2012-2013第一学期《数学建模》选修课期末考试题

2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题卷

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成绩：

一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)

1．模型

所谓模型是指为了某个特定目的将原型所具有本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。

2．数学模型

数学模型就是对某种事物系统的特征和数量关系，借助数学语言而建立起来的符号系统。

3．抽象模型

抽象模型，即理想模型。分为思维模型、符号模型、数学模型等。

二、简答题（每小题满分8分，共24分）

1．模型的分类

模型一般分为具体模型和抽象模型两大类。

具体模型有直观模型、物理模型等，抽象模型有思维模型、符号模型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤

1）、建模准备：确立建模课题的过程；

2）、建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；

3）、构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；

4）、模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；

5）、模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。；

6）、模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；

7）、模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.

3．数学模型的作用

数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、

高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。

三、解答题（满分20分）

C 题 (9n+2, 9n+4)

某人从南郊前往北郊火车站乘火车,有两条路可走. 第一条路穿过市中心,路

程较短,但交通拥挤,所需时间(以分钟计) 服从正态分布(35,80)N ；第二条路沿环城公路走,路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布(40,20)N . 试问(1)假如有50分钟时间可用,应走哪条路？(2)若只有40分钟时间可用,又应该走哪条路线？

设X 表示“该人沿第一条路线从南郊到北郊火车站所需的时间”,Y 表示“该人沿第二条路线从南郊到北郊火车站所需的时间”,依题意~(35,80)XN, ~(40,20)YN.

(1) 若有50分钟可用,由于

P { X ≦ 50} = Ф(

803550-) ≈ Ф(1.68) = 0.95352, P { Y ≦ 50} = Ф(

20

40

50-) ≈ Ф(2.24) ≈ 0.98745.

于是,该人从南郊到北郊火车站沿第二条路走,在50分钟内到达的概率比沿第一条路的概率大,故此时应选择第二条路走. (2) 若有40分钟可用,由于

P{X ≦ 40} = Ф(803550-) ≈ Ф(0.56) = 0.71226, P{X ≦ 40} = Ф(

20

4040-) ≈ Ф(0) = 0.5.

因此,该人从南郊到北郊火车站沿第一条路走,在40分钟内到达的概率比沿第二条路的概率大,故此时应选择第一条路走. 四、综合题（21分）

L. 跑步中的数学问题(7n+2, 7n+6, 7n+4)

跑步是基本活动技能，是人体快速移动的一种动作姿势。跑步和走路的主要区别在于两腿在交替落地过程中有一个腾空阶段。跑步是最简便而易见实效的体育健身内容。近二三十年来，跑步已成为国内外千百万人参加的群众健身运动， 是

深受广大群众所欢迎的健身项目。人们普遍认为跑步是最好的健身方法。 每个正常人都经历过跑步，有人会疲惫不堪。 我们的问题是：怎样跑不能使我们消耗的能量尽可能的少？

论文题目：如何跑步使我们消耗的能量尽可能的少

论文摘要：在现实生活中我们在日常的运动中常常碰到一些问题，其中我们最关心的就是我们在跑步的过程中如何让我们的能量消耗的更少，如何去通过数学建模来解决实际生活中的问题。

关键词：尽可能少的能量 算法 论文正文：

问题提出：我们如何去应用数学模型去解答跑步中消耗能量的问题，这个

问题是我们现在面临的。

假设：

（1） 跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两条腿同时离开地面的时间；第二部分为一条腿或两条腿同时落地的时间。这样人的身体重心如图所示。根据经验不妨设

h

d =

b

a

（2）假设跑步是匀速的，速度为v.跑步所消耗的能量为

W f = (h+d)mg m 为身体的质量

W s = 21

m ′v

m ′为腿部的质量

于是，跑步时所消耗的能量总和为

W = W f + W s = (h+d)mg +

2

1m ′v

（3） 用L 表示人的身高，不妨设m 、m ′与L 3成正比，a 与L 成正比，即

mC 1=L 3，m ′=C 2L 3，a=C 3L.

模型求解

重心离开B 上升到最高点所需要的时间

t=

v

b 2

因此，最高的高度为