高中数学《平面向量基本定理》课件

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由于 a，b 为基底，所以113－m＝m＝1－12nn，，
所以A→E＝25a＋15 b．
解得mn＝＝5435，，
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[条件探究] 若将例 2 中的“A→N＝12N→C”改为“A→N＝14 N→C”，其他条件不变，试用 a，b 表示A→E.
解 由已知得A→N＝15A→C＝15b，A→M＝12A→B＝12a， ∵N，E，B 三点共线， ∴设A→E＝mA→N＋(1－m)A→B＝m5 b＋(1－m)a， 又∵C，E，M 三点共线，
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∴设A→E＝nA→M＋(1－n)A→C＝n2a＋(1－n)b， ∴m5 b＋(1－m)a＝n2a＋(1－n)b，∵a，b 不共线，
解析 ∵3e1＋3e2＝3(e1＋e2)， ∴两个向量共线，不能作为基底．
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(2)(教材改编 P94 向量夹角的定义)在锐角三角形 ABC 中，关于向量夹角的说法正确的是( )
A．A→B与B→C的夹角是锐角 B．A→C与A→B的夹角是锐角 C．A→C与B→C的夹角是钝角 D．A→C与C→B的夹角是锐角
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能 构成一组基底，故①③满足题意．
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拓展提升 能作为基底向量的条件
考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零 向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面 内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不 能作基底．
A．60° B．30° C．120° D．150° 解析 将向量移至共同起点，则由对顶角相等可得向量 －a，－b 的夹角也是 30°.
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(4)在等腰直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，则向量A→B， B→C的夹角为___1_3_5_°__．
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第二章 平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标 表示
2．3.1 平面向量基本定理
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1.平面向量基本定理
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∴ m15－＝m1－＝2nn， ，
解得mn＝＝8959，，
∴A→E＝49a＋19 b．
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拓展提升 用基底表示向量的方法
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解 易得A→N＝13A→C＝13b，A→M＝12A→B＝12a，由 N，E，B 三点共线知存在实数 m，满足A→E＝mA→N＋(1－m)A→B＝13mb
＋(1－m)A．
由 C，E，M 三点共线知存在实数 n，满足A→E＝nA→M＋ (1－n)A→C＝12na＋(1－n)b，所以13mb＋(1－m)a＝12na＋ (1－n)b，
∥e2，则 λ1＝0.( √ ) (4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的．( × )
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2．做一做
(1)设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组 向量中不能作为基底的是( )
A．e1，e2 C．e1,5e2
B．e1＋e2,3e1＋3e2 D．e1，e1＋e2
下列向量组：
①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B，其
中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
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解析 ①A→D与A→B不共线；②D→A＝－B→C，则D→A与B→C共 线；③C→A与D→C不共线；④O→D＝－O→B，则O→D与O→B共线．
解析 将向量移至共同起点，由向量的夹角的定义知 A→B，B→C夹角为 135°.
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探究1 正确理解基底的概念
例 1 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出
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探究2 用基底表示向量 例 2 如图所示，在△ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且 A→N＝12N→C，BN 与 CM 相交于点 E，设A→B＝a，A→C＝b，试用 基底 a，b 表示向量A→E.
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【跟踪训练 1】 设 e1，e2 是平面内一组基底，则下面 四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2 和 e1－e2 C．e1＋2e2 和 e2＋2e1
B．3e1－2e2 和 4e2－6e1 D．e2 和 e2＋e1
解析 ∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)， ∴两个向量共线，不能作为基底．
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解析 A→B与B→C的夹角是钝角，A→C与A→B的夹角是锐角， A→C与B→C的夹角是锐角，A→C与C→B的夹角是钝角．故选 B．
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课堂量 a，b 的夹角为 30°，则向量－a，－b 的夹角 为( )
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2．向量的夹角
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面向量的一组基底 e1，e2 一定都是非零向量．( √ ) (2)在平面向量基本定理中，若 a＝0，则 λ1＝λ2＝0.( √ )
(3)在平面向量基本定理中，若 a∥e1，则 λ2＝0；若 a