数字信号处理第一章

பைடு நூலகம்
{x(n), n }
其中Z为整数集。 对于由模拟信号采样得到的时域离散信号
{x(n) xa (nT), n }
第1章 时域离散信号和时域离散系统
2. 时域离散信号的表示方法 a. 公式法
x(n) e
0.02 n
cos(0.5n)
b. 集合法
x(n) {… 0，0.470，0.808，0.939，0.839，0.542， 0.125，-0.305…}
y ( n)
m
x(m)h(n m)

直接计算和图形计算
例：已知一个线性非移 变系统的单位抽样响应 h(n)在区间 N 0 n N1之外全为零；输入信号 x(n)在区间N 2 n N 3之 外全为零；其输出响应 在区间N 4 n N 5之外全为零。试 确定N 4、N 5与N 0、N1、N 2和N 3的关系式。
小结
Ⅰ）交换律 x(n) h(n) h(n) x(n) Ⅱ）结合律
Ⅲ）分配律 Ⅳ）x(n) x(n) (n) Ⅴ） x(n n0 ) x(n) (n n0 )
第1章 时域离散信号和时域离散系统
5. 系统的因果性和稳定性 1） 因果系统 n=n0时的输出y(n0)只取决于n≤n0的输入。
h(n) h(n)u (n)
n

| h( n) |

第1章 时域离散信号和时域离散系统
例 设某线性移不变系统，其单位抽样响应为： n h(n) a u(n) 讨论其因果性和稳定性。 解：（1）讨论因果性： n<0时， h(n)=0, 故此系统是因果系统 (2）讨论稳定性：
1 1 a n h(n) a n n 0 a 1 a 1
1, n 0 ( n) 0, n 0
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3. 常用典型序列
b. 单位阶跃序列 u (n)
1, n 0 u (n) 0, n 0
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3. 常用典型序列
c. 矩形序列 RN (n)
1 0 n N 1 R N ( n) 0 其他n
1. 系统模型
x ( n)
T []
y ( n)
LTI(Linear Time-invariant)系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
2. 线性系统：满足叠加原理的系统。 x ( n) 设 y1 (n) T [ x1 (n)] y2 (n) T[ x2 (n)] T []
y ( n)
可加性 T[ x1 (n) x2 (n)] T[ x1 (n)] T[ x2 (n)] y1 (n) y2 (n) 比例性/齐次性 T [ax1 (n)] aT [ x1 (n)] ay1 (n)
T [ax1 (n) bx 2 (n)] ay1 (n) by 2 (n)
6. 序列的运算 c. 移位
x(n-n0)为序列的移位
x(n-2)
x(n+1)
第1章 时域离散信号和时域离散系统
6. 序列的运算 d. 翻转 x(-n)
第1章 时域离散信号和时域离散系统
6. 序列的运算 e. 尺度变换x(mn)
将丢失一部分信息
m=2
第1章 时域离散信号和时域离散系统
§1.3 时域离散系统
A 5 4 3 2 1.4 1 0 0 (a) 00 0 1 0 (b) 0 01 01 0 1 01 10 0 0 10 0 10 t 1 2.9 4 2.8 2.2 2 2 2 5.4 5 4.2
第1章 时域离散信号和时域离散系统
§1.2 时域离散信号----序列
1. 概念
可以用数字序列表示的信号：
m 0
3
4 1 a an 1 a 1
写成统一表达式为
0 n 1 n 1 a y ( n ) a 1 1 a 4 a n 1 a 1 1 a
n0 0n3 4n
第1章 时域离散信号和时域离散系统
4）卷积的性质 Ⅰ）交换律
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3. 常用典型序
d. 实指数序列
0 a 1
x(n) a nu(n), a为实数
a 1 收敛序列
a 1
a 1 发散序列 a为负数时，序列是摆动 的
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3. 常用典型序列
e. *正弦序列
2 10rad / s
N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数
ω0N = 2π k
第1章 时域离散信号和时域离散系统
正弦序列一定是周期序列吗？
1、当2π/ ω0为整数时，k=1 正弦序列是周期序列，且N=2π/ ω0。 2、2π/ ω0是一个有理数， 设2π/ ω0 =P/Q (P、Q互为素数) 取k=Q,那么N=P， 正弦序列是周期序列，且N=P。 3、2π/ ω0是无理数， 正弦序列不是周期序列。

三者关系
(n) u(n) u(n 1)
注意只有m=0 时才有值，求 和永远为1 令m=n-k
u ( n) ( n k )
k 0

m
N 1 k 0
(m)
n
RN (n) u (n) u (n N ) (n k )
x ( n) h( n) h( n) x ( n)
证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面 等式成立:
x(n) h(n) h(n) x(n)
第1章 时域离散信号和时域离散系统
Ⅱ）结合律
第1章 时域离散信号和时域离散系统
Ⅲ）分配律
第1章 时域离散信号和时域离散系统
面两式：
m≤n
0≤m≤3
这样求和限与n有关系，必须将n进行分段然后计算。
n<0
y(n)=0 0≤n≤3时，乘积的非零值范围为0≤m≤n，因此
y(n) a nm
m 0
n
n 1 1 a an 1 a 1
n≥4时，乘积的非零区间为0≤m≤3，因此
y(n) a nm
LTI系统是因果系统的充分必要条件是
h(n) 0
n0
第1章 时域离散信号和时域离散系统
2）稳定系统
有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 LTI系统是稳定系统的充分必要条件是
n
| h( n) |


即单位取样响应绝对可和。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3） 结论 因果稳定的LTI系统的单位取样响应是因 果的（单边的）且是绝对可和的，即
x ( m)
9 0 1 2 3 4 m
求和下限不变, 上限变
h(0 m)
-4 -3 -2 -1 0
h(9 m)
-4 -3 -2 m -1 0 m
y ( n)
m
x(m)h(n m)
对位相乘 再相加
1） 图解法
计算卷积的基本运算是翻转、移位、相乘和相加，这
类卷积称为序列的线性卷积。如果两个序列的长度分别为 N和M，那么卷积结果的长度为N＋M－1。 【例1.3.4】已知x(n)=R4(n), h(n)=R4(n), y(n)=x(n)*h(n)。 求
E
n


x ( n)
2
5. 序列的能量
E
n

x ( n)
2
第1章 时域离散信号和时域离散系统
*6. 序列的运算 a. 加法
z(n) x(n) y(n)
对位相加
＋
第1章 时域离散信号和时域离散系统
6. 序列的运算 b. 乘法
对位相乘
×
第1章 时域离散信号和时域离散系统
解：
y ( n)
m
x(m)h(n m) R (m)R (n m)
4 4 m


图1.3.2
例1.3.4线性卷积
表1.3.1 图解法（列表法）
2) 解析法
如果已知两个卷积信号的解析表达式，则可以直接
【例1.3.5】 y(n)=x(n)*h(n)。 解：
x(n) sin(n)
如果正弦序列是由模拟信号xa(t) 采样得到的，那么
f s 100Hz 2 / 10 rad / s
xa (t ) sin(t ) xa (t ) t nT sin(nT ) x(n) sin(n)
T

fs
T 1 fs
设x(n)=anu(n)，h(n)=R4(n)，求
y(n) h(n) x(n)
m
nm R ( m ) a u (n m) 4

要计算上式，关键是根据求和号内的两个信号
乘积的非零值区间确定求和的上、下限。
因为n≥m时，u(n-m)才能取非零值； 0≤m≤3时，
R4(m)取非零值, 所以，求和区间中m要同时满足下
数字信号处理 Digital Signal Processing
第1章 时域离散信号和时域离散系统
本章学习内容
时域离散信号的表示方法和典型信号 系统的输入输出描述法
线性时不变系统的因果性和稳定性
线性常系数差分方程的解法 模拟信号数字处理方法
第1章 时域离散信号和时域离散系统
§1.1 引言 模拟信号 时域离散信号 数字信号
N=(2π/ω0)k
0 1 0
2 4
2
是无理数
第1章 时域离散信号和时域离散系统
4. 单位采样序列的移位加权和表示法
x ( n)
m
x(m) (n m)

式中
1, n m (n m) 0, n m
x(n) = -2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1) +1.5δ(n-2)-δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3. 常用典型序列
g. *周期序列
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式立：
x(n) = x(n+N),
-∞<n<∞
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3. 常用典型序列
例
x ( n ) sin( n ) 4

上式中，数字频率是π/4，由于n取整数，可以写成下式：
为数字
域频率
为模拟
角频率
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3. 常用典型序列
f. 复指数序列
0
x(n) e
( j0 ) n
x(n) e j0n
x(n) cos(0n) j sin(0n)
x(n) e j (0 2M ) n e j0n
周期性
M 0,1,2
c. *单位采样序列的移位加权和表示法 1, n m x(n) x(m) (n m) 式中 (n m) m 0, n m
第1章 时域离散信号和时域离散系统
d. 图示法
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3. 常用典型序列
a. 单位采样序列 (n)
T [ ai xi (n)] aiT [ xi (n)]
i i
第1章 时域离散信号和时域离散系统
3. 时不变系统 系统对于输入信号的响应与信号加于系统 的时间无关。
y(n) T [ x(n)]
y(n n0 ) T [ x(n n0 )]
第1章 时域离散信号和时域离散系统
m

x(n) x(n) * (n)


线性
m
x(m)T [ (n m)]
移不变

m
x(m)h(n m) x(n) h(n)

第1章 时域离散信号和时域离散系统
3）卷积的计算 翻转、移位、相乘、相加
序列的线性卷积
设两序列的长度分别为N和M，线性卷积后 的序列长度为（N+M-1）。
x(n) sin( (n 8)) sin( n 2 ) 4 4


N=8
N
2

第1章 时域离散信号和时域离散系统
*正弦序列一定是周期序列吗？
设 那么 x(n+N) =Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+φ+ω0N) 如果 x(n+N)=x(n) x(n)=Asin(ω0n+φ)
4. LTI系统输入与输出之间的关系
1）单位取样响应 单位取样响应是系统对于δ(n)的零状态响应。
h(n) T [ (n)]
代表系统的时域特征
第1章 时域离散信号和时域离散系统
2）LTI系统输入输出关系
x ( n)
m
x(m) (n m)


y(n) T [ x(m) (n m)]