2015数值分析练习题 (2)

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数值分析试题答案(2)

《数值分析》模拟试题(二)一、填空题 (20分)(1) 01(),(),,(),n l x l x l x 是以n ,,1,0 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则()nii il x ==∑________________.(2) 设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =_____________，[0,1,2,3,4]f =________________.(3) 设f (x )可微，则求方程()x f x =的牛顿迭代格式是________________. (4) 已知f (0)＝1，f (3)＝2.4，f (4)＝5.2，则过这三点的二次插值基函数l 1(x )= ________________，]4,3,0[f =________________,插值多项式P 2(x )= ________________, 用三点式求得=')4(f ________________.(5) 数值求解初值问题的二阶龙格—库塔公式的局部截断误差为________________.二、计算题(每小题15分，共60分)1.已知一元方程33 1.20x x --=. (1) 求方程的一个含正根的区间；(2) 给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)； (3) 给出在有根区间的Newton 迭代法公式. 2. 用n=10的复化梯形公式计算210x e dx -⎰时，(1) 试用余项估计其误差；(2) 用n=10的复化梯形公式计算出该积分的近似值. 3. 用列主元消去法解线性方程组1231231232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩4. 确定求积公式012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h -≈-++⎰中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度. 三、证明题 (10分) 设()()[,],max ()n n a x bf x C a b M f x ≤≤∈=，若取21cos ,1,2,,222k a b a b k x k nn +--=+= 作节点，证明Lagrange 插值余项有估计式21()max ()!2nn n a x b M b a R x n -≤≤-≤四、程序题(10分)讨论用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组A x =b 的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快.其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=212120203A .数值分析》模拟题二参考答案一、填空题(每小题4分，共20分)(1) x ； (2) 1，0； (3)1()1()n n n n n x f x x x f x +-=-'-；(4) 1777203(4),,1(3),312151260x x x x x --++-；(5) 迭代矩阵，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++)4(51)8(91)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .二、计算题(每小题15分，共60分)1.(1) (0) 1.20,(2) 1.80f f =-<=>，()f x 连续，故在(0,2)内有一个正根.(2)x ，23()(3 1.2)x x ϕ-''=+，2(0,2)31max |()|11.2x x ϕ∈''≤<，所以12n x +=.(3)2()33f x x '=-，3123 1.233n n n n x x x x x +--=--.2.(1) 误差21|()|106R f -≤⨯(2) 2100.746x edx -≈⎰.(3) 解：234643303243303235253525352543303223462346433032433032011/441/219011/441/21903/21110002/114/1143303201182380012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭即123123233433032,13,118238,8,2.2.x x x x x x x x x ++==⎧⎧⎪⎪-=-⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩(4) 分别将2()1,,f x x x =，代入求积公式，可得02114,33A A h A h===。

数值分析试题与答案

一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。

数值分析题库

数值分析题库数值分析是数学的一个重要分支，它主要研究如何用计算机有效地求解各种数学问题的数值近似解。

数值分析在科学计算、工程技术、经济金融等众多领域都有着广泛的应用。

以下是为您精心准备的一套数值分析题库，涵盖了数值分析中的多个重要知识点。

一、误差分析1、考虑函数＼（f(x) ＝ x^3 2x ＋ 1\），在＼（x ＝ 15\）处用泰勒展开式计算＼（f(15)＼），保留到＼（x^3\）项，并估计截断误差。

2、给定近似值＼（x ＝ 31415\），已知其绝对误差限为＼（000005\），求相对误差限。

二、插值法1、已知函数＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\），＼（1\），＼（2\）处的值分别为＼（1\），＼（3\），＼（5\），使用拉格朗日插值法求＼（f(15)＼）的近似值。

2、给定数据点＼（（1, 2)＼），＼（（2, 5)＼），＼（（3, 10)＼），构造牛顿插值多项式，并计算＼（x ＝ 25\）处的函数近似值。

三、数值积分1、用梯形公式计算积分＼（＼int_{0}＾｛1} x^2 dx\），估计误差。

2、用辛普森公式计算积分＼（＼int_{0}＾｛＼pi} ＼sin x dx\），并与精确值比较误差。

四、常微分方程数值解法1、对于一阶常微分方程＼（y' ＝ x ＋ y\），＼（y(0) ＝ 1\），使用欧拉方法在区间＼（0, 1\）上取步长＼（h ＝ 01\）求解。

2、用改进的欧拉方法求解上述常微分方程，同样在区间＼（0, 1\）上取步长＼（h ＝ 01\）。

五、线性方程组的数值解法1、用高斯消元法求解线性方程组：＼＼begin{cases}2x ＋ 3y z ＝ 5 ＼＼x 2y ＋ 4z ＝－2 ＼＼3x ＋ y ＋ 2z ＝ 6＼end{cases}＼2、用雅克比迭代法求解线性方程组：＼＼begin{cases}10x ＋ 2y z ＝ 9 ＼＼x ＋ 10y ＋ 2z ＝ 7 ＼＼2x ＋ 3y ＋ 10z ＝ 6＼end{cases}＼六、非线性方程的数值解法1、用二分法求方程＼（x^3 2x 5 ＝ 0\）在区间＼（2, 3\）内的根，要求误差不超过＼（0001\）。

数值分析习题含答案

2
x1 )
f (x0)
(x
x 0 )( x x0 x1
x1 )
f ' ( x0 )
(x ( x1
x0)
2 2
x0 )
f ( x1 )
R ( x)
其中 R(x) 由以下计算得到：构造辅助函数：
(t ) f (t ) N 2 (t ) (t (x x0 ) (t x0 ) ( x
2 2
x1 ) x1 )
f [ 2 ,2 ] =-2089 ，
0 1 2 7
0 1 7
f (x)
M ,
x
[ a , b ] ，证明：在任意相邻两节点间
R1 ( x )
1 8
Mh
2
。
x xi x xi M
1
f ( ) R1 i ( x ) 2 M 8 h 2,
h ,
2
x
8 ,n
[ xi , xi
1
]
R1 ( x )
max R1 i ( x )
1 2
s
2
[( x
xi
1
))( x
x
i
1 2
)( x
x i )]
e
4
h
3
[ s( s
1)( s
1)] 24
3 9
e h
4
3
10
6
3!
8
h
1 . 317
则用二次插值的步长应：
h
0 .6585
10
2
2-6 对区间 [a,b] 作步长为 h 的剖分，且做线性插值，其误差限为证明：区间上的误差限：误差限： 2-7 设 f ( x ) 解：自变量 1 2

数值分析试题-15年-C

华南理工大学研究生课程考试《数值分析》试卷C （2015年1月9日）1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；所有答案请按要求填写在本试卷上；课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生；本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。

一、（12分）解答下列问题：x>，x的相对误差为δ，试证明ln x的绝对误差近似为δ。

1）设近似值02）利用秦九韶算法求多项式542=-+-+p x x x x x()681x=时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。

在3（1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。

（2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。

（1）设{}∞=0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。

（2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合：四、（14分）对积分()10I f x dx =⎰，试（1）构造一个以012113,,424x x x ===为节点的插值型求积公式；（2）指出所构造公式的代数精度；（3）用所得数值求积公式计算积分1203x dx ⎰的精确值；（4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。

五、（12分）解答下列问题：（1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。

（2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦六、（13分）对2阶线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩ （11220a a ≠）（1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散；（2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。

数值分析练习题附答案

1
2-3 对矩阵 A 进行 LDLT 分解和 GGT 分解，求解方程组 Ax=b,其中
16 4 8
1
A=( 4 5 −4) ， b＝(2)
8 −4 22
3
解：（注：课本 P26 P27 根平方法）
设 L=(l i j )，D=diag(di)，对 k=1,2,…,n,
其中��=��－∑��=−11 ��2��
��31=(��31 − ∑0��=1 ��3��1�� )/ ��1=186=12
��32=(��32
−
∑1��=1
��3��2��
�� )/
6.6667
，得 ��3 ＝ 1.78570
−1 209
��4
0
��4
0.47847
(
56
−1
780 (��5) 209)
(200)
(��5) ( 53.718 )
1 −1
4
1 −4
15
��1
25
��2
6.6667再由1源自− 15561
− 56
209

x (k1) 1

1 5
(12

2 x2( k )

x (k) 3
)

2 5
x (k) 2

数值分析答案第二章参数估计习题

数值分析答案第二章参数估计习题数值分析习题解答数值分析课后习题答案参数估计练习题数值分析习题参数估计习题参数估计习题及答案数值分析习题解答pdf数值分析习题集及答案数值分析习题答案
f(x)= （） { > − ex λ ) λ 0λ ( x解： λe , x ≥ 0
第二章参数估计 1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度 −λ x 为 λe , x ≥ 0 f(x)= 0, x < 0 其中 λ > 0 。试用矩法求的估计量。解：x e(λ ) f(x)=
0
1
θ −1
dx =
θ θ +1
X 估计EX
X ∴θ = 1− X
1 e 5.设母体X的密度为 f ( x) = 2σ
−
x
σ
, −∞ < x < ∞
试求 σ 的最大似然估计;并问所得估计量是否的无偏估计. ∑x x n 解： n 1 −σ 1 n − σ
i
L = ∏ f ( xi ) = ∏
i =1 i =1
ln L = n ln θ + (θ − 1)∑ ln xi
i
0, 其他 n
i =1
( θ >0 )
n i =1
d ln L n ＾= − n = + ∑ ln xi = 0,∴θ θ i dθ ∑ ln xi
i
2矩法估计
EX =
用
X 用估计EX
+∞
−∞
∫ x ⋅ f ( x)dx = ∫ x ⋅θ ⋅ x
2
给定置信概率1−α 即
P ( x − uα
2
σ/ n
，有 uα ，使
2
P{ u ≤ uα } = 1 − α

2015-同济大学数值分析-参考答案

3
1

1
ex
2
1
1 x
2
dx
34 0 34 e e e 5.481
3
将 f ( x) =x 代入，左边 = 将 f ( x) =x 4 代入，左边 =
1
1
3 3 3 3 3 dx sin d 0 0 2 右边 3 2 1 x2 2
(10 分)
l1 0 0 y1 5 Ly = 1 l2 0 y2 = 3.25 0 2.5 l y -29 3 3
追：
l1 4 l2 5.25 1 u1 5 l3 10.5 2.5 u2 10
x
y
0
2
2
1

1
3 2
2 (10 分)
基函数： 0 ( x) 1, 1 ( x) cos x, 2 ( x) sin x
(0 , 0 ) (0 , 1 ) (0 , 2 ) a (0 , f ) 法方程： (1 , 1 ) (1 , 2 ) b (0 , f ) sym (2 , 2 ) c (0 , f )
xk
4.5 4.766 4 4.789 6 4.790 6 4.790 6
3/4
k 0 1 2 3 4
4.5
Ans Ans cos( Ans) Ans 1 cos( Ans) Ans sin( Ans) 1
= = =
2014-2015 数值分析试卷
维基解密
x3

2
3

数值分析版试题及答案

数值分析版试题及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-例1、已知函数表求()f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。

解：（1）由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为故所求Newton 二次插值多项式为例2、设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，且()1x ρ=，这样，有所以，法方程为01123126119234a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，经过消元得01231162110123a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 再回代解该方程，得到14a =，0116a =故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46S x x =+ 例3、设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ϕ=，1()x x ϕ=，这样，有所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =，故，所求最佳平方逼近多项式为例4、用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1⎰。

解：（1）用4n =的复合梯形公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有（2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()12220,1,2,3k xk k +=+=，所以，有例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。

数值分析习题(含标准答案)

]第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算）解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。

《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析第一章绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章非线性方程求根主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算；牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

数值分析练习1-3章

第一章绪论一、填空题1、已知 71828.2e =，求x 的近似值a 的有效数位和相对误差：题号精确数xx 的近似数aa 的有效数位a 的相对误差⑴ e 2.7 ⑵ e 2.718 ⑶ e/100 0.027 ⑷e/1000.027182、设原始数据x 1，x 2，x 3和x 4的近似值（每位均为有效数字）如下：a 1=1.1021，a 2=0.031，a 3=385.6，a 4=56.430则 ⑴ a 1+a 2+a 4= ，相对误差界为； ⑵ a 1a 2a 3= ，相对误差界为； ⑶ a 2/a 4= ，相对误差界为。

二、为使20的近似值的相对误差小于0.01%，问应取多少位有效数字？三、当x 接近于0时，怎样计算xxsin cos 1-以及当x 充分大时，怎样计算x x -+1，才会使其结果的有效数字不会严重损失。

四、在数值计算中，为了减小误差，应该尽量避免的问题有哪些？并举出相应的实例.五、对于序列,1,0,9991=+=⎰n dx x x I nn ，试构造两种递推算法计算10I ，在你构造的算法中，那一种是稳定的，说明你的理由；第二章插值法１、在互异的n+1个点处满足插值条件P(x i )=y i ,(i=0,1,…n)的次数不高于n 的多项式是( )的(Ａ)存在且唯一 (Ｂ)存在 (Ｃ)不存在 (Ｄ)不唯一2、当f(x)是次数不超过n 的多项式时，f(x)的插值多项式是 ( )(Ａ)不确定 (Ｂ)次数为n (Ｃ)f(x)自身（D ）次数超过n 3、插值基函数的和∑=nj jx l)(= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定4、设f(x)=x 3-x+5，则f[20,21,22,23]= ( )； f[20,21,22,23,24]= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定5、( )插值方法具有公式整齐、程序容易实现的优点，而( )插值方法计算灵活，如果节点个数变化时，不需要重新构造多项式，它们都是( )的方法(Ａ)构造性 (Ｂ)解方程组 (Ｃ)拉格朗日 (Ｄ)牛顿６、一般地，内插公式比外推公式( ),高次插值比低次插值( )，但当插值多项式的次数高于七、八次时，最好利用( )插值公式 (Ａ)粗糙 (Ｂ)精确 (Ｃ)分段低次 (Ｄ)高次７、整体光滑度高，收敛性良好，且在外型设计、数值计算中应用广泛的分段插值方法为（）.（Ａ）分段线性插值（Ｂ）分段抛物插值（Ｃ）分段三次埃尔米特插值（Ｄ）三次样条插值。

数值分析题库及标准答案

模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为，若取(0)(1,1,1)=-r x, 则(1)=rx .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 .8．01(), (),, ()n x x x l l L l 是以整数点01, ,, ,n x x x L 为节点的Lagrange 插值基函数，则()nk jk k x x =∑l= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, (0.02，0.22，0.1543) 7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<;10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=, 011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=. 3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。

2015年研究生数值分析试题A卷

注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，1试题__2016_年~__2017__年第1学期课程名称：数值计算方法专业年级： 2016级（研究生）考生学号：考生姓名：试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………注意：本试卷共八道大题，共100分。

一、选择题(5小题，每小题3分，共3*5=15分)1、设设()849310f x x x =++，则0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦L 为( )。

（A ）、9；（B ）、8；（C ）、1； (D ）、0。

2、设()(0,1,2,,)i l x i n =L 是1n +个互异节点(0,1,2,,)i x i n =L 的拉格朗日插值基函数，则下列选项中正确的是（）。

（A ）、()230ni ii x l x x ==∑； (B ）、()20ni i j i x l x x ==∑；（C ）、()01ni i l x ==∑；（D ）、()20ni i i x l x x ==∑。

3、设矩阵A=1002-⎛⎫⎪⎝⎭, 则Cond(A)∞为( )。

(A)、-2； (B)、1； (C)、0； (D)、2。

4、下列说法不正确的是（）。

(A)、2(31)/2x -是2次Legendre 多项式； (B)、()[()()]2bab af x dx f a f b -=+⎰余项为3(2)()()12b a f η--；注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，。

《数值分析》考试试卷(2015)(A)

课程名称数值分析拟题老师签名教研室主任签名适应班级研2015 2015 至2016 学年一学期考试（A）卷《数值分析》考试试卷（A ）参考答案（研2015级）一、判断题（18分）1（⨯），2（⨯），3（⨯），4（√），5（√），6（√）二、填空题（20分）1. 4，2. 112311214013⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A ， 3. 404.01，4. 3， 5. 0.25三、同解变换为1231231234275322361++=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=-⎩x x x x x x x x x （4分）GS 迭代格式为(1)()()711123424(1)(1)()321213555(1)(1)(1)111312632++++++⎧=--⎪=++⎨⎪=--+⎩k k k k k k k k k x x x x x x x x x ， ,2,1,0=k （4分）其中)0(1x ，)0(2x ，)0(3x 为初值；变换后的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以GS 迭代格式收敛。

（2分）四、对1(0,1)Tb =，计算111(1,1), 1,1),T T b b e u -=-=- （4分）1110012, 010TH I uu Q H ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（4分）110112.021TQAQ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎝⎭（2分）五、1) Newton 迭代公式为01ln 2(1ln )3,,(0,1,).111k k k k k k k kx x x x x x x k x x +--+==-==-- (4分) 2) 令()ln 2,f x x x =-- 则 /1()10f x x=->, 故()f x 在[2,4]上有唯一的根. (4分) 3) 根据牛顿法收敛的充分条件可验证, 略. (4分)六、()220.50.51p x x x =++，（2分） ()()()321(2)H x p x ax x x =+--，()23(0.5)(2),H x x a x x '=++- 3(1)10.5.H a '=⇒= （3分）()3230.5 1.5 1.H x x x x ∴=-++ （3分） ()()()()()()24310124!=---R x f x x x ξ. （2分）七、x x f sin )(=，1)(0=x ϕ，x x =)(1ϕ，则 2),(2000πϕϕπ⎰==dx ，⎰===20201108),(),(ππϕϕϕϕxdx ，⎰==120321124),(ππϕϕdx x ，⎰==2001sin ),(πϕxdx f ，⎰==2011sin ),(πϕxdx x f ，法方程为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1124882*1*0322c c ππππ，解得 1145.013242*0≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππc ，6643.041963*1≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππc ，（6分）故最佳平方逼近元素为 x x p 6643.01145.0)(*+=（02x π≤≤），（2分）最佳平方逼近误差()()1***010,,0.00664k k k f f c f c c πδφ==-=--≈∑. （2分）八、1）梯形公式()[()()],2bab af x dx f a f b -≈+⎰112211[] 2.1835,2xe dx e e ≈+≈⎰（3分）又134121221max ()max (1)8.1548,x x x f x e f x x ≤≤≤≤⎛⎫''''=+=≈ ⎪⎝⎭截断误差1121max ()0.6796.12x R f x ≤≤''≤≈ （5分）2）Simpson 公式()()4(),62bab a a b f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰11121.5211[4] 2.0263,6xe dx e e e ≈++≈⎰（8分）又1(4)876512121123624max ()max (1)198.4346xx x fx e f x xx x ≤≤≤≤⎛⎫''=+++=≈ ⎪⎝⎭截断误差(4)2121max ()0.068902880x R f x ≤≤≤≈（10分）。

数值分析例题II

代入牛顿插值公式,并注意插值误差为零,则有
x x0 ( x x0 )( x xn1 ) l0 ( x ) 1 x0 x1 ( x0 x1 )( x0 xn )
7/18
例 2. 设 x0, x1, x2, …, xn 为互异的结点 , 求证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式 (1)
( j=–2，–1，0，1，2 )
Ex7*.给定五个观测值 yj
写出求二次拟合函数
P(t) = a0 + a1t + a2t2
的超定方程组系数矩阵，并求广义逆. 简化情况: 求线性拟合函数.
超定方程组最小二乘解:
T a y T 1 T a ( ) ( y)
T
n ( x1 ) a0 y1 n ( x2 ) a1 y 2 n ( x m ) a n y m
10/18
例4. 记 n+1(x) =(x – x0)(x – x1)· · · · · · ( x – x n)
f (xj ) 证明: F[ x0, x1,· · · · · · , xn ] = 1 ( x j ) j 0 n
n
Ln ( x ) l0 ( x ) f ( x0 ) l1 ( x ) f ( x1 ) l n ( x ) f ( xn )
2 a 0 y0 x0 2 x1 a1 m1 2 x2 a 2 y2

x二次插值多项式公式适定性
f(0)=y0，f(1)=y1，f’(0)=m0；
13/18
n
n1 ( x ) 其中 l k ( x ) 1 ( xk ) ( x xk ) n

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2015《数值分析》练习题
1、填空题
（1）1.73和1.7321都是3的近似值，已知 7320508.13=则1.73具有位有
效数字，则1.7321具有位有效数字。

（2）设25.1=x 是四舍五入后得到的某个量的近似值，则x 有位有效数字
（3）设80~
=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取位有效数字。

（4）为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为。

（5）设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则1A ＝，1x = 。

（6）矩阵3132A ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，则1A =_____，2A =_____，A ∞=_____，()cond A ∞=_____。

（7）已知4222102226A -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
，对于A 作Cholesky 分解T A LL =，则L = . （8）设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

（9）设14)(34-++=x x x x g ，则差商[]4,3 ,2 ,1 ,0g =________ 。

（10）已知16)4(,8)2(,4)1(===f f f ，则=]2,1[f ，=]4,2,1[f ；相应的二次Newton 插值多项式为；
（11）解方程0)(=x f 的Newton 迭代公式为，Newton 迭代法对于单根
是阶局部收敛的。

（12）用迭代格式)1(3
1-+=+k
k k x c x x 法求方程013=-x 的实根，为了保证迭代法的局部收敛性，则参数c 的选取范围是。

（13）用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区
间为 ,进行二步后根所在区间为 .
（14）当 a （满足怎样的条件）时，用高斯—赛德尔
迭代法解线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+=-+=+-3
6410218321
321321ax x x x x x x x x 一定收敛。

（15）数值求积公式⎰++≈
1
0)1(6
1
)21(32)0(61)(f f f dx x f 具有次代数精度。

（16）在解线性方程组b Ax =的主元素消元法中，选择主元素的目的是 .
2、试用Doolittle 分解法求解方程组：
12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3
用追赶法求解三对角方程组：123210613210242x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪--=
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4、对于方程组 ⎪⎩
⎪
⎨⎧-=++=++=++5
.25.05.05.05.05.00
5.05.0321321321x x x x x x x x x
（1）写出用Gauss —Seidel 迭代法求解方程组的迭代格式；
（2）验证迭代格式的敛散性；
（3）取初始近似解T x )1,1,1(0=，给出迭代一步的近似解。

5、请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231
23202324812231530
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判
断其是否收敛？
6、(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围.
(2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足:
5110||-+<-k k x x ).
7、设有一非线性方程
()012
3=--=x x x f ，（1）用牛顿法求其近似值，取5
.10=x （迭代一次）；
（2）方程在
5
.10=x 附近有一根，试分析迭代公式
211
1k
k x x +
=+ 的收敛性。

求拉格朗日插值多项式)(2x L ，并写出Newton 插值多项式。

9、已知x
x f 2)(=的函数表如下，利用二次Lagrange 插值多项式求4
.02的近似值，并估计
误差。

10、[]1()0,3P x f x =求上的一次最佳平方逼近多项式（） 11、用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算⎰
+=1
02
14
dx x π的近似值（保留小数点后三
位）
12、用龙贝格算法计算积分dx x
I ⎰=3
1
1
13、试确定参数210,,A A A ,使求积公式
()()()()⎰-++-≈2
2
2
1
101f A f A f A dx x f
具有尽可能高的代数精确度。

代数精度是多少？
14、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度
)()0()()(22h Cf Bf h Af dx x f h
h
++-≈⎰
-。

19、叙述在数值运算中误差的来源？避免误差扩大的原则有哪些？。