江西省上饶市广丰一中2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科)(重点班) Word版含解析

2017-2018学年江西省上饶市广丰一中高二（下）期中数学试卷（文
科）（重点班）
一.选择题
1．若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）
A ．
＞
B ．＞
C ．|a |＞|b |
D ．a 2＞b 2
2．若a ，b ，c 为实数，则下列命题错误的是（ ） A ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b B ．若a ＜b ＜0，则a 2＜b 2
C ．若a ＞b ＞0，则＜
D ．若a ＜b ＜0，c ＞d ＞0，则ac ＜bd 3．不等式|2x ﹣3|＜5的解集为（ ） A ．（﹣1，4） B ．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，4） D ．（﹣1，+∞）
4．若x ∈R ，则“x ＜1”是“|x |＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5．不等式|x ﹣1|+|2x ﹣1|≤5的解集为（ ）
A ．[﹣1，）
B ．[﹣1，1]
C ．（，1]
D ．[﹣1，]
6．函数y=xsinx +cosx 的导数是（ ）
A ．y ′=2sinx +xcosx
B ．y ′=xcosx
C ．y ′=xcosx ﹣sinx
D ．y ′=sinx +xcosx
7．曲线y=﹣x 3+3x 2在点（2，4）处的切线方程为（ ） A ．x=4 B ．y=4 C ．x=2 D ．y=2x
8．已知x ＞0，y ＞0，且+=1，若x +2y ≥a 恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9．当x ∈R 时，x +的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣4]
B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C ．[4，+∞）
D ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）
10．已知x ＞0，函数y=x +的最小值是（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
11．圆x 2+y 2=4经过变换公式
后，得到曲线方程是（ ）
A ．
+y 2=1 B ．x 2+=1 C ．x 2+
=1 D ．
+y 2=1
12．将极坐标（4，）化为直角坐标是（ ）
A ．（2，2
）
B ．（2
，2）
C ．（2，2
）
D ．（2
，2）
二、填空题
13．关于x不等式|2x﹣5|＞3的解集是．
14．已知正实数x，y满足xy=9，则x+9y取得最小值时x=，y=．15．曲线y=4x﹣x3在点（1，3）处的切线的倾斜角是．
16．若不等式|x+3|+|x﹣5|≥n2﹣2n的解集为R，则实数n的取值范围是．三、解答题
17．将曲线x2+y2=4按伸缩变换公式变换后得到曲线C，求曲线C的方程．
18．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣2|．
（1）作出函数y=f（x）的图象；
（2）解不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＞1．
19．已知a+b=1，a＞0，b＞0．
（1）求+的最小值；
（2）若不等式+≥|2m﹣3|对任意a，b恒成立，求m的取值范围．
20．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣3，g（x）=﹣|x+1|+4．
（1）若函数f（x）值不大于2，求x的取值范围；
（2）若不等式f（x）﹣g（x）≥m+1的解集为R，求m的取值范围．
21．已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
22．已知函数f（x）=的定义域为R．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足+=n时，求7a+4b的最小值．
2017-2018学年江西省上饶市广丰一中高二（下）期中数
学试卷（文科）（重点班）
参考答案与试题解析
一.选择题
1．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）
A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b2
【考点】不等式的基本性质．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，
∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，
可知：B，C，D都正确，
因此A不正确．
故选：A．
2．若a，b，c为实数，则下列命题错误的是（）
A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＜b＜0，则a2＜b2
C．若a＞b＞0，则＜D．若a＜b＜0，c＞d＞0，则ac＜bd
【考点】不等式的基本性质．
【分析】根据不等式的基本性质，判断每个选项即可
【解答】解：对于A：若ac2＞bc2，则a＞b，故正确，
对于B：根据不等式的性质，若a＜b＜0，则a2＞b2，故B错误，
对于C：若a＞b＞0，则＞，即＞，故正确，
对于D：若a＜b＜0，c＞d＞0，则ac＜bd，故正确．
故选：B
3．不等式|2x﹣3|＜5的解集为（）
A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣∞，4）D．（﹣1，+∞）
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】利用绝对值不等式的解法可知，|2x﹣3|＜5⇔﹣5＜2x﹣3＜5，从而可得答案．【解答】解：∵|2x﹣3|＜5，
∴﹣5＜2x﹣3＜5，
解得：﹣1＜x＜4，
故选；A．
4．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．
【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，
则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，
故选：B
5．不等式|x﹣1|+|2x﹣1|≤5的解集为（）
A．[﹣1，）B．[﹣1，1] C．（，1]D．[﹣1，]
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】对x分x＜，≤x≤1与x＞1范围的讨论，去掉原不等式左端的绝对值符号，从而易解不等式|x﹣1|+|2x﹣1|≤5的解集．
【解答】解：当x＜时，|x﹣1|+|2x﹣1|≤5⇔﹣x+1﹣2x+1≤5，
解得：﹣1≤x＜；
当≤x≤1时，|x﹣1|+|2x﹣1|≤5⇔﹣x+1+2x﹣1≤5恒成立，
∴≤x≤1；
当x＞1时，|x﹣1|+|2x﹣1|≤5⇔x﹣1+2x﹣1=3x﹣2≤5，
解得：1＜x≤．
综上所述，不等式|x﹣1|+|2x﹣1|≤5的解集为[﹣1，]．
故选：D．
6．函数y=xsinx+cosx的导数是（）
A．y′=2sinx+xcosx B．y′=xcosx
C．y′=xcosx﹣sinx D．y′=sinx+xcosx
【考点】导数的运算．
【分析】利用求导法则以及求导公式解答即可．
【解答】解：y'=（xsinx+cosx）'=（xsinx）'+cosx'=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx；
所以函数y=xsinx+cosx的导数是xcosx；
故选B．
7．曲线y=﹣x3+3x2在点（2，4）处的切线方程为（）
A．x=4 B．y=4 C．x=2 D．y=2x
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据曲线方程y=﹣x3+3x2，对f（x）进行求导，求出f′（x）在x=2处的值即为切线的斜率，曲线又过点（2，4），即可求出切线方程．
【解答】解：∵曲线y=﹣x3+3x2，
∴y′=﹣3x2+6x，
∴切线方程的斜率为：k=y′|x=2=0，
又∵曲线y=﹣x3+3x2过点（2，4）
∴切线方程为：y=4，
故选：B．
8．已知x＞0，y＞0，且+=1，若x+2y≥a恒成立，则实数a的最大值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】基本不等式．
【分析】由x+2y≥a恒成立，可得a不大于x+2y的最小值，运用乘1法和基本不等式，可得x+2y的最小值为8，进而得到a的最大值．
【解答】解：x＞0，y＞0，且+=1，可得
x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8，
当且仅当x=2y=4，取得最小值8．
由x+2y≥a恒成立，可得a≤8，
则a的最大值为8．
故选：D．
9．当x∈R时，x+的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣4]B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）【考点】基本不等式．
【分析】讨论x＞0，x＜0，运用基本不等式a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等号），即可得到所求范围．
【解答】解：当x＞0时，x+≥2=4，
当且仅当x=2时，取得最小值4；
当x＜0时，x+=﹣[（﹣x）+（﹣）≤﹣2=﹣4，
当且仅当x=﹣2时，取得最大值﹣4．
综上可得，x+的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．
故选：D．
10．已知x＞0，函数y=x+的最小值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】对勾函数．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵x＞0，∴函数y=x+≥=6，当且仅当x=3时取等号，
∴y的最小值是6．
故选：C．
11．圆x2+y2=4经过变换公式后，得到曲线方程是（）
A． +y2=1 B．x2+=1 C．x2+=1 D． +y2=1
【考点】曲线与方程．
【分析】直接利用变换公式代入化简求解即可．
【解答】解：圆x2+y2=4经过变换公式即：后，得到曲线方程是：
4x′+=4．
可得：x2+=1．
故选：B．
12．将极坐标（4，）化为直角坐标是（）
A．（2，2）B．（2，2）C．（2，2）D．（2，2）
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．
【分析】利用即可得出．
【解答】解：x=4cos=2，y=4sin=2．
∴直角坐标为（2，2）．
故选：C．
二、填空题
13．关于x不等式|2x﹣5|＞3的解集是（﹣∞，1）∪（4，+∞）．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】去掉绝对值符号，转化求解即可．
【解答】解：不等式|2x﹣5|＞3化为：2x﹣5＜﹣3或2x﹣5＞3，
解得x＜1或x＞4．
不等式|2x﹣5|＞3的解集是：（﹣∞，1）∪（4，+∞）．
故答案为：（﹣∞，1）∪（4，+∞）．
14．已知正实数x，y满足xy=9，则x+9y取得最小值时x=9，y=1．
【考点】基本不等式．
【分析】由条件，运用基本不等式：a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等号），即可得到所求最小值时x，y的值．
【解答】解：由正实数x，y满足xy=9，
可得x+9y≥2=6=6×3=18，
当且仅当x=9y，即x=9，y=1时，取得最小值18．
故答案为：9，1．
15．曲线y=4x﹣x3在点（1，3）处的切线的倾斜角是．
【考点】导数的几何意义．
【分析】求导数得到y′=4﹣3x2，进而可以得出切线斜率k=tana=1，从而可以求得切线倾斜角的值．
【解答】解：y′=4﹣3x2；
∴切线斜率k=4﹣3=1；
∴tanα=1，
∴a=；
即切线倾斜角为．
故答案为：．
16．若不等式|x+3|+|x﹣5|≥n2﹣2n的解集为R，则实数n的取值范围是[﹣2，4] ．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
【分析】利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|x﹣5|≥8，依题意，解不等式n2﹣2n≤8即可．【解答】解：∵|x+3|+|x﹣5|≥|（x+3）+（5﹣x）|=8，
∴|x+3|+|x﹣5|≥n2﹣2n的解集为R⇔n2﹣2n≤8，
解得﹣2≤n≤4．
∴实数n的取值范围是[﹣2，4]．
故答案为：[﹣2，4]．
三、解答题
17．将曲线x2+y2=4按伸缩变换公式变换后得到曲线C，求曲线C的方程．
【考点】曲线与方程．
【分析】利用代入法，即可得到伸缩变换的曲线方程．
【解答】解：由得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
代入x2+y2=4得到：=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以：曲线C的方程为：=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
18．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣2|．
（1）作出函数y=f（x）的图象；
（2）解不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＞1．
【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）利用绝对值的几何意义，将函数写出分段函数，即可得到函数的图象；（2）结合函数的图象，及函数的解析式，即可得到结论．
【解答】解：（1）f（x）=，图象如图所示
﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）当x＜时，原不等式可化为﹣x﹣1＞1，解得：x＜﹣2，
∴x＜﹣2；
当≤x＜2时，原不等式可化为3x﹣3＞1，解得：x＞，
∴＜x＜2；
当x≥2时，原不等式可化为x+1＞1，解得：x＞0，
∴x≥2﹣﹣﹣
综上所述，原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．已知a+b=1，a＞0，b＞0．
（1）求+的最小值；
（2）若不等式+≥|2m﹣3|对任意a，b恒成立，求m的取值范围．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）运用乘1法，可得+=（+）（a+b），展开后，运用基本不等式即可得到所
求最小值；
（2）由恒成立思想可得|2m﹣3|≤9，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）由a+b=1，a＞0，b＞0，
可得+=（+）（a+b）=5++≥5+2=9，
当且仅当=即a=且b=时取等号，
则+的最小值为9；
（2）由+的最小值为9，
不等式+≥|2m﹣3|对任意a，b恒成立，
可得|2m﹣3|≤9，
即为﹣9≤2m﹣3≤9，解得﹣3≤m≤6，
即有m的取值范围是[﹣3，6]．
20．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣3，g（x）=﹣|x+1|+4．
（1）若函数f（x）值不大于2，求x的取值范围；
（2）若不等式f（x）﹣g（x）≥m+1的解集为R，求m的取值范围．
【考点】不等式的基本性质．
【分析】（1）利用函数f（x）值不大于2，点的不等式，取得绝对值符号求x的取值范围；（2）求出f（x）﹣g（x）的最值，利用不等式的解集为R，得到m的关系式，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得f（x）≤2，
即|x﹣3|﹣3≤2，得|x﹣3|≤5．
解得﹣2≤x≤8，∴x的取值范围是[﹣2，8]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）f（x）﹣g（x）=|x﹣3|+|x+1|﹣7，
因为对于∀x∈R，由绝对值的三角不等式得
f（x）﹣g（x）=|x﹣3|+|x+1|﹣7≥|（x﹣3）﹣（x+1）|﹣7=4﹣7=﹣3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣于是有m+1≤﹣3，得m≤﹣4，
即m的取值范围是（﹣∞，﹣4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=x2﹣4x=x（x﹣4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可；把函数导数为0点代到f（x）中，判断极大极小值即可．
【解答】解：（1）f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，可求得．…
（2）由（1）可知，
f'（x）=x2﹣4x=x（x﹣4），
∴极大值为，极小值为．…
22．已知函数f（x）=的定义域为R．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足+=n时，求7a+4b的最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）由题意可得|x+1|+|x﹣1|﹣m≥0恒成立，可设函数g（x）=|x+1|+|x﹣1|，运用绝对值不等式的性质，可得g（x）的最小值为2，即有m≤2；
（2）运用乘1法，变形可得7a+4b=（7a+4b）（+）= [2（3a+b）+（a+2b）]
（+），展开后运用基本不等式，可得最小值，注意等号成立的条件．
【解答】解：（1）因为函数定义域为R，
所以|x+1|+|x﹣1|﹣m≥0恒成立．
设函数g（x）=|x+1|+|x﹣1|，则m不大于函数g（x）的最小值．
又|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，
即g（x）的最小值为2，所以m≤2．
故m的取值范围为（﹣∞，2]；
（2）由（1）知n=2，正数a，b满足+=2，
所以7a+4b=（7a+4b）（+）
= [2（3a+b）+（a+2b）]（+）
= [5++]≥（5+2）=，
当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时，等号成立．
所以7a+4b的最小值为．
2018年9月2日。