大学生物理竞赛辅导

mg
m1g
m2g
a1 a2 R
J 1 mR2 2
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2
a m1 m2 g m1 m2 m 2
T1
2m2 m1 m2
m 2
m2
m1g
m1 m2 g
m1
m2
m 2
R
T2
2m1 m1 m2
m 2
m
2
m2 g
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3
例：长l质量m的杆可绕过一端的水平轴转动。杆从水平静止开
v1
(4m M )v0 4m M
,
v2
2 mv0 4m M
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2、滚动 纯滚动
纯滚动的条件：s=Rφ， 质心移动的距离也是s，∴vc=Rω，ac=Rβ。
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滚动中摩擦力的作用：
y
N x
f
mg θ
例：已知m，R，θ，纯滚动，求ac， β。
解： mg sin f mac
t
1
u2 c2
t2 t1
1
u c
2 2
t t0
1
u2 c2
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Δtʹ= Δt0最短，为原时，是同一地 点记录的时间间隔。
同一地点的钟记录的时间最短。
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两个惯性系中记录的时间间隔不同。运动的钟比静止的钟 走得慢。
时间膨胀：，原时是在同一地点发生的两个事件之间的时
间间隔。与发生事件的地点有相对运动的观察者测得该事件经 历的时间变长。
+
c
=
B
vcm B
T 2vcm c vcm
B
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例：求剪断一根绳时另一根绳中的张力。
T
×
m,2l
mg
解二，用转动定理
解一：
mg T mac
质心平动
Tl Jc
绕质心转动
Jc
1 3
ml 2 ,
ac l
T 1 mg 4
mgl J , J 4 ml 2, 3g
3
4l
1 2
m1
r12 1
T1r2
T2r2
1 2
m2 r32 2
T2 mg ma
a r22
ac a r11
18
习题3.55：
圆柱体M=4.0kg , R= 0.10m, 斜面 θ=37°,忽略滑轮的质量, 重物 m=1.0kg. 求(1) 重物的加速度a, (2) 圆柱体的质心加速度和角加 速度, (3)圆柱体和斜面间的摩擦 力。
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M
dL
dt
角动量的改变包括其大小的改变和方向的改变。
M⊥
M
M∥
L
L
ΔL∥
L+ΔL∥
L+ΔL⊥ L
ΔL⊥
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找出外力矩M和自转角动量L,
M mgr sin ; and M L
M
dL
;
dL L(t dt) L(t) Mdt
dt
判断进动方向的方法：
1、进动方向与M的方向一致。
2. M Ω L
Ω为进动角速度
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习题 3.61，3.62:
判断进动的方向。 垂直纸面向里。
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垂直纸面向外。
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狭义相对论
一、伽利略变换
x x ut y y z z t t 基本假设
Y K系
Y K 系
(x, y, z)
1、 J J00
2、 L L0
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例9：
v0
v
解：动量守恒么？ 角动量守恒么？
L0 mv0l J0 mv0l
L
mvl
J
1 4
mv0l
1 3
Ml 2
L L0 ,
9mv0
4Ml
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三、刚体的平面平行运动 1、平面平行运动
刚体的平面平行运动可以
视为质心的平动和绕过质心的 轴的转动的合成。
解： Kʹ系中尺长l0＝1.0m，
l0x l0 cos 30
Байду номын сангаас
3 m, 2
l0 y
l0
sin 30
1 2
m
K系中
lx l0x
1
u2 c2
3 2
1
u2 c2
m,
1
ly
l0 y
m 2
ly / lx tan 45 u 2020/10/19 0.816c
l
lx2
l
2 y
0.71m
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习题4.11：实验室中一粒子以0.80c的速度飞行3.0m后衰变掉。 求：（1）实验室参考系中此粒子的寿命；（2）与此粒子相 对静止的参考系中此粒子的寿命。
解题时先写出不同惯性 系中的x、t及x、t
然后直接代入上述公式 计算！
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【例4.1】u＝0.80c，t´＝1.0×10－6s， x´＝30m，求K系中观察 闪光发生在何时何地。
解：按伽利略变换
t t 1.0106 s x x ut 270m
按洛伦兹变换
t
t
ux c2
第一条假设推广了力学的相对性原理，否定了“绝对参照 系”的存在。
第二条假设与实验事实相符，与伽利略变换不相容，表明 要用新的变换代替。
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三、洛伦兹变换（坐标变换）
Y K系
Y K 系
x
x ut
1
u2 c2
y
y
z z
t
t
ux
c2
1
u2 c2
x
x ut
ut • P ( x, y, z)
O O
x
X X
x
Z Z
vvxy
vx vy
u
vz vz
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aaxy
ax ay
a
a
az az
F
ma
ma
F
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二、爱因斯坦的基本假设
①相对性原理：所有惯性系都是等价的，所 有物理规律在惯性系中都是一样的。
②光速不变原理：在所有惯性系中测量到的 真空中的光速都是一样的。
1
u2 c2
y
y
Z
z z
t
t
ux c2
1
u2 c2
(x, y, z)
ut
•P (x, y, z)
O O
x
X X
x
Z
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x
x ut
1
u2 c2
t
t
ux c2
1
u2 c2
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Y K系
Y K 系
Z
x
x ut
1
u2 c2
t
t
uxc2
3g
2J
;
0
0;
act
3g ; 4
acn
0;
Nx
0;
Ny
1 mg; 4
(2) 如果 θ=π/2,
0; 0
3g
J
;
act
0;
acn
3g ; 2
Nx
0;
Ny
5 mg 2
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例：求打击中心的位置。
解：假定打击中心在距轴r0处，
Fn Ft
Fr0
1 3
ml 2
F
Ft
macx
纯滚动可以实现，
1 tan.
3
(3) 若f> fmax，最大静摩擦力小于纯滚动所需的摩擦力， 则必然有滑动。若μ=0，则只滑不滚。
若滚动的是球，J=2mR2/5，则ac=5gsinθ/7，与球的质量和 半径无关。
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纯滚动中摩擦力不作功
例：求圆柱体从h高的斜面滚到底部时的速度和角速度。
解：
T f
Mg N
mg T ma
T f Mg sin Macm (T f )R 1 MR2
2
acm R
a 2acm
acm 4.0m/s2 , a 8.0m/s2 , 4.0rad/s2 , f 11.4N
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习题3.57：
T1
T
如图，以加速度a0上升的升降机中，滑轮和 圆柱体的半径R。求相对升降机的物体加速 度和圆柱的质心加速度；绳中的张力。
新的时空观
1、同时的相对性：
t2
t1
(t2
t1
)
u
(
x2 c
2
1 u2/c2
x1 )
当x2 x1 0时，若t2 t1 0, 则t2 t1 0
在一个惯性参照系中同时发生的两个事件在另一个惯性参 照系中看是不同时的。
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2、时间膨胀：
t
t2
t1
t
ux c2
1
u2 c2
如果x x2 x1 0, t
解：
T2
T1 mg ma0 ma
T2R T1R J1 a R1
Mg Ma0 T2 Mac
T2R J2 ac a R2
mg ma0 T1Mg T2
Mg Ma0
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四、回转运动
不受外力矩的陀螺仪，角动量守恒，转动 轴线的方向不变。
受到外力矩作用的陀螺会产生回转效应，叫进 动。
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3、长度收缩
x ut
x x2 x1
1
u2 c2
若t t2 t1 0, x x x 1 u2
c2
x x2 x1
1
u c
2 2
1
u2 c2
l l0
u2 1 c2
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Δx最长，是在相对杆静止的惯性系中 测量的长度，称为原长。
静止的杆长度最长；运动的杆长度收缩
N f
解： Ei Mgh,
Ef
1 2
Mvc2m
1 2
J cm
vc2m R2
mg
θ
vc2m
4 gh 3
;
2
( vcm R
)2
4gh 3R2
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例3.16 β
例3.17
F f mac
FR fR 1 mR2
2
ac R
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m1g T1 m1ac
T1r1
m
l 2
Fn mg macy 0
Ft
F (1
3r0 2l
),
Fn mg
Ft
0,
r0
2 3
l
F mg
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二、角动量守恒
由定轴转动的角动量定 理
dL M z dt
t
L
M zdt dL, 0 M zdt L0 dL L L0
如果外力矩Mz等于零，则L= L0， 角动量守恒。
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（ 1）、动力学方程
F mac
质心运动定理（二维） 质心平动
Mc Jc
绕质心的转动 (质心系） 绕质心转动
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（2）、动能
Ek
1 2
Jc 2
Ekc
（ 3）、角动量
L Lc rc P
Lc Jc, P mivi mvc
T
T vcm
c vcm
解：取地球为K系，飞船为K´系，
u0
K : 发射（x1,t1）, 中靶（x2 ,t2） o´
x 30m, t 2.0107 s
o
v
o´
K:
发射（x1, t1）,
中靶（x2
,
t
）
2
x x ut 130m 1 u2/c2
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四、 狭义相对论时空观
x x t t
1
u2 c2
(x, y, z)
ut
•P (x, y, z)
O O
x
X X
x
Z
28
间隔变换
x x2 x1, x x2 x1 t t2 t1, t t2 t1
x
x ut
1
u2 c2
t
t
ux c2 u2
1 c2
x
x ut u2
1 c2
t
t
ux c2
1
u2 c2
35
在K系中测量杆长， x x2 x1
在K´系中测量杆长，必须同时测 出x1´和x2´，即t2´＝ t1´。
t t2 t1 0,
x x
1
u2 c2
l l0
1
u2 c2
长度收缩：当物体和测量者有相对运动时，测量者测得物体沿 运动方向的长度变短。
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习题4.9：米尺在Kʹ系中静止，与x轴成30度角。在K系中尺与 x轴成45度角。求：（1）Kʹ系相对K系的运动速度；（2）K 系中米尺的长度。
1.8106 s
1
u2 c2
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x x ut 450m
1
u2 c2
30
【例4.3】一飞船以u＝0.80c相对地球匀速直线运动，宇航员 测得飞船长度为30m。现从船尾发射一粒子弹，击中船头靶 子，宇航员测得经历时间2.0 ×10－7s。求地球上的观察者测得 的子弹飞行的距离。
刚体的平面平行运动
一、定轴转动的转动定理*
M z J 定轴转动的转动定理
两类问题： 1、圆盘、滑轮、圆环、球等的定轴转动。 2、细杆的定轴转动。
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1
例：
求a，T，β。
m,R
T
T1
T2
m1
m2
m1g T1 m1a1 T2 m2 g m2a2
(T1 T2 )R J
T1
T2
mg
T
mact
ml,
T
1 4
mg
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例：细杆在光滑水平面上，与质点完全弹性碰撞，求碰后的运 动情况。
M 2l
m, v0
解： mv0 mv1 Mv2
mlv0 mlv1 Jc
1 2
mv02
1 2
mv12
1 2
Mv22
1 2
Jc 2
Jc
1 3
ml 2
6mv0 , l(4m M )
始转动，当转到与水平位置成θ角时，角加速度β，角速度ω和质
心加速度ac为多少？此时杆对轴的作用力为多少？
Ny
o
l
解：(1) mg l cos J 3g cos
2
2l
Nx
θ
mg
J 1 ml 2 3
(2) d d d
dt d dt
d
0
0
3g
2J
cosd
(3)
act
l 2
3g 4
N-mgcos 0 fR J 1 mR2
2
ac R
可得：ac
2 3
g
sin ;
2g sin ;
3R
f 1 mg sin.
3
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15
ac
2 3
g
sin ;
2g sin ;
3R
f 1 mg sin.
3
讨论: (1) ac<gsinθ，即小于直接滑下的加速度。
(2) 加速滚动需要摩擦力。fmax=μN=μmgcosθ，当f< fmax时，
cos
,
acn
2
l 2
3g 2
sin
3gsin J
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4
(4) Nx sin N y cos mg cos mact
Nx cos N y sin mg sin macn
Nx
9 4
mg
sin
cos
Ny
mg (1
3 2
sin2
3 4
cos2 )
讨论： (1) 如果 θ=0,