一类四阶非线性抛物方程弱解的存在性
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华 南师 范大学学报 （自然科 学版 ）
２ ０ １ ３年 ９月
Ｓｅ ｐ．２０１ ３
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＯＵＴＨ ＣＨＩ ＮＡ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
第４ ５卷 第 ５期
Ｖｏ １ ． ４ ５ Ｎｏ． ５
（ Ｎ Ａ Ｔ Ｕ Ｒ Ａ Ｌ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ Ｅ ＤＩ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ）
非线 性 拟抛 物方 程是 在 物理 、 化学 、 经 济 问题 和 人 口问题 等 大量 实 际问题 中提 出的一 类重 要 的非线 性发展 方 程 ， 随 着各 个 领 域研 究 的需 要 ，非 线性 拟 抛 物 方程 也得 到 了广 泛 研 究 和 发 展．文 献 ［ １ ］ 研 究 了一类 具 有非 线性 周期 源 的拟 抛物 方程
文章编 号 ： １ ０ ０ ０— ５ ４ ６ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ０ ２ ３—０ ４
一
类 四 阶 非 线 性 抛 物 方 程 弱 解 的 存 在 性
郭金勇
（ 柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系 ， 广西柳州 ５ ４ ５ ０ ０ ４）
摘要 ： 研 究 了一类 四阶非 线性抛 物方程的初值 问题．通过对 时间的离散化 构造并证 明 了逼近 解 的存 在性 ， 然后 利用
逼近解 的一致估计结合 紧致性原理证 明 了问题 弱解的整体存在性．
关键 词 ： 四阶非线性抛物方程 ；弱解 ； 整体存 在性
中 图分 类 号 ： ０ １ ７ ５ ． ２ ６ 文 献 标 志码 ： Ａ ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ６ ｏ ５ ４ ／ ｊ ． ｊ ￥ ｅ ｎ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ７ ． ０ ０ ５
Ｌ （ ｏ ， ；
ｏ
ａ
周期 问题 ， 依 照非 负非 平 凡周 期解 的存 在 和非 存 在 性 ，给 出了对 指数 Ｐ的 完整 分类 ． 关 于非 线性 拟抛 物方 程 整体 解 的存在 性研 究 已 取得 许 多结 果．文献 ［ ２ ］ 研究 了非 线 性拟 抛物 方程
（ ） ） ， 其 中ｐ 是 ｐ的共轭 指数．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２— ０ ７—１ ８
定理 １ 设 ∈ （ 力） ， Ｐ＞ ２ ， 则问题 （ １ ）一 问题 （ ３ ） 至少 存在 一个 弱解 ． 为 证 明定理 １ ， 首 先 进 行 时 间离 散 化 ．设 Ⅳ 为 正 整数 ， 把区间（ ０， Ｔ ） 分 为 Ⅳ等 分 ，取 ｈ＝Ｔ ／ Ｎ（＞ ０ ） ， 考 虑如 下椭 圆 问题
本文考虑如下四阶非线性抛物方程的初边值问题
一
Ｉ ｊ ｝
ｄ
＋ △ （ Ｉ Ａ ｕ △ ｕ ） 十
（ ∈ ， ｔ ＞ ０ ） ，
ｐ － ２ ＝ ０
（ １ ）
ｄ
的存 在性 ， 然后 利 用 逼 近解 的一 致 估 计 结合 紧致 性 原理证 明 了问题 弱 解 的整 体 存 在 性 ．为 叙 述 方 便 ， 假设 ＝ ＝１ ，当 ≠１及 １时 ， 证 明方法 相 同．
＝△ Ｍ＝ ０ （ ∈ａ ， ｔ ＞ ０ ） ， Ｍ （ ， ０ ）＝ 。 （ ） （ ∈． ） ，
（ ２ ） （ ３ ）
Baidu Nhomakorabea
其 中 力ｃＲ 为具 有 光 滑边 界 的 有 界 开 区 域 ， Ｐ＞２，
１ 主 要 结 果及 相 关 引 理
本 文 的主要 结果 如下 ：
证 明了初 值 问题 整体解 的存 在性 ，讨 论 了解 的 渐 近
『 Ｊ Ｑ ｌ Ａ ｕ Ｉ Ａ ｕ Ａ ￣ ｄ ｘ ｄ ｔ — 『 Ｊ Ｑ Ｉ “ Ｉ ｕ ４ ｏ ｄ ｘ ｄ ｔ ＝ ０ ．
（ ３ ） 在 （ 力） 中， ｕ （ ， ０ ）＝ｕ 。 （ ） ． 本文 通过 对 时间 的离散 化构 造并 证 明 了逼 近解
１ １
－ ｉ － （ 一 Ｍ ） 一 亡（ △ 川一 △ ） ＋
基金项 目：广西壮族 自治 区自然科学基金项 目（ ０ ９ ９ １ ２ ６ ５ ） ；广西壮族 自治区教育厅科研项 目（ ２ ０ １ ２ ０ ４ Ｌ Ｘ ５ ０ ２ ）
＞ ０为参数 ， Ｍ （ ） 为初始值 函数 ， ＞ ０为粘性 系
数， ． ｉ ｝ ａ 表示粘性松 弛因子或粘性，△ ； 。 “＝
△ （Ｉ △ “ｆ △ “ ） 称为 Ｐ一 双调和算子． 众 多学者 研 究 了具有 Ｐ一双 调 和算 子 的椭 圆 方 程并取得丰硕成果 ｊ ， 研究具 Ｐ一双调和算子 的 抛 物 型方 程 的文献 ， 并 不 多 见．本 文 所 研 究 的 方程 （ １ ） 为文献 ［ １ ］ 和文献 ［ ２ ］ 研究 的非线性拟抛物方程 的变形 ， 当Ｉ ｊ ｝ ＝ ０时， 方程 （ １ ） 变为具 Ｐ一 双调 和算
（ ２ ） 对 ∈Ｃ ｏ （ Ｑ ） ， Ｑ ＝ Ｘ（ ０， Ｔ ） ， 以下积 分 等式成 立 ：
ａ （ 一 ） 一
行 为．
＝ Ｉ Ⅱ Ｉ ．
Ｊ ｆ Ｊ ｆ Ｍ ｄ ￡ ＋ ． ｉ ｝ ｆ ｆ Ｖ Ｏｔ ｄ ｔ — 口 ｒ Ｏ ｔ Ｊ Ｊ Ｑ ｒ
一
子 的抛 物型 方程 ， 其 弱 解 的存 在 唯 一性 等结 果 可 参
Ｊ ｊ ｝
ｏ
＝△ “＋ （ ， ￡ ） “ （ （ ， ￡ ） ∈ ×Ｒ）
阅文献 ［ ５ ］ 、 ［ ６ ］ ．由于退化 ， 问题（ １ ） ～ 问题（ ３ ） 不再 有通 常意义下 的古 典解 ， 因此 引入如下意义 的弱解 ： 定义 １ 一个 函数 被称 为 问题 （ １ ）～问题 （ ３ ） 的弱 解 ， 如果 下 列条件 得 到满 足 ： （ １ ） Ｍ∈Ｌ （ ０， ； （ ） ） ｎｃ（ ０ ， ７ １ ； Ｌ （ ） ） ，
２ ０ １ ３年 ９月
Ｓｅ ｐ．２０１ ３
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＯＵＴＨ ＣＨＩ ＮＡ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
第４ ５卷 第 ５期
Ｖｏ １ ． ４ ５ Ｎｏ． ５
（ Ｎ Ａ Ｔ Ｕ Ｒ Ａ Ｌ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ Ｅ ＤＩ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ）
非线 性 拟抛 物方 程是 在 物理 、 化学 、 经 济 问题 和 人 口问题 等 大量 实 际问题 中提 出的一 类重 要 的非线 性发展 方 程 ， 随 着各 个 领 域研 究 的需 要 ，非 线性 拟 抛 物 方程 也得 到 了广 泛 研 究 和 发 展．文 献 ［ １ ］ 研 究 了一类 具 有非 线性 周期 源 的拟 抛物 方程
文章编 号 ： １ ０ ０ ０— ５ ４ ６ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ０ ２ ３—０ ４
一
类 四 阶 非 线 性 抛 物 方 程 弱 解 的 存 在 性
郭金勇
（ 柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系 ， 广西柳州 ５ ４ ５ ０ ０ ４）
摘要 ： 研 究 了一类 四阶非 线性抛 物方程的初值 问题．通过对 时间的离散化 构造并证 明 了逼近 解 的存 在性 ， 然后 利用
逼近解 的一致估计结合 紧致性原理证 明 了问题 弱解的整体存在性．
关键 词 ： 四阶非线性抛物方程 ；弱解 ； 整体存 在性
中 图分 类 号 ： ０ １ ７ ５ ． ２ ６ 文 献 标 志码 ： Ａ ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ６ ｏ ５ ４ ／ ｊ ． ｊ ￥ ｅ ｎ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ７ ． ０ ０ ５
Ｌ （ ｏ ， ；
ｏ
ａ
周期 问题 ， 依 照非 负非 平 凡周 期解 的存 在 和非 存 在 性 ，给 出了对 指数 Ｐ的 完整 分类 ． 关 于非 线性 拟抛 物方 程 整体 解 的存在 性研 究 已 取得 许 多结 果．文献 ［ ２ ］ 研究 了非 线 性拟 抛物 方程
（ ） ） ， 其 中ｐ 是 ｐ的共轭 指数．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２— ０ ７—１ ８
定理 １ 设 ∈ （ 力） ， Ｐ＞ ２ ， 则问题 （ １ ）一 问题 （ ３ ） 至少 存在 一个 弱解 ． 为 证 明定理 １ ， 首 先 进 行 时 间离 散 化 ．设 Ⅳ 为 正 整数 ， 把区间（ ０， Ｔ ） 分 为 Ⅳ等 分 ，取 ｈ＝Ｔ ／ Ｎ（＞ ０ ） ， 考 虑如 下椭 圆 问题
本文考虑如下四阶非线性抛物方程的初边值问题
一
Ｉ ｊ ｝
ｄ
＋ △ （ Ｉ Ａ ｕ △ ｕ ） 十
（ ∈ ， ｔ ＞ ０ ） ，
ｐ － ２ ＝ ０
（ １ ）
ｄ
的存 在性 ， 然后 利 用 逼 近解 的一 致 估 计 结合 紧致 性 原理证 明 了问题 弱 解 的整 体 存 在 性 ．为 叙 述 方 便 ， 假设 ＝ ＝１ ，当 ≠１及 １时 ， 证 明方法 相 同．
＝△ Ｍ＝ ０ （ ∈ａ ， ｔ ＞ ０ ） ， Ｍ （ ， ０ ）＝ 。 （ ） （ ∈． ） ，
（ ２ ） （ ３ ）
Baidu Nhomakorabea
其 中 力ｃＲ 为具 有 光 滑边 界 的 有 界 开 区 域 ， Ｐ＞２，
１ 主 要 结 果及 相 关 引 理
本 文 的主要 结果 如下 ：
证 明了初 值 问题 整体解 的存 在性 ，讨 论 了解 的 渐 近
『 Ｊ Ｑ ｌ Ａ ｕ Ｉ Ａ ｕ Ａ ￣ ｄ ｘ ｄ ｔ — 『 Ｊ Ｑ Ｉ “ Ｉ ｕ ４ ｏ ｄ ｘ ｄ ｔ ＝ ０ ．
（ ３ ） 在 （ 力） 中， ｕ （ ， ０ ）＝ｕ 。 （ ） ． 本文 通过 对 时间 的离散 化构 造并 证 明 了逼 近解
１ １
－ ｉ － （ 一 Ｍ ） 一 亡（ △ 川一 △ ） ＋
基金项 目：广西壮族 自治 区自然科学基金项 目（ ０ ９ ９ １ ２ ６ ５ ） ；广西壮族 自治区教育厅科研项 目（ ２ ０ １ ２ ０ ４ Ｌ Ｘ ５ ０ ２ ）
＞ ０为参数 ， Ｍ （ ） 为初始值 函数 ， ＞ ０为粘性 系
数， ． ｉ ｝ ａ 表示粘性松 弛因子或粘性，△ ； 。 “＝
△ （Ｉ △ “ｆ △ “ ） 称为 Ｐ一 双调和算子． 众 多学者 研 究 了具有 Ｐ一双 调 和算 子 的椭 圆 方 程并取得丰硕成果 ｊ ， 研究具 Ｐ一双调和算子 的 抛 物 型方 程 的文献 ， 并 不 多 见．本 文 所 研 究 的 方程 （ １ ） 为文献 ［ １ ］ 和文献 ［ ２ ］ 研究 的非线性拟抛物方程 的变形 ， 当Ｉ ｊ ｝ ＝ ０时， 方程 （ １ ） 变为具 Ｐ一 双调 和算
（ ２ ） 对 ∈Ｃ ｏ （ Ｑ ） ， Ｑ ＝ Ｘ（ ０， Ｔ ） ， 以下积 分 等式成 立 ：
ａ （ 一 ） 一
行 为．
＝ Ｉ Ⅱ Ｉ ．
Ｊ ｆ Ｊ ｆ Ｍ ｄ ￡ ＋ ． ｉ ｝ ｆ ｆ Ｖ Ｏｔ ｄ ｔ — 口 ｒ Ｏ ｔ Ｊ Ｊ Ｑ ｒ
一
子 的抛 物型 方程 ， 其 弱 解 的存 在 唯 一性 等结 果 可 参
Ｊ ｊ ｝
ｏ
＝△ “＋ （ ， ￡ ） “ （ （ ， ￡ ） ∈ ×Ｒ）
阅文献 ［ ５ ］ 、 ［ ６ ］ ．由于退化 ， 问题（ １ ） ～ 问题（ ３ ） 不再 有通 常意义下 的古 典解 ， 因此 引入如下意义 的弱解 ： 定义 １ 一个 函数 被称 为 问题 （ １ ）～问题 （ ３ ） 的弱 解 ， 如果 下 列条件 得 到满 足 ： （ １ ） Ｍ∈Ｌ （ ０， ； （ ） ） ｎｃ（ ０ ， ７ １ ； Ｌ （ ） ） ，