最新高等数学(上)第五章定积分总结

第五章 定积分
内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。

要求：理解定积分的概念和性质。

掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。

重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。

难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。

§1.定积分的概念
一、实例分析
1．曲边梯形的面积
设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形.
如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底⨯高.
(2) 预备一张细长条的纸, 其面积≈底⨯高.
(3) 预备一张呈曲边梯形状的纸,
将其撕成许多细长条. (4) 启示:
将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小.
第i 个细长条面积)],,[()(11---=∆∈∀∆≈∆i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ
曲边梯形面积: ∑=∆≈
n
i i
i
x
f S 1
)(ξ
定积分概念示意图.ppt
定义: ),,2,1,max {()(lim 1
n i x x
f S i n
i i
i
Λ=∆=∆=∑=→λξλ
抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义
设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界.
(1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间:
}
,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n
i x x i i i i i i ΛΛ=∆=-=∆=--λ记
(2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点ξi , 做乘积: i i x f ∆)(ξ. (3) 求和:
∑=∆n
i i
i
x
f 1
)(ξ
(4) 取极限: ∑=→∆n
i i
i
x
f 1
)(lim
ξλ
若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作:
⎰
b
a
dx x f )(. 即:
∑⎰
=→∆=n
i i i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ
[a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限；
∑=∆n
i i
i
x
f 1
)(ξ积分和式.
问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? 注: (1)
∑
=∆n
i i i x f 1
)(ξ与区间的分割法∆x i 和取点法ξi 有关; 而⎰b
a
dx x f )(与∆x i 和ξi 无关.
(2)
⎰
b
a
dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即：
[][]⎰⎰⎰⎰
===b
a
b a
b a
b
a
d f du u f dt t f dx x f )()()()(
2．定积分存在定理
定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积.
例1. 求
⎰1
xdx
解: x x f =)(在[0, 1]连续, 积分存在. ∑⎰=→∆=n
i i
i x xdx 1
1
lim ξλ
与[0, 1]的分割法和ξi 的
取法无关. 选取特殊的分割法和取点法, 可使计算简便. (1) 将[0, 1]n 等分, n
x n i x i i 1,=∆= (2) 取点ξi =2)(,n
i
x f x i i i i =∆=ξξ
(3) 求和
2)1(1)(2
1
21
+==∆∑
∑
==n n n n i x f n
i n
i i i ξ
(4) 取极限212)1(lim
)(lim 20
=+=∆∞→→n
n n x f n i i ξλ 故
2
1
1
=
⎰
xdx 3. 定积分的几何意义
若)(x f 在[a , b ]上非负, 则⎰b
a dx x f )(=曲边梯形面积; 若)(x f 在[a ,
b ]上非正, 则
b
⎰
b a
dx x f )(
的几何意义是由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成曲边梯形面积的代
数和.
例2. a b dx xdx dx x b
a
-===
-⎰
⎰⎰
-;
0sin ;
121
2
π
ππ
.
三、定积分的性质 1．规定
⎰⎰
⎰-==a
b b
a
a
a
dx
x f dx x f dx x f )()()
2(0
)()1(
2．性质
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=±=±=b
c
c a
b a
b
a
b a
b a
b
a
b
a
dx
x f x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx
x f k x kf )()()()3()()()]()([)2()()()1(
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-=⇒+=
b
c
c
a
c
a
c
b
b
a
b a
c
b
c a
dx
x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx
x
f dx x f dx x f )()()()()()()()(
(4) 若在[a , b ]上有)(0)(b a x f <≥，则0)(≥⎰b
a dx x f
推论1 若)()()(b a x g x f <≥，则⎰⎰≥b
a
b
a
dx x g dx x f )()(
推论2
⎰
⎰
≥
b
a
b
a
dx x f dx x f )()(
(5) 设M 、m 分别为)(x f 在[a , b ]上的最大、最小值)(b a <，则
)()()(a b M dx x f a b m b
a
-≤≤-⎰
(6) (积分中值定理) 设],[)(b a C x f ∈, 则),(b a ∈∃ξ, 使得
))(()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ
f (ξ)
将中值定理变形得：
a
b dx x f f b
a
-=
⎰)()(ξ
称为)(x f 在[a , b ]上的平均值.
§2. 微积分基本公式
一、变速直线运动中的位置函数与速度函数之间的关系（略）
二、积分上限的函数及其导数
设)(x f 在[a , b ]上连续, 则∀x ∈[a , b ], 有)(x f 在[a , x ]上连续. 从而⎰
x
a
dx x f )(存在.
在这里, 积分上限x 与被积变量x 的性质是不同的. ⎰
b
a
dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无
关.
⎰⎰
=x
a
x
a
dt t f dx x f )()(与a 、x 、f 有关.
对于[a , b ]上的任一点x , ⎰
x
a
dt t f )(有一个确定的对应值, 故⎰x
a
dt t f )(是x 的函数, 记作
Φ(x ), 即:
)(,)()()(b x a dt t f dx x f x x
a
x
a
≤≤==Φ⎰⎰
称为积分上限的函数.
定理 若)(x f 在[a , b ]上连续, 则积分上限的函数
⎰=Φx
a
dt t f x )()(
在[a , b ]上可导, 且
)()()(x f dt t f x x
a ='⎪⎭
⎫ ⎝⎛=Φ'⎰ 证明: ⎰∆+→∆=Φ-∆+Φ=∆∆∆='x x x x dt t f x x x y x
y
y )()()(,lim
)()(lim )(lim )(lim
)(000
x f f x
x
f x dt t f x x x x
x x
x ==∆∆=∆=Φ'→∆→∆∆+→∆⎰
ξξ积分中值定理
.
注: 若)(x f 在[a , b ]上不连续, 则最后一个等式不成立. 此定理说明, ⎰
=
Φx
a
dt t f x )()(是)(x f 的一个原函数.
例1. 202sin sin x dt t x
='⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰
例2. ⎰
=
x t dt e x G 1
)(, 求)(x G '
例3. 求极限x
dt
e x
t x sin lim 0
⎰
→.
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 若)(x f 在[a , b ]上连续, )(x F 是)(x f 的一个原函数，则
)()()(a F b F dx x f b
a
-=⎰
证明：)(x F 是)(x f 的一个原函数, ⎰
=Φx
a
dt t f x )()(也是)(x f 的一个原函数, 同一
个函数的两个原函数之间相关一个常数, 于是有:
)
()()()(0)()()()()()()()(a F b F dx x f a F C C a F dx x f C b F dx x f C
x F dx x f C x F dt t f b
a a a
b a x
a
x
a
-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⇒=+=+=⇒+=⇒=-⎰⎰⎰⎰⎰
[]b
a
b a
b
a
dx
x f x F a F b F dx x f ⎰⎰
=
=-=)()()()()(记作
记作
例1.
⎰
9
4
dx x
例2.
⎰
-214
1)
1(1dx x x
[]
3
)124(2arcsin 212)
1(1214
1214
1214
1π
ππ=-==-=-⎰
⎰
x
x
x d dx x x
例3．
⎰--1
21
dx x
[]2ln ln 11
2
1
2-==----⎰x dx x 例4．
⎰
-3
2
2dx x
[]
[]
942)(2230
2
02
2
3
2
3
2
+=+-=+-=---⎰⎰⎰
x x xdx dx x dx x
例5.
{}
⎰
2
2,max dx x x
{}
3
8
21,max 2
210
2
2+=
+=⎰⎰⎰
dx x xdx dx x x 例6.
⎰
-π
3sin sin dx x x
()()3
4sin 32sin 32)cos (sin cos sin cos sin sin sin 2
23202
3
2
20
3
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+⋅==-⎰⎰⎰
⎰
π
ππ
π
ππ
π
π
x x dx x x xdx x dx
x x dx x x
注：在数学计算过程中, 要对结论(答案)作合理性检验.
§3. 定积分的换元法和分部积分法
一、定积分的换元法
定理 若)(],
,[)(t x b a C x f ϕ=∈满足如下条件：
(1) )(t ϕ是[α,β](或[β,α])上单值单调函数; (2) )(t ϕ在[α,β](或[β,α])有连续导数; (3) b a ==)(,)(βϕαϕ 则:
⎰⎰
'=β
α
ϕϕdt t t f dx x f b
a
)()]([)(.
例1.
dx x x ⎰
++4
1
22
令2
1
,122-==+t x t x . 当x =0时, t =1; 当x =4时, t =3.
322
332123221
1223
1
33123124
=
+⋅=+=⋅+-=++⎰⎰⎰
t dt t tdt t t dx x x (若不定积分掌握得很好得话, 可以直接凑微分:
40404
12132122112221)12(21122⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++=++-+=++⎰⎰⎰⎰
dx x dx x dx x x dx x x ) 与不定积分换元法相比较, 有两点不同:
(1) 积分变量由x 变为t 时, 积分的上下限也要随之改变; (2) 求出关于t 的原函数后无须回代成x 的函数. 例2.
dx x x ⎰
---2
2
2
1
1
12)1(tan sec sec 1
1433
243321
cos sec 2
2
2
ππ
πππ-=-==
-⎰⎰
⎰
=
=--dt dt t t t dx
x x x t t
x
注：换元积分公式，满足)(t ϕ所要求的条件很重要，如：
I dt t
dt t t dx x I t x -=+-=-
⋅+=
+=⎰
⎰⎰
--=
-1
1
11222
11
12
11
)1(11111
而事实上，[]2
arctan 1
1π
=
=-x I ，其原因在于)(t ϕ在t=0不可导.
例3. 证明: (1) 若)(x f 是[-a , a ]上的偶函数, 则⎰⎰
=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(
(2) 若证明)(x f 是[-a , a ]上的奇函数, 则0)(=⎰
-a
a
dx x f
证明:
⎰⎰⎰
+=--a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f 0
0)()()(
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰+-=+-=-=-=--=
--=-a
a
a a
a
a
a a
t
x a dt
x f x f dx x f dx x f dx x f dx
x f dt t f t d t f dx x f 0
)]()([)()()()()()()()(
此例提示我们, 在计算定积分时, 看到对称的积分限, 要保持敏感. 例
⎰
-=+1
1
5340)(cos x x x .
例4. ]1,0[)(C x f ∈, 证明:
⎰
⎰⎰⎰=
=π
π
π
π
π
20
20
)(sin 2)(sin )2()(cos )(sin )1(dx
x f dx x xf dx x f dx x f
并计算
⎰
+π
2
cos 1sin dx x
x
x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⇒-=--=
=-=
-=-=π
π
π
ππππ
π
π
π
π
πππ0
20
22
20
)(sin )(sin 2)(sin )(sin )()(sin )()(sin )2()(cos )()(cos )(sin )1(dx
x f dx x xf dt t tf dx x f t d t f t dx x xf dx
x f t d t f dx x f t
x t x
[][]4
)arctan(cos 2
)arctan(cos 2
cos cos 11
2cos 1sin 2cos 1sin 2
02020
2π
π
π
πππ
ππππ
=
=
-
=+-=+=+⎰⎰⎰
x x x d x
dx x x dx x x x
二、定积分的分部积分法
⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u
[]⎰
⎰⎰'-=='b
a
b a
b a
b a
dx u v uv udv dx v u
定积分的分部积分法适用的函数类型与不定积分的分部积分法相同. 例1. ⎰
--1
2dx xe x
例2.
12ln 23ln 3ln 3
2
--=⎰dx
例3. )(cos 20
N n xdx I n n ∈=
⎰
π
[
]
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⋅⋅-⋅--⋅⋅-⋅--====
=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⋅-⋅--⋅-⋅--=--⋅-=-=
-=⇒-=⇒--=--=--=-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----------为奇数为偶数为奇数
为偶数n n n n n n n n n n I xdx I dx x I n I n n n n n I n n n n I n n n n I n n I I n
n I I n nI I I n dx
x x n xdx
x n xdx x n x
xd x x x xd xdx I n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n 13
5)2(24)3)(1(224)2(13)3)(1(1
cos 2
cos 35)2(24)3)(1(24)2(1
3)3)(1(23
111
)1())(1(]cos [cos )1(cos )cos 1()1(cos
sin )1(cos sin sin cos
sin cos
cos 20
120
01
04222220
220
2220
2
220
1201
20
1
20
ΛΛΛΛΛΛΛΛπ
ππ
π
π
π
π
π
ππ
π
积分公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-==⎰⎰为奇数为偶数n n n n n n xdx xdx n
n 1!
!!)!1(2!!!)!1(cos sin 20
20π
ππ
例4．
16
322413cos 2
4π
ππ
=⋅⋅⋅=
⎰
xdx
§4. 反常积分（广义积分）
定义定积分
⎰
b
a
dx x f )(需满足如下条件: (1) )(x f 有界 (2) )(x f 只有有限个间断点
(3) a , b 为确定的数值, 即积分限是有限值. 反常积分是对无穷积分限和无界函数定义的积分.
一、无穷限的反常积分
定义 设),[)(∞+∈a C x f , 取t >a , 若极限
⎰
+∞→t
a
t dx x f )(lim
存在, 则称此极限为),[)(∞+a x f 在上的反常积分, 记作
⎰
+∞
a
dx x f )(, 即:
⎰
⎰
+∞→+∞
=t
a
t a
dx x f dx x f )(lim
)(
⎰
+∞→t
a
t dx x f )(lim
存在, 也称为⎰
+∞
a
dx x f )(收敛;
若⎰
+∞→t
a
t dx x f )(lim
不存在, 则称⎰
+∞a
dx x f )(发散.
类似地, 定义:
))
,()(()()()(])
,()(()(lim
)(∞+-∞∈+=-∞∈=⎰
⎰⎰
⎰
⎰∞
+∞
-∞
+∞
--∞→∞-C x f dx x f dx x f dx x f b C x f dx x f dx x f c
c b
t
t b
注:
都收敛收敛⎰
⎰⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-⇔c
c dx x f dx x f dx x f )(,)()(
[]∞+∞
++∞
→='∞
+='⎰⎰
⎰=
=-=
-=a
a
t x f x F a
x f x F t
a
dx
x f x F a F t F dx
x f a F t F dx
x f )()()()(lim )()
()()()
()()
()(记作
记作
例1. 2arctan 110
02π==+∞
+∞
+⎰
x dx x
例2.
⎰
∞
-0
dx xe x
[][]1
lim lim ][lim lim
lim
-=---=-===-∞
→-∞
→-∞
→-∞→-∞→∞
-⎰⎰
⎰
⎰
t
t t
t t
x
t
x
t t
x t t
x t x
e e te dx e xe xde dx
xe dx xe 例3.
⎰∞
+∞-+dx x x
21
)()1ln(2111110
22
02022发散+∞=+=++++=+⎰
⎰⎰⎰∞
+∞
+∞+∞-∞
+∞-x dx x x dx x x dx x x dx x x
故
⎰∞
+∞-+dx x x
21发散.
二、无界函数的反常积分
定义 设∞=∈+→)(lim ],,()(x f b a C x f a
x , 取b >t >a , 若极限
⎰+→b
t
a
t dx x f )(lim
存在, 则称此极限为],()(b a x f 在上的反常积分, 仍记作
⎰
b
a
dx x f )(, 即:
⎰⎰
+→=b
t
a
t b
a
dx x f dx x f )(lim )(
亦称为
⎰
b
a
dx x f )(收敛; 否则，称⎰b
a
dx x f )(发散.
类似地, 定义:
⎰⎰⎰⎰⎰+=∞
=-∞=+⋃∈=∞
=-∈-→b c
c
a
b
a
t
a
b
t b a
dx
x f dx x f dx x f c f c f b c c a C x f dx x f dx x f b f b a C x f )()()(:)0()0(]},
,)(),{[)()(lim )(:)0(),
,[)(定义或若定义若
注:
都收敛收敛⎰⎰
⎰
⇔
b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x f )(,)()(
例4.
⎰
-1
2
1dx x
x
11221lim 1lim 11lim
0210
21
1
2
2
1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-=-=-∞
=---→→→⎰
⎰
t
t t
t x x dx x
x
dx x x x x
例5.
⎰10
ln xdx
[]1ln lim ln lim ln 1
1
1
-=-==++→→⎰⎰
t t t
t x x x xdx xdx
例6.
⎰
-2
2
)
1(1
dx x
发散1
11
022121022022111lim )1(1)1(1
)1(1)1(1)1(1
lim
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--+-=-∞
=--→→⎰⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dx x x t x 故
⎰
-2
2
)
1(1
dx x 发散. 注: 计算
⎰
b
a
dx x f )(前, 首先判断)(x f 在[a , b ]上是否有无穷点.
定积分小结
一、基本概念 1．定积分
∑⎰
=→∆=n
i i
i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ
2．变上限积分函数
⎰=Φx
a
dt t f x )()(
3．广义积分
（1）无穷积分限
（2）无穷间断点 二、定积分的性质
1．定积分与被积分字母无关
[][
]
⎰⎰⎰⎰
===b
a
b a
b a
b
a
d f du u f dt t f dx x f )()()()(
2．积分限的分割
⎰⎰⎰
+=b
c
c a
b
a
dx x f x f dx x f )()()(
3．积分中值定理
设],[)(b a C x f ∈, 则),(b a ∈∃ξ, 使得))(()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ξ
4．对称函数在对称区间上的积分
⎪⎩⎪
⎨⎧=⎰⎰
-为偶函数为奇函数)()(2)(0)(0
x f dx x f x f dx x f a
a
a
三、定积分的计算
1．牛——莱公式
2．换元积分法 3．分部积分法
四、积分上限函数求导
)()]([)()()()()
(x u x u f dt t f x f dt t f x x u a x
a '⋅='⎪⎭
⎫ ⎝⎛='⎪⎭
⎫ ⎝⎛=Φ'⎰⎰。