第1讲 用矩阵消元法求解线性方程组

a11 a 21 am1
素( i 1, 2, , m; j 1, 2, , n ).
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
m n 称为该矩阵的型，aij 称为该矩阵的 (i, j ) 元 称为(数域 上的)一个 m n 矩阵. 其中，
a1n a2 n
am 2 amn
b1 b2 bm
分别称为(1)的系数矩阵、增广矩阵. 若以 n 个数 c1 , c2 , , cn 依次代换 x1 , x2 , , xn 后，使得(1)转化为一组恒等式，则称 列向量
[c1 , c2 , , cn ]T
C A B .
数与矩阵可以相乘. 定义 6 设 A [ aij ]mn ，则称矩阵 [kaij ]mn [ aij k ]mn 为数 k 与矩阵 A 的数量乘积(或
A 的 k 倍)，记作 kA 或 Ak .
加法与数量乘法统称为矩阵的线性运算. 2、 m n 矩阵空间 数域 上的全体 m n 矩阵形成的集合可以表示为
n 元行向量、 n 元列向量统称为 n 元向量，常用希腊字母 , , 表示.
二、矩阵的线性运算 1、加法与数量乘法 同型矩阵可以相加. 定义 5 设 A [ aij ]mn , B [bij ]mn ，则称矩阵 C [ aij bij ]mn 为 A 与 B 的和，记作
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右上到左下的对角线(穿过 a1n , a2, n 1 , , an1 )，称为 A 的次对角线. 3、 n 元向量 定义 4
1 n 矩阵 [a1 , a2 , , an ] 也称为 n 元行矩阵或 n 元行向量.
a1 a m 1 矩阵 2 也称为 m 元列矩阵或 m 元列向量. am
矩阵常用大写英文字母 A, B, C , 来表示. 为了标明矩阵的型，如上的矩阵 A 也常记 作 Amn . 做一般性考虑，或元素 aij f (i, j ) 有规律时，该矩阵也常记作 [aij ]mn 或 [ aij ] . 设矩阵 A [aij ]mn , B [bij ]st ，如果
设A
3 4 2 0 4 6 3 0 4 . 6 2 4 6 9 12 0 11 8
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例2
含有未知矩阵的等式称为矩阵方程. 求解矩阵方程 A 5 X B ，其中
1 2 3 1 1 A 0 ， 5 0 2
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三、矩阵的转置 1、转置矩阵 定义 9 以 A [ aij ]mn 的第 i 行各元素次序不变排成新矩阵的第 i 列( i 1, 2, , m )， 得到 n m 矩阵
a11 a 12 a1n
称之为 A 的转置矩阵，记作 A .
T
a21 am1 a22 am 2 ， a2 n amn
a ____ ， b ____ ， c ____ ；
u 1 2 (2) 设 B x v 3 为反对称矩阵，则 y z w u ____ ， v ____ ， w ____ ； x ____ ， y ____ ， z ____ .
m s, n t ，
则称 A 与 B 同型；若还有
aij bij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ，
则称 A 与 B 相等，记作 A B . 2、 n 阶方阵 定义 3
n n 矩阵称为 n 阶方阵.
A [aij ]nn 的从左上到右下的对角线(穿过 a11 , a22 , , ann )，称为 A 的主对角线；从
3 3 5 5 2 1 1 2 3 1 2 2 3 2
定义 1 设
1
的矩形数表，这就是矩阵，其包含了线性方程组的所有关键信息.
， 0, 1 ， 对四则运算封闭，
则称 是一个数域.
, , 都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域.
本课程中讨论各种问题时均以某个数域为前提. 一、矩阵的基本概念 1、 m n 矩阵 定义 2 由(数域 中) mn 个数排成的 m 行 n 列的矩形数表
[3, 5, 1, 2] ，求 3 7 .
3 [3, 9, 6, 12] ，
7 [21, 35, 7, 14] ， 3 7 [24, 26, 1, 2] .
为了表述方便，引入以下记号. 矩阵 A [ aij ]mn 的第 i 行对应的 n 元行向量可记作
row i A [ai1 , ai 2 , , ain ](i 1, 2, , m) ，
第 j 列对应的 m 元列向量可记作
a1 j a 2j col j A ( j 1, 2, , n) ， amj
(i, j ) 元素 aij 也记作 ent ij A(i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) .
为(1)的一个解(向量). (1)的全体解向量形成的集合称为(1)的解(向量)集合. 在(1)中，将 n 个未知量 x1 , x2 , , xn 改为 y1 , y2 , , yn ，并不影响解向量集合. 所以
反映了(1)的所有本质特征. 说，增广矩阵 A
2、初等变换
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来自百度文库
定义 11
在线性方程组(1)中，
T
-4-
aij a ji (i, j 1, 2, , n) .
若 A A ，则称 A 为反对称矩阵. 其元素特点为
T
aij a ji (i, j 1, 2, , n) ，
特别地
aii 0(i 1, 2, , n) .
例5 填空，请读者完成.
1 2 3 (1) 设 A a 4 5 为对称矩阵，则 b c 6
项( i 1, 2, , m; j 1, 2, , n )；
(1)
称为 m n 线性方程组. 其中， m n 称为(1)的型； aij 称为(1)的系数， bi 称为(1)的常数
A [aij ]mn ，
a11 a A 21 am1
a12 a22
注
按分块矩阵表示法， C [ A, B ] ， C
AT . T B
矩阵的转置与线性运算有如下联系：
( A B ) T AT B T ，
2、对称矩阵与反对称矩阵
(kA)T kAT .
T
对于方阵 A [ aij ]nn ，以主对角线为轴翻转(将各 aij 与 a ji 对调)，即得 A . 定义 10 对于方阵 A [ aij ]nn ，若 A A ，则称 A 为对称矩阵. 其元素特点为
mn {[aij ]mn | aij } .
mn 对加法、数量乘法都封闭，且具有以下基本运算律： (1) A B B A ； (2) ( A B ) C A ( B C ) ；
(3) A O A ，其中 O [0]mn 称为零矩阵； (4) A ( A) O ，其中 A [ aij ]mn 称为 A 的负矩阵； (5) 1A A ； (6) k (lA) ( kl ) A ； (7) ( k l ) A kA lA ； (8) k ( A B ) kA kB . 定义 7
① 互换两个方程的位置； ② 用非零数乘某个方程； ③ 某个方程加上另一个方程的倍数， 分别称为(1)的第 1、2、3 类初等变换. 定理 1 线性方程组的三类初等变换都是同解变形. □
3、 n 元向量空间 定义 8
1n 也称为数域 上的 n 元行向量空间， m1 也称为数域 上的 m 元列向量空间， 1n 与 n1 常统一记作 n ，并称为数域 上的 n 元向量空间.
注 例3 解
O1n 与 On1 都称为 n 元零向量，同记作 0 .
设 [1, 3, 2, 4],
第1讲
用矩阵消元法求解线性方程组
3 x1 3 x2 5 x3 5 x4 2, x1 x2 2 x3 3 x4 1, 2 x 2 x 3 x 2 x 1. 2 3 4 1
矩阵的概念是从讨论线性方程组引入的. 例如，考虑线性方程组
能反映其本质特征的是未知量的 3 4 12 个系数和 3 个常数项. 将这些系数和常数项分离 出来，就得到像
1 0 5 B 2 1 0 . 3 1 2
解
0 2 2 5 5 0 2 2 2 1 . 2 0 1 0 X 1 ( A B) 1 5 5 5 5 2 1 0 2 1 0 5 5
以 A [ aij ]mn 的第 j 列各元素次序不变排成新矩阵的第 j 行( j 1, 2, , n )，亦得
a11 a 12 T A a1n
显然，有
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
ent ij A ent ji AT (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ，
T T T
A, B, C 的转置矩阵分别为
1 0 2 AT , 3 1 2 1 2 3 T B 0 1 1 , 5 0 2 1 0 3 1 C T 1 2 1 0 5 0
T
2 2 3 . 1 2
性质 对称矩阵的和、差、倍仍对称，反对称矩阵的和、差、倍仍反对称. □ 四、矩阵的初等变换 1、线性方程组与矩阵 含 m 个一次方程， n 个未知量的方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 , am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
显然有
ent ij ( A B ) ent ij A ent ij B ， row i ( A B ) row i A row i B ， col j ( A B ) col j A col j B ； ent ij (kA) k ent ij A ， row i (kA) k row i A ， col j (kA) k col j A .
(加法交换律) (加法结合律) (加法右单位元) (加法右逆元) ( 1 倍) (数乘结合律) (第一分配律) (第二分配律)
mn 关于矩阵的加法与数量乘法，称为数域 上的 m n 矩阵空间. 减法是加法的派生运算： A B A ( B ) .
例1 解
1 0 2 2 1 0 ，B ，求 2 A 3B O . 3 1 2 2 3 4 2 A 3B O 2 A 3B
( AT ) T A .
例4 设
1 0 5 1 3 1 0 5 1 3 A 0 1 ， B 2 1 0 ， C 0 1 2 1 0 ， 3 1 2 2 2 2 2 3 1 2
求A , B ,C . 解