拓扑学

的原象集,或者简单地称为集合B的原象,或者称为集合 B的R原象, R1(Y ) 称为关系R的定义域. 关系是一个外延十分广泛的概念.读者很快便会看到在 数学学科中学过的映射，等价,运算，序等概念都是关 系的特例，这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的
关系，一个是 X Y自身，一个是 ，请读者自己对它
R X Y
.
(1)如果 (x, y) R ,则称x与y是R相关的,并且记作xRy;
(2)如果 A X ,则称Y的子集 R(A) {y B | 存在 x A使得 xRy}
为集合A相对于关系R而言的象集,或者简单地称为集合 A的象集,或者称为集合A的R象,R(X)称为关系R的值域;
(3)如果 B Y,则称X的子集: R1(B) {x X |存在y B 使得 xRy}为集合B相对于R
图1.1.1
观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:
A B (A B) B (A B) (A B) (B A)
这样做的好处在于将并集 A B 转化成互不相交 的集合并集.该集合等式也可以用定义证明.
集合中的运算律
设X是全集，A，B，C是X的子集，则以下运算律成立： (1)交换律 A B B A, A B B A (2)结合律 (A B) C A (B C), (A B) C A (B C) (3)零元,单位元 A A, A X A (4)吸收律 A (A B) A, A (A B) A
集合Y到集合Z的一个关系,则对于X中的任意两个子集
A和B,我们有: (1)
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R(A B) R(A) R(B)
(2) R(A B) R(A) R(B)
(3) (S R)(A) S(R(A))
(4) R(A) R(B) R(A B)
证明(1) y R(A B) 当且仅当存在 x A B 使得 xRy，当且仅当存在 x A 或存在 x B 使得 xRy，当且 仅当存在 x A ，xRy 或存在 x B ，xRy ,当且仅当 y R(A)或 y R(B) ，当且仅当 y R(A) R(B) . 于是 我们证明了 R(A B) R(A) R(B) . (2) 设y R(A B)，则存在 x A B 使得 xRy, 即存在 x A ，x B，使得 xRy.因此 y R(A) R(B).
以上运算定律由定义或作图不难验证,我们仅以对 偶律的验证为例,其余读者自己完成.
图1.1.2
图(a)中阴影部分表示 (A B) ,图(b)中右斜线表示 A ，左斜线表示 B . 由图1.1.2可得：(A B) A B . 定义1.1.5 对给定的非空集合 X ,Y 我们把由二元有序对 (x, y) (其中 x X , y Y ) 构成的集合叫做X与Y的笛卡 尔积，记作 X Y 用描. 述法表示是:
x, y X , xRy 和 yRx不能同时成立,则称关系R为非 对称的; 如果 R R R ,即对于任何 x, y, z X ,如果 xRy, yRz，则 xRz ，则称关系R是传递的.
证明：(1) (x, y) (R 1 )1 当且仅当x(R 1 )1 y ,当且仅当 yR1x,而这当且仅当 xRy ,这又当且仅当 (x, y) R.
于是我们证明了 (R1)1 R. (2)和(3)的证明类似于(1)，可根据定义直接验证,请读者 自己完成.
.
定理1.2.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从
虽然对于任意给定集合,它们的元素不必有序,但我们可 以把集合的元素串在一起,这样就可用线段或直线表示 集合.进而将集合的笛卡尔积就可用“平面图形”直观的表 现出来.
例1.1.1 设 A, B X , C, D Y 由下面的图1.1.3很容易得
(A B) (C D) A C (A B) D B (C D) A C B D (A B) D B (C D)
定义1.1.2 给定集合A,B,由A与B的全部元素
构成的集合叫做A与B的并集,记作 A B. 用描述法表示是: A B {x | x A, 或x B}
定义1.1.3 给定集合A,B,由A和B的公共元素
.
构成的集合叫做A与B的交集,记作 A B. 用描述法表示就是:A B {x | x A,而且 x B}.
A1 A2 An 3. 设 X {x1, x2, , xn} ，即X有 n 个互不相同的元素，X的幂集P (X)有多少个互不相同 的元素. 4. 设 X {a,b,c,，d} 用列举法给出P (X).
5. 设A，B是集合，证明 A A B 的充要条件是 B A , 且 A B B 的充要条件是
定义1.2.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从
集合Y到集合Z的一个关系,即 R X Y, S Y Z . 集合{(x, z) |存在y Y 使得 xRy, ySz}是笛卡尔积 X Z 的一个子集,即从 X 到 Z 的一个关系,称此关系为关
系R与关系S的复合,记作 S R.
.
因此 xS Rz 当且仅当存在 y Y 使得 xRy, ySz.
(3)由于 z S R(A) 当且仅当存在 x A 使得 xS Rz, 当且仅当存在 x A 使得 (存在 y Y 使得 xRy, ySz )， 当且仅当存在 y R(A) 使得 ySA . (4)设 y R(A) R(B) ,即 y R( A), yR(B) . 因此存在 x A ，使得 xRy . 此时假设 x B，由于 xRy，因此 y R(B) ，这与 yR(B) 矛盾，因此 xB, 因此存在 x A B, xRy ，因此 y R(A B)，R(A) R(B) R(A B).
(5)分配律 A (B C) (A B) (A C),
A (B C) (A B) (A C)
(6)幂等律 A A A, A A A (7)对合律 A A (8)对偶律 (A B) A B, (A B) A B (9)互补律 A A X , A A
⑥ 若 A C, B D， 则 A B C D ⑦ 若 A B C D ，则 A C, B D
⑧ (A B) (C D) (A C) (B D)
⑨ (A B) (C D) (A C) (B D)
⑩ (A B) (C D) A C B D
；
9. 设A，B，C表示集合，试用A，B，C及集合运算符号表示下面集合.
进行简单地考查.
定义1.2.3 设R是从集合X到集合Y的一个关系,即 R X Y ,这时笛卡尔积Y X的子集:
R1 {( y, x) Y X | xRy, x X , y Y}
是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的 逆，因此 yR1x 当且仅当 xRy. 显然，若B Y，集合B相对于关系R-1的象集就是集合 B相对于关系R的原象集.特别地关系R-1的值域就是关 关系R的定义域.
显然，S R 当且仅当 R(X ) S 1(Z ) .
定理1.2.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是 从集合Y到集合Z的一个关系,T是从集合Z到集合U的 一个关系,则
(1) (R 1 )1 R (2) (S R)1 R 1 S 1 (3) T (S R) (T S) R
定义1.1.1 对于两个集合A,B,如果A的每个元素都是集 合B的元素,我们称A包含于B,或B包含A,或A是B的子 集,记作 A B .
如果 A B，而且存在使得 y B，称A是B的真子集，
记作 A . B
如果A B ，同时B A，称集合A与集合B相等， 记作A=B.
➢不含任何元素的集合称为空集，用符号 表示. ➢规定空集是任意集合的子集. ➢含有有限个元素的集合叫做有限集， ➢不是有限集的集合叫做无限集.
8. 设A，B，C，D是全集X的子集,试判断下列命题的正确性.若正确，给出证明， 若不正确，给出反例.
① A (A B) B
② A (B A) A B
③ A (B C) (A B) (A C)
④ A (B C) (A B) (A C) ⑤ (A B) (A B) A,(A B) (A B)
（A-B）×（C-D）
图1.1.3
该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.
习题 1.1
1. 试判断下列关系式的正确与错误
A {A}; A{A}; {}; {}; {}; (); 2. 设 A1, A2 ,, An 都是集合，其中 n 2 ,证明：如果 A1 A2 An A1 , 则
点集拓扑学
主讲人：吴洪博
第一章 集合论初步
❖§1.1 集 合 ❖§1.2 关系,等价关系 ❖§1.3 映 射 ❖§1.4 集族及其运算 ❖§1.5 可数集，不可数集 ❖§1.6 基 数
§1.1 集 合
❖ 重点:熟悉有关集合的等式和性质 ❖ 难点:有关集合的有限笛卡尔积的等式和性质
❖ 集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里， 集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们 仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们 还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观 的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论 的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的， 不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地进入拓 朴学基础的学习程序.
定义1.1.4 给定集合A,B，把由属于A而不属于B 的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作 A B. 用描述法表示是 A B {x | x A, xB}. 如果 A B, 称 B A 为A在B中的补集，记作 A.
而此时可称B为全集，全集在一个问题中是事先 指定的或者是不言自明的.
对于集合之间的运算，有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中， 我们用两个圆分别表示集合A,B，而用阴影部分表示两个集合运算的结果.
X Y {( x, y) | x X , y Y}
其中x是第一个坐标,y是第二个坐标,X称为第一个坐标集, Y称为第二个坐标集. 特别地，记 X X 为 X 2 称为X的二重笛卡尔积. 对于有序对及笛卡尔积，读者并不陌生，我们学过的笛
卡尔直角坐标系中的点就是有序数对 (x, y), (x, y R) , 因而整个直角坐标系平面就是集合R的二重笛卡尔积R 2 (R表示实数集合).
定义1.2.5 设X是一个集合,从集合X到集合X的一个 关系简称为集合X中的一个关系.集合X中的关系:
{(x, x) | x X}
称为恒同关系，或恒同、对角线.记作 (X ) 或 . 定义1.2.6 设R是集合X中的一个关系,如果(X ) R, 即对于任意 x X ,有xRx,则称关系R为自反的; 如果 R R,1即对于任何 x, y X,如果 xRy,则 yRx. 则称关系R为对称的;如果 R R1 ,即对于任何
B A
， .
6. 设A，B都是集合,证明:若 A B ，则 B (B A) A .
7. 设某一个全集已经给定，证明
① A B A B
② A B (A B) B A (A B)
③ 若 A B X，并且 A B ，则 A B, B A
④ ( A1 B1) ( A2 B2 ) A1 A2 (B1 B2 )
D {x | x A 而且(x B或x C)}
E ，{x | (x A 而且x B)或x C}
F {x | x A 而且(x B xC)}
， ，
§1.2 关系,等价关系
❖ 重点：熟悉关系像，逆关系，复合关系和 等价关系的性质
❖ 难点：对命题演算知识的欠缺将影响性质 证明的严谨性
定义1.2.1 设X,Y是两个集合,如果 R X Y,即R是X 与Y的笛卡尔积 X Y的一个子集,则称R是从X到Y的 一个关系. 定义1.2.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系,即