向量代数与空间解析几何 期末复习题 高等数学下册

空间解析几何第七章
一、选择题 [ D ]，3）在1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2 第二卦限 A. 第一
卦限 B.
第四卦限 C. 第三卦限 D.
222?2x?y 2.方程[ C ]在空间解析几何中表示的图形为圆柱面 B. 圆 C. 椭圆柱面
D. A. 椭圆0??1?x?y?1z??1y?1x??l::l3.直线与，的夹角是 [ C ]?
1234202?y?z?x?????0 D. A.
B. C. 243平面的对称点是[ D ]，2,3）关于xoy4. 在空间直
角坐标系中，点（1 A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)2x4z?将xoz坐标面上的抛物线[B ]绕z轴旋转一周，所得旋转曲面方程是
5.2222)?y4(x?z y?z??4x A. B.
2222x4z??yy?z?4x? C. D.
[B ]与xoy平面夹角的余弦是6.平面2x-2y+z+6=01122?? D. B.
A. C. 33337. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz平面的
对称点是[ A ]
A. (-1,2,3)
B. (1,-2,3)
C. (-1,-2,3)
D. (1,2,-3)
22yx2??z表示的是8.方程 [ B ]22ab A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭
球面 D. 球面
???projb?b a[ C ] 已知则={0, 3, 4}, ={2, 1, -2},9. ?a1? C. -1 3 B.A. 3a,b
为不共线向量，则以下各式成立的是 D10．已知
222222)ba?(??b?ab(a?)ab A. B.
222222b()?()?(ab?aba?a()b??b?)a D. C.
x?y?z?0x?y?z?0??lll与，，的方程为直线则11．直线的方程
为??11231x?30y?29z?030x?31y?30z?0??l的位置关系是 D2 A.异面 B.相交
C.平行
D.重合
12．已知A点与B点关于XOY平面对称，B点与C点关于Z轴对称，那么A点与C点是 C
A.关于XOZ平面对称
B.关于YOZ平面对称
x?y?z对称 C.关于原点对称 D.关于直线13．已知A点与B点关于YOZ平
面对称，B点与C点关于X轴对称，那么A点与C点 C
A.关于XOZ平面对称
B.关于XOY平面对称
x?y?z对称 C.关于原点对称 D.关于直线14. 下列那个曲面不是曲线绕坐
标轴旋转而成的 C
222222221z??1x?y?z?1xy??x?y?z?1xy?z? C. D. A. B.ba,则下列等式正确的是 C为不
共线向量,15. 已知222222aa?a)?(a?bb)a?(a?b?aba?(b?b)?aba B. D. A. C.
a?(1,2,1)b?(?3,4,?3)a,b为两边的平行四边形的面积是 B，那么以，16．已知向量
52102 D. B.x?2y?3z?0???02?x?z??ll的位置关系方程17．已知直线与方程，与平面那么?3x?4y?5z?0?是C
???lll D.不能确定 C. 内 B. 垂直于 A. 平行于在?a,b0ab?所在直
线夹角18．两向量，那么下列说法正确的是 B，4????33bba,a,ba,夹角 C. 夹角 B.
D.A. 以上都不对夹角可能或4444??2?|b|?b(a,)?|a?|?1ba||（，D ，则）.19.
已知，且452?121 (B) (A) (C) (D)
x?3y?2z?1?0??:4x?2y?z?2?0:LL（ C ），则直线。

及平面20.设有直线?2x?y?10z?3?0?????斜
交与上 (C) 垂直于 (D) (A) 平行于 (B) 在22?zx??1?z轴旋转而成的旋
转曲面的方程为（ A）双曲线.21.绕54??y?0?
222222zxx??yyz??1??1 (B) (A)
54452222)?z?y)(zyx(x??1??1(C)
(D) 5544y),ca,b(轴对称的点是（ D ）关
于.22.点
(?a,?b,?c)(a,?b,?c)(a,b,?c)(?a,b,?c)(A) (B) (C) (D)
Prj(a)?}?3,4},b?{2,2,1a?{4,（，则23.已知A ）.b66?2?(A) 2 (B) (C)
(D) 414122?1?xy在空间表示（24. D ）.
(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面
a a?b?0b是（ C）25.设与.为非零向量，则
a?ba?b的充要条件的充要条件(A) (B)
a//ba//b的必要但不充分条件的充要条件(C) (D)
A,C,D0D?Ax?Cz?均不为零，则平面（ B），其中26．设平面方程为.
xx yy轴经过轴 (D) 轴 (B) 平行于 (C) 轴经过(A) 平行于uuuvuuuvuuuv?ABBC?b?acCA ABC?1，，三27．已知等边角形则为的边长，，且?a?c?b?b?ca?.
D）（??3311 (B) (D) (A) (C) 2222
( A )1)关于坐标原点的对称点是M(2，-3，28.点，-1)，-1) (B) (-2，-3(A) (-2，3，1)，-1) (D) (-2，3 (C) (2，-3的位置是
( B )29.平面2x-3y-5=0 轴 (B) 平面平行于Z(A) 平行于XOY轴
(D) 垂直于Z (C) 平行于YOZ平面( D )Y轴的对称点是，3，1)关于A(-230.点，-1)-3-3，1) (B) (-2，(A) (2，，-1)，-1) (D) (2，-3(C) (2，3( C )和y-3z=2都平行的直线方程是，2，4)且与平面x+2z=1(031.过点
4z?4z????2y??x??3?2????zy?0x??? (B) (A)
4?2zxy???0??4(y?2)?z?2x?32?31(C) (D)
yzx A 32．二个平面）和2x+3y-4z=1位置关系是（1???423 B）重合（A）
相交但不垂直（
D.）垂直（）平行但不重合（C.
07?2y?4z?x???0?y5?2z?13x??且与直线过点(2，0，-3)垂直的平面方程是( A )33.
0?(z?3)??2)?14(y0)?11?16(x (A)
0)(z?3?)?2(y?0)?4?(x2 (B)
0z?3)??5(y?0)?2(3(x?2)(C)
0?3)?(y?0)?11(z(?16x?2)?14(D)
??????ca,b?,,,?的中余，则弦与三坐标轴的夹角量34. 向分别为的方向?cos
=( A )bb?b?b222222????cababc b?ca?ba??c(A) (B) (C) (D)
22yxz???z?h相截，其截痕是空间 35. 已知曲面方程（马鞍面），这曲面与平面22ab 中的（ B ）
A. 抛物线；
B. 双曲线；
C. 椭圆；
D. 直线。

36. 点(3，1，2)关于XOZ平面的对称点是( B )
(A) (-3，1，2) (B) (3，-1，2)
(C) (3，1，-2) (D) (-3，-1，2)
2?2?9436?yx?z?0?绕X轴旋转一周，形成的曲面方程是( C )37. 曲线??????222222236??4??9364??9?yyxxzzz (B)
(A)
??2222236???364?9?49yyxxz (D)
(C)
38. 准线为XOY平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z轴的圆柱面方程是
( B )
2222??0??4yyxx (B)
(A)
22222?4???4?0?yyxxz (C) (D)
2222???yxkz x?z?a的交线在XOY平面上的投影39. 球面与曲线方程是(
D )
??222??z??ay?kz?2??222???z?ay?kz0z?? (A) (B)
2?
??22?22???yxa?kx?2??222???xa?y0z?kx? (C) (D)
????,,,,BABABA垂直的充分必要条件是( A )、β=40. 向量α= ZxXzYY(A) α·β=0 (B) α×β=0
AAA yzx??BBB zxy (D) α-β=0(C)
二、填空题
??????a?bb?7,?a?3,b?4,a? 1 则 1.
22yx??2z，当pq<0时, 方程表示的曲面称为双曲抛物面2. 有曲面方程pq
222???z16?y?2x22?z3y16?的柱面方程是x轴且通过曲线3. 母线平行
于?222?x?y?z?0?????3????????bba?b?b?c?c?a?ccaa?则,+都是单位向量，且
满足 +已知4. =0, ,24222zy?x?zx?轴旋转，所得曲面方程为绕X5、XOZ平面内曲线
uuuruuur64)(2,3,OB?OA?(1,2,3)OAB的面积是，向量6．已知向量，那
么三角形266??arccos0?1??3x?y?0?:x2y?z?3?z:与，则其夹角为 7、已知平面2133522)?(,,0?x(?1,2,0)?2y?z?1的投影为．点在平面上8333
x?y?6??8z5?x?1y?LL??:L:L的夹角为9.与设有直线与，则?
12123?z?y21?123?
??722|??2|b|a|?||u b3u?2a??)a(,b10．已知，则，的模，3
?a?b?3b2i?3j)2(a)a?3i?2j?k?(b?；，则 11. 已知向量与 0
rrr kj?133i?2
21z?x?1y???直线在平面上的位置关系是12、平面x+2y-z+3=0和空间直线
13?13??y平，此点关于XOY 213. 过点（，-3，6）
且与Y轴垂直的平面为
??6?2,?3,，它与原点的距离为 7面的对称点是
三：计算与证明z?3x?4y??的平面方程1.求过点M(3, 1 -2)且通过直线
152?),52,1s?(解：设N(4, -3, 0), , 由已知，),21,?4MN?(是所求平面内的向量
???s??MNn n又设所求平面的法向量是，，取
???kji????n?1?42??8i?9j?22k即：
521故，所求平面的方程为：－8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0
即：－8x+9y+22z+59=0
x?3y?5zx?10y?7z LL????相交, 2.求与直线相交且与直线：与直线：21
231541x?2y?1z?3L??平行的直线方程：3871LL分别
化为参数方程：，解：将
21??10x3?5x?2t???????7?4y?3t?5y，??????tzz????MMLL,
分别记为及值, 各得,，上的一点对于某个
t?t21???MM)k=[(2t-3)-(5-7)]j+(t-+10)]i+[(3t+5)-(4向量则?t???)k +12)j+(t-
=（2t-5-13）i+(3t-4MML即有平行于令向量，?3t
??? 12t133t-4 -2t-5+ -??187252565M???）
（-28，解得 t=, ，于是t2222565?y?z28x?2??所求直线为：
故1876z?x?2y?2?L??:平行于平面且与直
线:x-2y+3z-5=0过点3.直线LM(2, 6，3), 12?8?5求L的方程相交,
?的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0 解：过点M平行于即: x-2y+3z=0
LL写成参数方程的交点, 将:再求它与直线11x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t
代入上述平面方程得: t=-1
两点 P(7, 10, 4), 又L过M, P所以交点为3z-2y-6x???的方程为故: L
34-210-67-3-y-6z?x2??即：
1451?zxyzx?1y????，且平行于直线4．求过直线的平面方程。

2?21?1210?b?c2a??)c(a,b,，则有方程解：设平面法向量?02c?2a?b??0c??2,0)(?1,于是可取
法向量解得,?0?b?2a?0y?x?1)?2?(所以平面方程为????,ba,abc??、设是平面上两个不共线的非
零向量，为已知非零向量，求52???g a?aba g c??b,a得程组，此解两元一程：方两边同与次方作数量积得，解?2??g?a?bb g cb??2aca abac2bbc abbc????。

，
22aba aba22bab bab2x?y?z?1?0?3x?y?z?3?0:l上的投影求直线6.在平面?0?2?z2?y2?x? ??(x?2y?2z?2)?0(2x?y?z?1)?解：设平面束方程为??????),?2,?2(2?，于是由题意有其法向量为?????????0?27)?(??20)?(43(2??)，即3x?y?z?3?0????4??7,。

直线方程为
取??10x?15y?15z?1?0?x?2y?3z?4?0?:l的垂线与垂足，垂线要求参数方程。

7.求原点到直线?2x?3y?4z?5?0???ll的方向一致。

为过原点且垂直于的一个法向量与的平面，则解：设
232311(,,)?(?1,2,?1)l的方向：。

324243??x?2y?z?0的方程214)?,?(,l方程联立，解得垂足坐标将其与3332?x?t?3?1?y??t .于是垂线参数方程?3?4?z??t?
3?2x?3y?z?4?0?，求其点向式方程。

8．已知直线一般方程为?4x?6y?5z?1?0?(2,?3,?1),(4,?6,5)，
故直线方向为解：两平面法向量分别为?3?1?122?3
(,,)?(?21,?14,0)?65544?6?3y?z?4?0?199(0,,)0,x?令，得直线上一点?
?6y?5z?1?0721?919z??yx721??故点向式方程为
?21?140x?y?z?1?:ll的夹角为9.在直线上求一点A，使得它与原点所决定的直线与?0?z?x?6arccos3(1,1,?1)?(1,0,?1)?(?1,0,?1)l方向解：直线
uuur6)(x,1,xOA?)(x,1,xA?，解设直线上一，据题意有，则
321?2g2x1?x?此方程得。

1)(1,1,1)(?1,1,?或。

故A点坐标为x?2y?1?x?2y?1z?3?l:?:l10.证明：直线及直线共面。

?12y?z??263?2?n?{1,2,0}?{0,1,1}?{2,?1,1}(2分)ll的量方向向量证明：，的方向向212uuuv n?{3,?2,6}(2分)A?(2,?1,3)?l,B?(1,0,?2)?l,AB?{?1,1,?5},
由于这三。

点121个向量两两不平行，且
3?26vuuu1?0(4?1)n?n?AB?2分)(，21?5?11uuuv ll AB,,nn。

三向量共面因为由上式知共面(所以)与1221llll3)?M(?1,1,与证法2：与，故有交点：共面。

1122x?2y?1?x?1y?2z?1?:?l:l及直线11.求通过直线的平面方程。

?
12y?z??21?12?n?{1,2,0}?{0,1,1}?{2,?1,1}//n lll(3分)。

与解：，所以的方向向量为平行12122M?(?1,?2,1)?l,M?(1,0,?2)?lMl(2分)。

故所求上不在直线，且易知点222111uuuuuuv l MM确定
的平面。

它的法向量可取为平面就是两相交直线与121jik1?i?8j??nn?16k(3分).?2n? uvuuuuuu1MM21?322M?(?1,?2,1)为已知平面上的点，所求平面的点法式方程为又1x?8y?6z?11?0(2
分)01)x(???z?2)?8(y6(?1)。

，即
uuuvuuuv AB?2i?j?k,BC?3i?2j?k?ABCABC?的面积。

的两边构成的向量12．已知，求
uvuuuvuuuvuuuvuu11|BA?BC|?|AB?S?BC|(2分),解：ABC?22
ijk uuuvuuuv AB?BC?21?1?3i?5j?k(2分),而321uuuvuuu135??BC||AB35(2分)?S.，从而所以ABC?2x?z?2?x?y?z?0上的投影方程。

在平面13.求直线?y?2z?4?x?z?2?的平面束方程为解：过直线?4z?y?2???(y?2z?4)?z?2?0(2分):x?.??中取一个平面与已知平面垂直，则两法向量垂直，故有在???}?{1,1,?1}?2?0(2分{1,),?1，
2??????1?0,?1?2。

故过已知直线且与已知平面垂直的平面为即33x?2y?z?14?0(2分).
从而直线在平面上的投影即为
3x?2y?z?14?0?(2分).?x?y?z?0?2x?4y?z?0??3x?y?2z?9?0?求过直线 14. 且垂直于平面
4x-y+z-1=0的平面方程。

解设所求的平面的法向量为{A，B，C}，已知直线的方向数为{m,n,p} 9n?m???7?0?n?p?2m4?n10??p??0?nm??2p37??则10}(2分)，方向数为{97，有17C?A????37??7B?109AC?0?31C???B??4A?B?C?037??有又因)分(3-37}，31，{17
法向量为
直线上有点（0，-1，-4）
平面方程为17x+31(y+1)-37(z+4)=0
x?4y?3z??125且过直线-2)．求过点(3，1，的平面方程。

15取直线上一点（-1，-5，-1），设所求平面的法向量为{A，B，C}
两点连线的方向数为{4，6，-1}（2分）
8B?A????9?0C?6B?4A??B22??C??0C?A?2B?59??有分）， 22}（得2{-8则法向量
为，9平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0
即8x-9y-22z-59=0（2分）
16、一平面过点M（-1，1，2）与z轴，求该平面方程。

vvv kij vvv n??112?i?j,(3分)所
求平面方程为：x?y?0(3分)解：
100．。