微分方程与传递函数

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建模方法：
建立数学模型的方法主要有机理法和实 验法(系统辨识) 机理法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物 理、化学定律列写出变量间的数学表达式， 并实验验证。
实验法(系统辨识) 对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃 信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据 系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨 识出系统的数学模型。
k
M
x(t)
F克服弹簧恢复力和阻尼力，使M向下运动， 产生加速度 固定端 分析质量块M受力，有: F(t) k与变形长度相关 (1)外力F (2)弹簧恢复力kx(t) M x(t) (3)阻尼力
f
(4)惯性力
与变形速 度相关
固定端
由于M受力平衡，所以
式中：x 为M的位移(m)； f 为阻尼系(N·s/m); k 为弹性系数(N/m)。
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系统的闭环特征方程，即令分母多项式等于 零： 系统的最高阶次，是特征方程的最高阶次，
系统的闭环极点，也称为特征根，是闭环特 征方程的解： 系统的闭环零点，是分子多项式等于零时的 解。
三、传递函数的性质
1、传递函数仅适用于线性定常系统； 2、传递函数是系统的数学模型，描述输入变 量和输出变量之间的动态变化关系，不同 的物理系统可以具有相同的传递函数； 3、传递函数表征系统本身的一种属性，表示 输入与输出之间的一种函数关系，它与输 入信号的大小和性质无关； 4、传递函数是关于复变量s的有理真分式， 它的分子，分母的阶次是n ≥m
第三章
控制系统的数学模型
微分方程与传递函数
第1,2小节
一、微分方程
数学模型是用来描述系统中各种信号(或变 量)的传递和转换关系的。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务 是建立系统的数学模型。
输入-输出模型
着重描述的是系统输入量和输出量之间的 数学关系 状态空间模型
着重描述的是系统输入量与内部状态之间 以及内部状态和输出量之间的关系
二、传递函数
线性系统的输入-输出关系： 方程两端进行拉氏变换： 在零初始条件下：
1.传递函数的定义 线性定常系统在输入、输出零初始条件 的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变 换之比，称为该系统的传递函数。
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2.传递函数与微分方程之间存在转换关系：
例：已知直流电动机以电枢电压 为输 入量，以角速度 为输出量的微分方程：
.将复阻抗1/sC代替电容C，输入输出函数变 为复函数
.将复阻抗1/sC代替电容C ，输入输出函数变 为复函数
.利用欧姆定理： 1/sC1与R1并联，而后再与R2和1/sC2串联， 求得输入端的总阻抗
.将复阻抗1/sC代替电容C ，输入输出函数变为 复函数
.利用欧姆定理： 1/sC1与R1并联，而后再与R2和1/sC2串联， 求得输入端的总阻抗R2和1/sC2对Ui(s)进行 分压，得到输出Uo(s)
其中， 为已知的定常参数，求相 应的传递函数。
解：将微分方程两边各项取拉氏变换：
电动机的传递函数为：
3.传递函数的因式分解形式(零极点形式)
Kg ：传递函数的增益
- zi(i=1,2,…,m):传递函数的零点 -pj(j=1,2,…,n):传递函数的极点 (n ≥ m)
以电动机系统的闭环传递函数为例，认识 传递函数中的一些术语：
化简，并写成输出/输入的形式：
关于并联电路阻抗的计算：
例:
1.阻抗替换： 2.1/sC与R并联：
3.输入端总阻抗：
4.输出端分压：
5.传递函数：
机理建模步骤
(1) 建立物理模型。必要的简化和假设 (2) 列写原始方程。根据系统内在规律(牛 顿运动学，能量守恒、物料守恒等)建立各 物理量之间的数学关系 (3) 选定系统的输入-输出变量及状态变量 ， 消去中间变量，建立模型
RLC电路系统的数学模型
ur (t ) L di (t ) Ri (t ) uc (t ) dt
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5.传递函数为系统的单位脉冲响应函数的拉 普拉斯变换。 系统的单位脉冲响应为： 传递函数的拉氏反变换为该系统的单位脉冲
响应函数 系统的单位阶跃响应为：
四、基本RLC网络的复阻抗
电阻、电容、电感与电压、电流之间满足 广义的欧姆定律。
RLC: 时域: 拉式 变换: 复阻抗:
例：列写RC网络的传递函数
duc (t ) dt
i (t ) C
d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) dt 2 dt
d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) u r (t ) dt 2 dt
机械系统的数学模型
例2.1 带阻尼的质量弹簧系 统如图所示，当外力F(t)作 F(t) 用于系统时，系统将产生运 动，试写出外力F(t)与质量 块的位移x(t)之间的动态方 f 程。其中弹簧的弹性系数为 k，阻尼器的阻尼系数为f， 质量块的质量为m。