复变函数 复习课件 西安交大第四版

∂u = 2 x + y , ∂u = − 2 y + x ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u 2, = 2, = −2 2 2 ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2u + 2 =0 2 ∂x ∂y
（1）偏积分： ）偏积分：
∂v ∂u ∂v ∂u =− = 2 y − x ⇒ v = ∫ dx = ∫ ( − )dx ∂x ∂y ∂x ∂y
f (z) ( z − z0 )n+1
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典型例子
ez 1 1 ∫ C z( z − 1)3 dz C1 :| z |< 2 C2 :| z − 1 |< 2 C3 :| z |< 2 ez ez ez ( z − 1)3 ∫ C1 z( z − 1)3 dz = ∫ C1 z dz = 2π i ( z − 1)3 = −2π i z=0
f ( z ) = u + iv
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(2). 不定积分法
z = x + iy ∂u ∂u (1) u ⇒ , ⇒ f ′( z ) = ux − iu y ==== U ( z ) ∂x ∂y
f ( z ) = ∫ f ′( z )dz = ∫ U ( z )dz + C
z = x + iy ∂v ∂ v ( 2) v ⇒ , ⇒ f ′( z ) = v y + iv x ====== V ( z ) ∂x ∂y
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= x 2 + xyi , 例1：w = z Re(z) u = x , v = xy ,
2
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 0, = y, = x. ∂y ∂x ∂x ∂y
四个偏导数均连续
满足柯西－ 仅当 x = y = 0 时, 满足柯西－黎曼方程 , 故函数 w = z Re( z ) 仅在 z = 0 处可导,
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1 = ( x + iy ) − i ( x + iy )2 + ic 2 1 = ( 2 − i ) z 2 + ic 2
2
（2）不定积分 ）
∂u = 2 x + y, ∂x
∂u = −2 y + x ∂y
f ′( z ) = ux − iu y = ( 2 x + y ) − i ( −2 y + x ) = 2( x + iy ) − i ( x + iy ) = ( 2 − i ) z f (z) = ∫ 1 ′( z )dz = ∫ ( 2 − i ) zdz = ( 2 − i ) z 2 + c f 2
∫
C2
ez ez 2π i e z ′′ z dz = dz = ∫ = eπ i z 3 C 2 ( z − 1)3 (3 − 1)! z =1 z ( z − 1)
ez ∫ C3 z( z − 1)3 dz =
ez ez ∫ C1 z( z − 1)3 dz + ∫ C2 z( z − 1)3 dz
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f
( n)
n! ( z0 ) = 2π i
f (z) ∫ C ( z − z0 )n+1 dz
f (z) 2π i ( n ) ∫ C ( z − z0 )n+1 dz = n! f ( z0 )
*计算方法： 计算方法： 计算方法
F ( z )=
f (z) 2π i ( n ) ∫ C F ( z )dz ========== ∫ C ( z − z0 )n+1 dz = n ! f ( z0 )
C
C1 C2
C3
Γ
D
2
2、柯西积分公式 、 定理 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析 , C 为 D
内的任何一条正向简单 闭曲线 , 它的内部完全含 于 D , z0 为 C 内任一点 , 那末 1 f (z) f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz . 2π i
C
z0 ⋅
D
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或
∂v ∂u < 1 > v = ∫ dx ====== ∫ ( − )dx = l ( x , y ) + ϕ ( y ) ∂x ∂y ∂v ∂l = + ϕ ′( y ) ===== ⇒ ϕ ( y) < 2> ∂y ∂y ∂x
∂v = ∂u ∂y ∂ x ∂ u
∂v =− ∂u ∂x ∂y
F ( z )= f (z) z − z0
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3、高阶导数公式 、 定理 解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶 n! f (z) (n) 导数为 : f ( z0 ) = ∫ ( z − z0 )n+1 dz (n = 1,2,L) 2π i C
其中 C 为在函数 f ( z ) 的解析区域 D 内围绕 z0 的 任何一条正向简单闭曲 线, 而且它的内部全含于 D.
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?
为 D 内的调和函数.
定理2 定理
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 内调和 ∂u ∂v ∂ x = ∂y C—R方程成立 方程成立 ∂v = − ∂u ∂x ∂y
f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )
在D内解析 内解析
∂v ∂u < 1 > v = ∫ dy ======= ∫ dy = h( x , y ) + g ( x ) ∂y ∂x ∂v ∂h < 2> = + g′( x ) ===== − ⇒ g( x ) ∂y ∂x ∂x
∂v =− ∂u ∂ x ∂y ∂ u
∂v = ∂ u ∂ y ∂x
f ( z ) = u + iv
x2 = ∫ ( 2 y − x )dx + ϕ ( y ) = 2 xy − + ϕ ( y) 2
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∂v ∂u = = 2x + y ∂ y ∂x 1 2 ∂v ⇒ = 2 x + ϕ ′( y ) = 2 x + y ⇒ ϕ ′( y ) = y ⇒ ϕ ( y ) = y + c 2 ∂y
故
x2 y2 v ( x , y ) = 2 xy − + +c 2 2
f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) x2 y2 = ( x 2 − y 2 + xy ) + i ( 2 xy − + + c) 2 2 1 2 2 = ( x + 2ixy − y ) − i ( x 2 + 2ixy − y 2 ) + ic 2
= −2π i + eπ i = ( e − 2)π i
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二.与C-R方程相关知识点 与 方程相关知识点
1.充要条件 充要条件 定理1 定理
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )
z = x + iy ∈ D
f ′( z ) 存在
u ( x, y ) 在 ( x, y ) 可微 (1) v( x , y ) ∂u ∂v ⇔ ∂x = ∂y C—R方程 方程 ( 2) ∂u ∂v 在 ( x, y ) 成立 =− ∂x ∂y
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*计算方法： 公式不但提供了计算某些复变函 计算方法： 计算方法 数沿闭路积分的一种方法, 数沿闭路积分的一种方法 而且给出了解析函数 的一个积分表达式. 的一个积分表达式 —————这是研究解析函数的有力工具 这是研究解析函数的有力工具
f (z) ∫ C F ( z )dz ===== ∫ C z − z0 dz = 2π if ( z0 )
所求 a = 2, b = −1, c = −1, d = 2.
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2. 解析函数与调和函数关系 定理1 定理 D——区域 区域
f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )
u( x , y ), v ( x , y )
在D内解析 内解析
∂ 2u ∂ 2u u = x ⇒ ∂ x 2 + ∂y 2 = 0 反例： 反例： f ( z ) = z = x − iy ⇒ ∂ 2v ∂ 2v v = − y ⇒ + 2 =0 2 ∂x ∂y u, v 为调和函数，但 f ( z ) = u + iv = x − iy = z 不解析 为调和函数，
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2.充分条件 充分条件
∂u ∂u ∂v ∂v (1) ∂x , ∂y , ∂x , ∂y 在 ( x, y ) 连续 定理3 定理 ∂u ∂v = f ′( z ) 存在 ⇐ ∂x ∂y C—R方程 方程 ( 2) ∂u ∂v 在 ( x, y )成立 =− ∂y ∂x
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三、Taylor级数及罗朗级数展开 Taylor级数及罗朗级数展开
1.收敛定理及证明 1.收敛定理及证明 《1》. 定理内容
∞ n (1) ∑ cn z0 ( z0 ≠ 0) 收敛 n= 0 ∞ n ( 2) ∑ cn z0 发散 n= 0
(阿贝尔Abel定理) 阿贝尔Abel定理) Abel定理
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u ( x, y ) (1) 在 D 内可微 v( x , y ) ∂u ∂v f ( z ) 在区域 内解析 ⇔ 在区域D内解析 ∂x = ∂y C—R方程 方程 ( 2) ∂u = − ∂v 在 D内成立 ∂y ∂x
定理2 定理
在复平面内处处不解析 .
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= x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ), 例2 设 f ( z ) 问常数 a , b, c , d 取何值时 , f ( z ) 在复平面内处处 解析 ? ∂u ∂u = 2 x + ay , = ax + 2by , 解 ∂x ∂y ∂v ∂v = 2cx + dy , = dx + 2 y , ∂x ∂y ∂u ∂v ∂ u ∂v 欲使 = , =− , ∂x ∂y ∂y ∂x 2 x + ay = dx + 2 y , − 2cx − dy = ax + 2by ,
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∂u ∂u ∂v ∂v (1) ∂x , ∂y , ∂x , ∂y 在D 内连续 定理4 定理 ∂u ∂v f ( z )在D内解析 ⇐ 内解析 ∂x = ∂y C—R方程 方程 ( 2) ∂u = − ∂v 在 D 成立 ∂y ∂x
一、复合闭路定理、柯西积分公式、 高阶导数公式 1. 复合闭路定理
设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 , C1 , C 2 , L, C n 是在 C 内部的简单闭曲线 , 它们 互不包含也互不相交 , 并且以 C , C1 , C 2 , L, C n 为边界的区域全含于 D,
C
C1 C2
——称u为v的共轭调和函数 称 为 的共轭调和函数
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3、利用该关系求解析函数 、
∂u ∂ u (1).偏积分法 以(已知 求v)为例 u ⇒ ∂x , ∂y 偏积分法(以 已知 已知u,求 为例 为例) 偏积分法 ∂v = ∂u , ∂v = − ∂ u ∂y ∂ x ∂x ∂y
C3
(1)∫ f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz ,
C k =1 Ck
如果 f ( z ) 在 D 内解析 , 那末 n
D
其中 C 及 C k 均取正方向;
1
( 2) ∫ f ( z )dz = 0.
这里 Γ 为由 C , C1 , C 2 , L, C n 组成的复合闭路 (其方向是 : C 按逆时针进行 , C1 , C 2 , Leabharlann Baidu, C n按 顺时针进行 ).
f ( z ) = ∫ f ′( z )dz = ∫ v ( z )dz + C
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例1:设u( x , y ) = x 2 − y 2 + xy 为调和函数，试求其共轭 设 为调和函数， 调和函数 v ( x , y ) 及解析函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )
∞ ∀z ∈ { z | z | <| z0 |}, ∑ cn z n 收敛 n= 0 ∞ ∀z ∈ { z | z | >| z0 |}, ∑ cn z n 发散 n= 0
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《2》.定理证明
n 由收敛的必要条件, 因为级数 ∑ cn z0 收敛, 由收敛的必要条件 有 证：
n lim c z = 0 因而存在正数 因而存在正数M, 使对所有的 有 cn z0 < M, 使对所有的n, n→ ∞ n z z n n 如果 z < z0 , 那末 = q < 1, 而 cn z = cn z0 ⋅ n < Mqn . z0 z0 由正项级数的比较判别法知: 由正项级数的比较判别法知