弹性力学-04(习题答案)

r
1 r2
2
2
2
0
y
得到：
1 r2
d 4 f ( ) d 4
4
d
2 f ( d 2
)
0
d
4 f ( d 4
)
4
d
2 f ( d 2
)
0
f ( ) Acos 2 Bsin 2 C D
r2 f ( )
r2(Acos 2 Bsin 2 C D)
O q q
22
x
r2 f ( ) r2 (Acos 2 Bsin 2 C D) y
解： 边界条件： r ra q r ra 0
ur rb 0
r
A r2
2C
A r2
2C
ur
1
E
A r
2(1 2)Cr
r 0
刚体
代入边界条件，有
A a2
2C
q
A b
2(1
2
)Cb
0
A
a2b2 (1 2) (1 2)b2 a2
q
将常数A、C 代入，有
2C
(1
a2
2 )b 2
a2
q
将常数A、C 代入，有
a2
q(
1 b2
1
2
a2
)
习题4-4 矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较 远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。
解：由图（a）给出的孔 边应力结果：
q
q(1 2cos 2 )
得：
q
x
q
r
q
q
x
r
q 1 2cos 2( 45)
y (a)
q1 2cos 2( 45)
截面弯矩 M Px
O
截面惯性矩 I 2h3 2 x3 tan3 P
12 3
2y
截面正应力
x
My I
2
x
3Py 2 tan 3
2
x
q1 2sin 2 q1 2sin 2
qy
q
q
45°
4q sin 2
max 4q min 4q
q
q
习题4-5 楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量。
解：（1）应力函数 的确定
由因次分析法，可知 (r, ) r 2 f ( )
代入相容方程：
2 r 2
1 r
r
q
cos sin
2
cot
r
q
cos sin
2
cot
r
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q
sin 2 sin
O y
q
q
22
x
习题4-6 三角形悬臂梁在自由端受集中荷载 P，如图所示。试用公式 （4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学
中的结果对比。
解： 由密切尔（ J. H. Michell ）解答，得
解： 轴对称问题的径向位移公式（平面应变）：
ur
1
E
A r
2(1 2)Br (ln r 1) (1 4)Br
2(1 2)Cr I cos K sin
对于圆筒轴对称问题，有 ur 不随 变化，即
I K 0 又由位移单值条件，有 B 0
ur
1
E
A r
2(1
2
)Cr
常数A、B由应力边界条件确定。
O
r
2P r
(
sin
sin
)
0, r 0
P
x
2 2
由应力分量的坐标变换式：
x
r
2
r
2
cos 2
r
sin
y
2
y
r
2
r
2
cos 2
r
sin
2
x y
xy
r
r
2
r
2
2 r
2
r
2
ccoosssin222rr PrrPr(0(c—o2rss—rsPin2isnsi(密0nicno切s尔))((1s（1cinoJcsc.oHoss.2M2si)icn)hells）si（nin解4-2答1)）
O
（2）应力分量的确定
r 2Acos 2 2Bsin 2 2C 2D
q
q
22
2Acos 2 2Bsin 2 2C 2D
r 2Asin 2 2B cos 2 C
x
, 由对称性， r
应为 的偶函数； r应为 的奇函数， 因而有，
B C 0
r 2Acos 2 2D 2Acos 2 2D r 2Asin 2
,
x
2P
sin
x2 y (x2 y2)2
,
y xy
2P
sin
2P
sin
( (
x2
x2
xy3y2 )r2
xy2
yy
2)
2r
,
2
,
2
r
2xy
r
2
cos22sPin r(
sinxy22
x2 y2
)2
cos 2 r sin 2
,
xy
r
2
sin
2
r
cos 2
材料力学结果：
应力分量：
r
A r2
2C
边界条件： r ra q
r rb 0
A a2
2C
q
A b2
2C
0
A
a2b2 b2 a2
q
2C
a2 b2 a2
q
A
a2b2 b2 a2
q
2C
a2 b2 a2
q
ur
1
E
A r
2(1
2 )Cr
ur
1 a2
E(b2 a2 )
q
b2 r
(1
2
)r
ur
第四章 平面问题的极坐标解答
（习题讲解）
习题4-1 试导出位移分量的坐标变换式
ur u cos vsin
u u sin v cos
u ur cos u sin v ur sin u cos
o
r Au
x
u
ur
v
y
S
习题4-2 设有内径为 a 而外径为 b 的圆筒受内压力 q ，试求内半径 及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。
A
a2b2 (1 2) (1 2)b2 a2
q
2C
(1
a2
2 )b 2
a2
q
r
A r2
2C
A r2
2C
r 0
刚体
r
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
r
2
2
)
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
r2
)
ra
r
a2b2
(1 2)b2
a2
q(
1 b2
1
2
a2
)
q
a2b2
(1 2)b2
x
r
2
r
2
cos 2
P r
(
sin
sin
)(1
cos
2
)
y
r
2
r
2
cos 2
P r
(
sin
sin
)(1
cos
2
)
xy
r sin 2
2
P r
(
sin
sin
)
sin
2
由坐标变换式： r x2 y2 x r cos , y r sin
x
2P
sin
x2 y (x2 y2)2
（3）由边界条件确定常数
边界条件：
0 2
r q 2
代入，有：
2A
cosr1r2Dr
0r12
2 2
2 2
A A
sinsinqqr22
2D rqcotr
1 r
代入应力分量式，有
2A
q
sin
2D q cot
代入应力分量式，有
r 2Acos 2 2D 2Acos 2 2D r 2Asin 2
ra
1 2
E
a
q
b2 (b2
a2 a2
)
1
ur
r b
1 2
E
aq
2ab (b2 a2 )
ur
r b
ur
ra
1 2
E
a
qbb
a a
1
习题4-3 设有刚体，具有半径为 b 的圆柱形孔道，孔道内放置一外 半径为 b而内半径为 a的圆筒，受内压力 q ，试求圆筒壁 的应力。