【高考精品复习】第九篇 解析几何 第3讲 圆的方程

第3讲 圆的方程

【高考会这样考】

1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．

2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题．

【复习指导】

1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程．

2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．

基础梳理

1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．

2．圆的标准方程

(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程．

(2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2.

3．圆的一般方程

方程x 2＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有： (1)当D 2＋E 2

－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；

(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭

⎪⎫－D 2，－E 2； (3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形．

4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系

(1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外；

(2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上；

(3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．

一种方法

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；

(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

两个防范

(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．

(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．

三个性质

确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上；

(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为()．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2

C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2

答案 C

2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()．

A．(2,3) B．(－2,3)

C．(－2，－3) D．(2，－3)

解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．

答案 D

3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1

C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1

解析因为点(1,1)在圆的内部，

∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4，∴－1＜a ＜1.

答案 A

4．(2011·重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )．

A ．5 2

B ．10 2

C ．15 2

D ．20 2

解析 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，

且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，

选B.

答案 B

5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________．

解析 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2

＝ 2. ∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2.

答案 x 2＋y 2＝2

考向一 求圆的方程

【例1】►已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )．

A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2

B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2

[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．

解析 法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可．

设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2

，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝

22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.

法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d ＝42

＝22；圆心是直线x ＋y ＝0与这两条平行线交点的中点，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x －y －4＝0的交点坐标是(2，－

2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法三 作为选择题也可以验证解答，圆心在x ＋y ＝0上，排除选项C 、D ，再验证选项A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可．

答案 B

求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．

【训练1】 经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．

解析 ∵圆经过点A (5,2)，B (3,2)，

∴圆心在x ＝4上，又圆心在2x －y －3＝0上，

∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝r 2，

又圆过B (3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r 2，

∴r 2＝10，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.

答案 (x －4)2＋(y －5)2＝10

考向二 与圆有关的最值问题

【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2

＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．

[审题视点] 找出y －1x －2

的几何意义，运用几何法求解． 解析 设y －1x －2

＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值． 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.