单位冲激响应教案

授课

单位冲激响应

题目

教学

理解冲激响应的定义并能熟练求解系统的单位冲激响应目标

教学

利用冲激系数平衡法求微分方程齐次解的系数

重点

教学

时域法求系统的h(t)和g(t)

难点

教学

课件板书讲授

方式

教学

自由发言，主动探讨

过程

课后

P532.11(1)、(2) 2.17(1)

习题

2.6单位冲激响应

教学内容：

(一)冲激响应 1.定义：

当激励为单位冲激函数δ(t)时，系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。

冲激响应是零状态响应，故其解的形式与零状态响应相同。而单位冲激信号，只在t=0时作用，即t>0时系统的激励为零，所以其特解为零。因此，冲激响应的形式与齐次解形式相同。 2.求法：

h (n)(t)+a n-1h (n-1)(t)+…+a 1h'(t)+a 0h(t)=b m δ(m)

(t)+b m-1δ

(m-1)

(t)+…+

b 1δ'(t)+b 0δ(t)

由此可知，冲激响应h(t)的形式与m 和n 有关。

δ(t)及各阶导在t>0时都为零，因此冲激响应h(t)应与方程的齐次解有相同的形式。若方程的特征根λi (i=1,2, …,n)，则： 当n>m 时，h(t)=(∑c i e λi t)ε(t) 当n=m 时，h(t)=b δ(t)+(∑c i e λi t)ε(t)

例题1：描述某系统的微分方程为:r''(t)+3r'(t)+2r(t)=e(t)，试求该系统的冲激响应h(t)。

h(t)

δ(t)

H

解法一：冲激系数平衡法

解：系统的特征根分别为λ1=-1,λ2=-2 则h(t)=(C 1e -t +C 2e -2t )ε(t) 有h'(t)=(C 1+C 2)δ(t)+(-C 1e -t -2C 2e -2t )ε(t) (注：δ(t)只在t=0处有定义) h''(t)=(C 1+C 2)δ'(t)+(-C 1-2C 2)δ(t)+(C 1e -t +4C 2e -2t )ε(t)

将h(t)、h'(t)和h''(t)代入系统方程，令等式两边对应项系数相等，有：

C 1+C 2= 0 解得 C 1=1 2C 1+C 2=1 C 2=-1

故 h(t)=(e -t -e -2t )ε(t) 解法二：化为零输入响应

解：系统的特征根分别为λ1=-1,λ2=-2 则h(t)=(C 1e -t +C 2e -2t )ε(t) 有 h'(0+)=1 代入系统方程得 -C 1-2C 2= 1 解得 C 1= 1 h(0+)=0 C 1+C 2= 0 C 2= -1 故 h(t)=(e -t -e -2t )ε(t)

例题2：设描述系统的微分方程为r''(t)+5r'(t)+6r(t)=de(t)

dt ，试求该系统的冲激响应h(t)。

解：设h 1''(t)+5h 1'(t)+6h 1(t)=δ(t) (注：因为此题激励不是e(t)，故设为δ(t) )

系统的特征根分别为λ1=-2,λ2=-3 故h 1(t)=(C 1e -2t +C 2e -3t )ε(t) 而由冲激响应的性质可知，h 1'(0+)=1 h 1(0+)=0 即 h 1'(0+)=-2C 1-3C 2=1 解得 C 1=1

h 1(0+)=C 1+C 2=0 C 2=-1 则h 1(t)=(e -2t -e -3t )ε(t)

即h(t)=h 1'(t)=(-2e -2t -3e -3t )ε(t) (二)阶跃响应 1.定义：

系统在单位阶跃信号激励下的零状态响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。 2.求法：

在连续时间系统中冲激信号与阶跃信号的关系为δ(t)=错误!，故根据线性时不变系统可知，系统的响应为： h(t)=d g(t)

d t 。 可知：h(t)和g(t)，知其一，另一个就可确定。

ε(t)

g(t)

LTI