2019届广州市高三调研测试(理科答案)

3
由正弦定理，得
c 2 -b 2 二a 2 ab ，即 a 2 b 2 -c 2 二-ab , ..................
所以cos C 二
a 2
b 2 -
c 2
2ab
-ab = _1
2ab 2 .........................................
2兀
因为 o ::: C :::二，所以 C = ...........
3
n JI
⑵因为A '，所以B ' ................
6 6 丄 2兀
因为 ABC 二 ab sinC a 4,.
3分
5分
6分 7分
2019届广州市高三年级调研测试 理科数学试题参考答案及评分标准
评分说明：
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查
内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数.选择题不给中间分.
、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60 分.
二、 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共20分.
1
2/3
13. 1
14. 16
15.
16.
-
16 27
三、 解答题：共 70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 2 2
17.解：（1）由 cos B - cos C = sin A sin As in B ,
得 sin 2 C 一sin 2 B 二 sin 2 A sin Asin B ...............................
分 11
所以a 二4 ..................................................... 9分
2 二 在：MAC 中，AC 二 4, CM - 2, C -
3
1
所以 AM 2 二 AC 2 CM 2 - 2 AC CM - cos C = 16 4
2 2 A 28 .
..... 11 分
2
解得AM = 2“ ...................................................... 12分
-100 2.5 4 15
16 20 40 25
12 30 18
35 10 40
-3020 ........................................................ 1 分
3020
样本的质量指标平均值为 3020二30.2 ..................................... 2分
100
根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为 30.2 ................... 3分
(2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为
1 1
1 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为
一，-，— ......... 4分
2 3
6
6 6 36
3 6
9
1 P( X - 360) -C
1 1 1 1 + X = 5 1 1 P(X = 420) = C 1
1 1
2
2 6 3^
18
2
2 3 3
随机变量 X 的取值为：240，300，360，420，480 ...................... 5分
P( X = 240) J J =],
P( X = 300)=8 1 1 =],
P( X = 480) = ! 1 = 1， .............................................
10分
1 1511
所以E( X )二240 _ 300 _ 360 _ 420 _ 480 _= 400 ...................... 12 分
36 9 3 4
19.解(1)因为四边形ABCD为矩形，
所以BC // AD .
因为AD二平面ADE , BC二平面ADE ,
所以BC //平面ADE .............................................. 1分
同理CF //平面ADE .............................................. 2分
又因为BC CF =C，所以平面BCF //平面ADE ............................... 3分
因为BF 平面BCF ,所以BF //平面ADE .................................... 4分
(2)法一：
因为CD _ AD,CD _ DE ,
所以.ADE是二面角A -CD -F的平面角，即.ADE二60 ......................... 5分
因为AD DE二D，所以CD _平面ADE .
因为CD 平面CDEF ,
所以平面CDEF -平面ADE .
作AO - DE于点O，贝V AO —平面CDEF ..................................................... 6分由AD = 2,DE = 3，得DO = 1, EO = 2 •
以O为原点，平行于DC的直线为x轴，DE所在直线为y轴，OA所在直线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz，则
A( 0, 0^3 ),C (3, -1,0 J D (0, -1, 0 J E(0, 2, 0), F (3,5, 0),
OB = OA +AB =OA +DC =(3, 0,6,)……7 分
设G 3, t ,0 ，一1 乞5，
则BE = -3,2，八3 , BG 二0 ,t，八3
设平面BEG的法向量为m二x, y, z ,
"m^BE = 0, 3x+2y_ 3z = 0, x = 2 - t,
则由得＜Q，取g y = 3,
]m*BG = 0, 〔ty -73z 二0, z =血
得平面BEG的一个法向量为m= 2-t,3,、；3t , ...................................... 8分
又平面DEG 的一个法向量为 n 二(0,0,1), ............................ 所以 cos <m , n > —刨—L M
........................... 1 分
m
||n | J4t 2 — 4t +13
所以
^3 t I = 1,
.4t 2 - 4t 13 4 1 13
解得t 或t （舍去）， ................... 11分
2 22
此时 CG = 1，得 CG 二］CF .
CF 4 4 2
3
即所求线段CF 上的点G 满足CG ....................................... 12分
2
法二：作 BO _ CF 于点0，作OH _ EG 的延长线于点 H ，连结 BH .
因为 CD _ BC,CD _ CF , BC CF 二 C ,
所以CD —平面BCF , ............................................... 5分
-BCF 为二面角A - CD - F 的平面
角，._BCF = 60 .
所以BO —平面CDF , BO - EH •…7分 因为 OH _ EH ,OH BO =O , 所以EH -平面
BOH .
所以EH - BH , BHO 为二面角B - EG 在 Rt BCO 中，BC - 2, BCO - 60 , 所以 BO = 3,CO = 1 •
所以CD - BO • 因为 CD CF -C , 又因为cos BHO 二1，所以tan ・ BHO 二
聖= ,15 , OH 5
OH
5
10分
作EM - CF 于M
，则 OGH - ■ :EGM , EM = CD = 3,CM = DE = 3 ,
则OH
11分
OG
解得x =!_,
+ (2-x )2
3 即所求线段CF 上的点G 满足CG
..
12分
6分
-D 的平面角.
9分
c 1 r c
a =2, I a = 2,
2 2 2
20.解(1)依题意有a =b c ,解得b = y 3, .............................................................. 3分
3 3 d c - 1
_+「= 1, 5 - 1.
a2 4b
2 2
故椭圆C的方程为—y1 .................................................. 4分
4 3
(2)设A(x「yj, B X2 , y，设■"■F l AB的内切圆半径为r ,
△F i AB 的周长为AF i + AF2 + BF1 + BF2 = 4a = 8，
1
所以S F1AB43 T二4r.......................................................................................... 5分
解法一：
根据题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x = my 1，...................... 6分
f2 2
n
由4 3 1得(3m2 4)y2 6my -9 二0 .......................................................... .7 分x = my 1
A =(6m)2+36(3m2+4)>0，m = R，
-6m 解法-9
由韦达定理得y1 y2二乔，y1y2，
S
F’AB二「1F2 y1 - y2 =|y1-y2 = J" f4 y y
12. m2 1
3m2 4
8分
10分
令t ^ ：m2 1，则t - 1，S F1 AB
12t
3t2 1
4
73 -
3t
1
令f (t) =t ，则当t - 1时，f '(t) = 1- 3t
4
f (t) - f (1)二-，S
3
即当t =1,m二0时，
0 , f (t)单调递增, 3t2
.F1AB - 11分
故当直线l的方程为
3
S 的最大值为3，此时r 3
.F1AB max 4
x -1时，F AB内切圆半径的最大值为
1
12分
当直线丨不垂直于x轴时，设直线l的方程为y = k( x - 1),
-2 2
占x y=
由彳 # 亍1，得(4 k 2+ 3)x2 -8k 2 x + 4k 2 -12 = 0 ................................................... 7 分y =k(x—1)
.■■■■■■ - (8k 2 )2 - 4 4k 2 3 4k 2-12 = 144 k 2 1 0 ,
3
的最大值为3，=F AB内切圆半径的最大值为
21 •解：(1) f x的定义域为0, •:-,
_
2
，ax T ：：： 0恒成立,
，f '(x) 0，f x在0, 2上单调递增;
'(x) ":: 0，f x 在2,::上单调递减;
由韦达定理得
8k2
4k 2 3
,X1X2 =
4k2-12
4k 2 3
S 二1
WB 2 F y -y =y-y = k (x -x )
1 2 1
1 2 1 2
i 2 2
16 9k (k 1)
V (4k2+3)2
2 1 1 令t = 4k 2 - 3，则t -
3，0
16 9
9 t-3 t 1
t2t2
91f'严7；1 2 12 —7
3 :
3 12二3-
当直线丨_x轴时,
匚3、B -1, 一3、
-2
A'1,
2
，S F1AB .................. 6分
综上，当直线l的方程为x二1时，S
iR AB
2 2 -x ( x - 2) ax 2- 1
3分
■2
(ii)当 a 0时，由 f (x) =0得，x =2,x
1 2
1
,x 1 (舍去), 扁3
①当x 二X ,即a = 1时，f ( x) - 0恒成立,
f x 在(0,：：)上单调递增;
4
1
②当x x ，即a 时,
1 2
x 0,1
或x 气2,畑)时,f r (x) > 0恒成立,f (x )在'0, 1
递增;
,2时，f ( x) :: 0恒成立，f x 在 1
③当 x :: X 即 0 :：: a :: 1
时,
1 2
增; ,2上单调递减;
4
x J 1 ,邑 '或 x 气0, 2)时，f 〔X )> 0 恒成立，f ( x )在(0,
1
, ■::单调递
J 2 1、
x 2,
时，f (x) ：：： 0恒成立，f x 在2, 1 上单调递减;
综上，当a < 0时，f x 单调递增区间为 0, 2 ，单调递减区间为 2, •::;
1 当a 二［时, 4 1 当a 1时, 4 1
当 0 : a :: f x 单调递增区间为 0, •二，无单调递减区间; f (x )单调递增区间为 0, 1 ], (2,址)，单调递减区间为 时，f x 单调递增区间为(
0, 2), 1
J .1、
+乞单调递减区间为j 2 j 丿 I TZ 丿 ⑵由⑴知，当a ::: 0时，f x 单调递增区间为(0, 2), 单调递减区间为(
2, , 又因为 f 1 二a ::: 0,. 1 取 x 二 max{ - _, 5}，令 f (x)二 x - 2 In x ， f (x) 0 _ 1 2 1 2 二1，则 f '( x)二 1 二2 0 — 1 —
在(2,::)成立，故 f 1 (x) = x - 2 In x 单调递增，f 1 (x 0 ) ■- 5 - 2 In 5 = 1 2(2 - In 5) 1 ,
f (x ) =a(x - 2 In x ) U
0 0 0
1 1 .1c
0，
2-
2-
x x x
0 0 0
(注：此处若写当x > ::时，f X )-：："也给分)
8分
所以f x 有两个零点等价于
f ⑵=a(2 - 2ln 2) 1 . 0，得a .-
1
, 4
8 -8In 2 '
所以0 .a .
当a =1时,
4
当a ■ 0且
8 -8In 2
x _1 f (x) ，只有一个零点，不符合题意；
2
x
f x 在(0,：：)单调递增，至多只有一个零点，不符合题意; f (2) = a(2 1
a - 时，f x 有两个极值, 4
-2 In 2)十1 > 0 , f
1 1 ：
=2 f +a In a -a , 记 g(x) = 2JX + x In x -x ,
10分
g '(x)二 2 —
(1 In x) 一1 二 1 In x ,
2& vx
1 1 1 令h( x) = In x ，则 h x - ■ 1
时，h( x) 0 , g '(x)在
A
=2鼻1
.
3
2x 2
-::单调递增;
h r
( x) < 0 , g '(x)在 0,
1 ；
4
单调递减.
故 g ( x) g : 2 - 2 In 2
0 , g(x)在(0, -■)单调递增. 2丿
(1、
x t 0 时，g(x) t 0，故 f . 「2y- 儒丿a
1
又f (2) = a(2 - 2 In 2) - - 0 ,由(1)知，f x 至多只有一个零点，不符合题意.
4 综上，实数a 的取值范围为
a In a -a 0 .
11分
丄，
0 12
分
8 -8ln 2
(二)选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按 所做
的第一题计分.
22.解：（1）依题意，直线l的直角坐标方程为y x ,1的直角坐标方程为y 3x .
1T 2灯由=2 3 cos 2 sin^得;?2=2 3 ；co^ 2 siz
因为仔=x2 +y2 ,PcosT=x, PsinT=y ,
所以(x - V3)2+ ( y _1)2 = 4，.
x = 3 2cos
所以曲线C的参数方程为（:•为参数）.
y = 1 2si n :
Q= 71
(2)联立
得OA = P = 4 ,
|i=2 3cosr 2sinr
OB| | 2 = 2 V3 .......................................................
同理,
兀
又.AOB 二—, ................................
6
1 1 1 所以S AOB - —OA I |OB sin NAOB = —4
汉2 y/3汽—=2-^3 ,
即AOB的面积为2、、310分23•解：（1）当a =2时，原不等式可化为3x —1|+x—2卜3 ,
①当x <1 时，1 - 3x 2 -x 一3，解得x < 0,所以x < 0；.........
3
1
②当—<x < 2 时，3x -1 + 2 -x > 3，解得x > 1,所以1 <x < 2 ；
3 3
③当x > 2时，3x -1+x - 2 > 3，解得x > 所以x工2 ..
2
综上所述，当a = 2时，不等式的解集为「X | x < 0或x -V ...
1
(2)不等式x —1
一+f (x ) <x 可化为3x - 1 j x - a 兰3x，
3
依题意不等式3x -1+x -a < 3x在x = 1,1 I上恒成立,
〔3 2 I」
所以3x 一1 + x -a兰3x，即x -a兰1,即卩a 一1兰x兰a
+1 ,
10分 11
__1 41
-2 3
「 . 1 a - 1 - 十, 3 1 4
所以 3，解得
_a - a +1 > 1 ~2 3
1 2 故所求实数a 的取值范围是。