程组xx－＋yy＝＝－3 1 的解集为{x＝1，y＝2}．
其中正确的有( )
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【错解】 A
【错因】 对于描述法表示集合，一应清楚符号 “{x|x 的属性}”表示的是所有具有某种属性的 x 的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄 清楚代表元素是什么．
[题后感悟] (1)用描述法表示集合，首先应弄清楚 集合的类型，是数集、点集还是其他的类型．描述 法多用于元素个数无限的集合． (2)使用描述法表示集合时，要注意以下几点： ①写明该集合的代表元素及所属范围；
②表达清楚该集合中元素的共同属性； ③多层描述时，应当准确使用“且”、“或”； ④所有描述的内容都要写在花括号内；
D．{x2－2x＋1＝0}
解析： 集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋ 1＝0的解集，此方程有两相等实根为1，故可表示为 {1}．故选B.
答案： B
2．集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
第2课时 集合的表示
下列集合的元素有何特点，可以用什么样的方法表 示这些集合？
(1)中国的直辖市． (2)24的所有正因数． (3)不等式x－1≥5的解集． (4)所有奇数的集合．
集合的表示方法
一一列举
共同特征
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1}
B．{1}
C．{x＝1}
[解题过程] (1)由x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3 所以方程x2－5x＋6＝0的解集为：{x|x2－5x＋6＝0} ＝{2,3}； (2){x|x＝2k＋1，k≥5，k∈N}； (3)由2－x＞6得x＜－4， 所以不等式2－x＞6的解的集合为{x|x＜－4}； (4)绝对值小于3的整数有±2，±1,0，所以绝对值小 于3的整数的集合为{－2，－1,0,1,2}
用适当的方法表示下列集合． (1)方程 x2－5x＋6＝0 的解集； (2)大于 9 的全体奇数构成的集合； (3)不等式 2－x＞6 的解的集合； (4)绝对值小于 3 的整数集合．
1用描述法表示集合，关键是理解题目中元素是 什么，满足什么条件.2用列举法表示集合，首 先弄清集合中元素的性质特点，然后按要求改写.
x＝0 x＝1 x＝2 x＝3 所以y＝3 或y＝2 或y＝1 或y＝0 . 所以 A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}； (4)描述法：{(x，y)|y＝2x＋1}．
集合概念的综合应用
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}． (1)若A中没有任何元素，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的取值范围． [策略点睛]切入点---集合A的含义是什么？ 思考点---A中元素个数由什么来决定？
⑤用于描述的语句力求简明、准确．
1.用适当的方法表示下列集合
y＝x (1)二元二次方程组y＝x2 的集合； (2)大于 4 的全体奇数组成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}； (4)一次函数 y＝2x＋1 图象上所有点组成的集合．
解析： (1)列举法：{(0,0)，(1,1)}； (2)描述法：{x|x＝2n＋1，n≥2 且 n∈N}； (3)列举法：因为 x∈N，y∈N，x＋y＝3，
(2)描述法的语言形式主要有两种：文字语言和符号 语言，如表示直角坐标轴上的点的集合． 文字语言形式：{点 P|P 是直角坐标轴上的点}； 符号语言：{(x，y)|xy＝0}． (3)使用描述法时，还应注意以下几点： ①写清集合中元素的代号，如实数或实数对； ②说明该集合中元素具有的性质，如方程、不等式、 函数或几何图形等； ③不能出现未被说明的字母； ④所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的 语句力求简明、确切．
[规范作答] (1)若 A 中没有任何元素，则关于 x 的 方程 ax2＋2x＋1＝0 无实根．
当 a＝0 时，x＝－12，不合题意；2 分 当 a≠0 时，Δ＝4－4a＜0，即 a＞1.4 分 ∴当 a＞1 时，A 中没有任何元素.6 分 (2)A 中只有一个元素，即关于 x 的方程 ax2＋2x＋1 ＝0 只有一个实数根或有两个相等的实数根 当 a≠0 时，Δ＝0，解得 a＝1，此时 x＝－1.8 分
(2)本例中，若A中至少有一个元素，求a的取值范 围；
(3)本例中，若A中至多有一个元素，求a的取值范 围．
解析： (1)∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，a＝－3. ∴方程－3x2＋2x＋1＝0 的解为 x1＝1 或 x2＝－13， ∴A＝{－13，1}． (2)①A 中只有一个元素时，由例题第(2)问知，a
解析： (1){x|x＝2n，n∈N}；(2){3,5,7,11,13,17,19}；
(3){x－3，x＋3}；(4){1,2， 5，－ 5}；(5){(x，
y)|x＜0，y＜0}；(6)x，yyy＝ ＝kk12xx＋ ＋bb12，
；
(7)xx≥45
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
集合的表示方法
【正解】 (1)由 x3＝x，即 x(x2－1)＝0，得 x＝0 或 x ＝1 或 x＝－1，因为－1∉N，故集合{x∈N|x3＝x}用列 举法表示应为{0,1}． (2)集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全 体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数，正确的表 示应为{x|x 为实数}或 R.
当 a＝0 时，x＝－12.10 分 ∴当 a＝0，或 a＝1 时，A 中只有一个元素.12 分
[题后感悟] 已知集合中元素的个数，求参数的值 或取值范围时，关键是对集合的表示方法的正确理 解．本例中，由于集合A是方程的解集，所以转化 为对方程根的讨论问题．
2.(1)本例中，若1∈A，求a的值并用列举法表示集 合A；
来自百度文库
1．正确认识列举法表示集合 (1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但 元素间存在明显规律的集合，可采用列举法． (2)用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不 是用“、”隔开； ②元素不能重复；③不考虑元素顺序．
2．准确理解描述法表示集合 (1)描述法就是通过概括集合中所有元素具有的共 同特征的方式来表示集合的方法．它的一般形式为
x＋y＝3 (3)方程组x－y＝－1 的解是有序实数对，而集合{x＝ 1，y＝2}表示两个等式组成的集合，方程组的解集正确
x＝1 的表示应为{(1,2)}或{(x，y)|y＝2 } .故选 D. 答案： D
a≠0， ＝0 或 a＝1.②A 中有两个元素时，则有Δ＞0. 解 得 a＜1，且 a≠0. 所以当 a≤1 时，A 中至少有一个元素．
(3)A 中至多有一个元素，即关于 x 的方程 ax2＋2x ＋1＝0 没有实数根或只有一个实数根或有两个相 等的实数根，
∴Δa≠＝04，－4a≤0， 或 a＝0. ∴a≥1 或 a＝0.∴当 a≥1 或 a＝0 时，A 中至多有 一个元素．
答案： A
3．用列举法表示集合 D＝1＋6 x∈N|x∈Z为 D ＝________. 解析： ∵1＋6 x∈N， ∴1＋x＝1 或 1＋x＝2 或 1＋x＝3 或 1＋x＝6.
∴1＋6 x＝6，或 3，或 2，或 1. ∴D＝{6,3,2,1}． 答案： {6,3,2,1}
4．用适当的方法表示下列集合： (1)由所有非负偶数组成的集合； (2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集 合； (3)x2－9的一次因式组成的集合； (4)方程(x－1)(x－2)(x2－5)＝0的解组成的集合； (5)平面直角坐标系内第三象限的所有点组成的集合； (6)两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的交点的集 合； (7)不等式3x≥4－2x的解集．
◎下列说法：
(1)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；
(2)实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}；
(3)方程组xx－＋yy＝＝－3 1 的解集为{x＝1，y＝2}．
其中正确的有( )
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【错解】 A
【错因】 对于描述法表示集合，一应清楚符号 “{x|x 的属性}”表示的是所有具有某种属性的 x 的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄 清楚代表元素是什么．
[题后感悟] (1)用描述法表示集合，首先应弄清楚 集合的类型，是数集、点集还是其他的类型．描述 法多用于元素个数无限的集合． (2)使用描述法表示集合时，要注意以下几点： ①写明该集合的代表元素及所属范围；
②表达清楚该集合中元素的共同属性； ③多层描述时，应当准确使用“且”、“或”； ④所有描述的内容都要写在花括号内；
D．{x2－2x＋1＝0}
解析： 集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋ 1＝0的解集，此方程有两相等实根为1，故可表示为 {1}．故选B.
答案： B
2．集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
第2课时 集合的表示
下列集合的元素有何特点，可以用什么样的方法表 示这些集合？
(1)中国的直辖市． (2)24的所有正因数． (3)不等式x－1≥5的解集． (4)所有奇数的集合．
集合的表示方法
一一列举
共同特征
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1}
B．{1}
C．{x＝1}
[解题过程] (1)由x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3 所以方程x2－5x＋6＝0的解集为：{x|x2－5x＋6＝0} ＝{2,3}； (2){x|x＝2k＋1，k≥5，k∈N}； (3)由2－x＞6得x＜－4， 所以不等式2－x＞6的解的集合为{x|x＜－4}； (4)绝对值小于3的整数有±2，±1,0，所以绝对值小 于3的整数的集合为{－2，－1,0,1,2}
用适当的方法表示下列集合． (1)方程 x2－5x＋6＝0 的解集； (2)大于 9 的全体奇数构成的集合； (3)不等式 2－x＞6 的解的集合； (4)绝对值小于 3 的整数集合．
1用描述法表示集合，关键是理解题目中元素是 什么，满足什么条件.2用列举法表示集合，首 先弄清集合中元素的性质特点，然后按要求改写.
x＝0 x＝1 x＝2 x＝3 所以y＝3 或y＝2 或y＝1 或y＝0 . 所以 A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}； (4)描述法：{(x，y)|y＝2x＋1}．
集合概念的综合应用
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}． (1)若A中没有任何元素，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的取值范围． [策略点睛]切入点---集合A的含义是什么？ 思考点---A中元素个数由什么来决定？
⑤用于描述的语句力求简明、准确．
1.用适当的方法表示下列集合
y＝x (1)二元二次方程组y＝x2 的集合； (2)大于 4 的全体奇数组成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}； (4)一次函数 y＝2x＋1 图象上所有点组成的集合．
解析： (1)列举法：{(0,0)，(1,1)}； (2)描述法：{x|x＝2n＋1，n≥2 且 n∈N}； (3)列举法：因为 x∈N，y∈N，x＋y＝3，