概率论Ch7+参数估计(2018)

为来自总体的样本， x1, x2 , , xn为样本值，求
的矩估计量和矩估计值。
例 设总体 X ~ U(a , b)，a , b均未知，X1, X2 , ,
Xn为来自总体的样本， x1, x2 , , xn为样本值，
求a、b的矩估计量和矩估计值。
iid
例 设X1,, Xn ~ N (, 2 ), , 0,
• 正态总体参数的区间估计 1. 单正态总体均值的置信区间
iid
设X1，，Xn ~ N ( ，2 ),给定 ，由观测值
x1,, xn求出 的置信区间.
(1) 2已知 令 U X ~ N (0,1) n
即得 的置信区间为1- 的置信区间为
x z/2
n (x z/2
, n
x z/2
)。 n
Ch7 参 数 估 计
河海大学理学院《概率论与数理统计》
• 点估计 1. 参数估计的概念 定义 设X1，…，Xn是总体X的一个样本，其概率 函数为 f (x ; ), . 其中为未知参数, 为参数 空间, f (x ; )可表示分布律或密度函数. 若统计 量g(X1，…，Xn)可作为的一个估计, 则称其为的 一个估计量, 记为 ˆ 。 即ˆ g( X 1,, X n ).
iid
例 设X1,, Xn ~ N (, 2 ), , 0, 试求 L和 2L .
iid
例 设X1,, X n ~ U (a, b), 试求aˆL和bˆL .
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• 点估计量的评选标准 1. 无偏性 设ˆ ˆ ( X1,, X n )为的估计量, 若E(ˆ ) 则称ˆ 是的无偏估计量.
j
则称为
j的极大似然估计,记为
ˆ
j
或ˆ
MLE
j
L
.
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极大似然估计的求法:
(1) 解似然方程法
[L(1,,m )] 0, j
[ln L(1,,m )] 0 j
称为未知参数 j的似然方程。若该方程有解，
则其解就是 ˆ j L ˆ j L( X1,, Xn )
• 区间估计 iid
设 X1,, Xn ~ f ( x;) , , , 为两个
统计量，任给：0<<1，有
P{( X1,, Xn ) ( X1,, Xn )} 1 则称( , ) 为 的置信度为1的置信区间， 为置信下限， 为置信上限。 ( , ) 也称为的区间估计。
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1)
)
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同时，也可得到 的置信度为1- 的置信区间
(
(n - 1) s2 ， 2 /2(n 1)
(n - 1) s2 12/2 (n 1) )
例 从一台自动机床加工的同类零件中抽取10
件，测得零件长度为(单位: 毫米): 12.15, 12.12,
12.01, 12.28, 12.09, 12.03, 12.01, 12.11, 12.06和
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2. 单正态总体方差的置信区间
iid
设X1,, xn ~ N (, 2 ) , 给定x1,, xn ,
求出（2 或）的置信区间。
未知
令 2
(n
- 1)S 2
2
~
2 (n 1)
即得2的置信度为1 的置信区间为
(
(n - 1)s2 2 /2(n 1)
,
(n - 1)s2 12/2(n
令
F
S12 S22
12
2 2
~ F(n1 1,n2 1)
其中S12
1 n1
1
n1
i 1
(
X
i
X
)2 ,
S22
1 n2
n2
1
(Yi
i 1
Y
)2
可得
12
2 2
的
置信区
间
(
F
/
2
S12 (n1
S22 1, n2
1）,
S12 S22
)
F1-/2(n1 1, n2 1)
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例 设总体X的分布律为
X0 1
2
3
P 2 2(1) 2 2 其中(0< <1)未知，求的矩估计量。
若总体X有样本值3、1、3、0、3、1、2、3， 求的矩估计值。
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例 设总体 X ~ P()， > 0未知，X1, X2 , , Xn
试求
M
和
2 M
.
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• 极大似然估计法
iid
设X1,, Xn ~ f ( x; 1,,m ), j ,则称
n
L(1,,m ) f ( xi; 1,,m )为X的似然函数.
i 1
定义 若有ˆ j , 使得
L(ˆ 1
,,
ˆ m
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
max
j
L(1
,,
m
),
或 L(ˆ 1,,ˆ m ) sup L(1,,m ),
定义 用样本矩作为总体同阶矩的估计，从而解
出未知参数的方法称为矩估计法或矩法。
的矩估计可记为 ˆ M
ˆ M 应满足方程：E( X
k)
Ak
1
n
i
n 1
X
k i
.
k的取值取决于 f (x; )中未知参数 的维数。
若维数为1，即仅有一个参数，则k取1；
若维数为2，则可让k取1和2，解联立方程即可得 余类推
ˆ g( x1,, xn )称为 的估计值.
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若x1，…，xn是样本的一个观测值。 由于g(x1，…，xn) 是实数域上的一个点，现 用它来估计 ，故称这种估计为点估计。 点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估计法。
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2. 矩估计法（简称“矩法”）
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iid
例 设X1,, X n ~ N (, 2 ), , 0, 试讨论 L和 2L的无偏性.
iid
例 设X1,, X n ~ N (, 2 ),试确定常数C ,
n1
使C ( X i1 X i )2为2的无偏估计.
i 1
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(1)
12，
2 2
已知
令 U (X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
12
2 2
n1 n2
可得
1
2的置信区间
( x y z/ 2
12 n1
2 2
n2
,
x
y
z / 2
12 22 ) n1 n2
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(2) 12 22未知
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(2) 2未知 令 T X ~ t(n 1) Sn
即得 的置信区间为1的置信区间为
x t/ 2(n 1)
S n
(x
t/ 2(n 1)
S, n
x t/ 2(n 1)
S n
)。
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例 一个科学家记录了球的直径的5个测量值为： 6.33, 6.37, 6.36, 6.32和6.37cm，假设球的直径近 似地服从正态分布。求总体均值 的0.95的置信 区间。
令
T
X
Y Sw
(1 1 n1
2) 1
n2
~
t(n1
n2
2)
可解得 1 2 的置信区间
x y t / 2 (n1 n2 2)Sw
11 n1 n2
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例 随机地从两包装的食糖中分别取了4箱和5箱 测得重量分别为(单位: kg)
甲: 143, 142, 143, 137； 乙: 140, 142, 136, 138, 140； 设两重量数据分别来自N( 1, 12)， N( 2, 22)， 且两样本相互独立。 (1)若12 = 8，22 = 5； (2)若12 = 22未知。 分别求出12的置信度为0.99的置信区间。
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例 已知幼儿的身高在正常情况下服从正态分布。 现从某一幼儿园5岁至6岁的幼儿中随机地抽查了 9人，其身高分别为(单位: cm)
115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110。 假设5岁至6岁幼儿身高总体的标准差为 =7cm。 在置信度为99%的条件下，试求总体均值 的置 信区间。
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(2) 直接法
由似然方程解不出j的似然估计时，可由 定义通过分析直接推求。
事实上ˆ
j
满足
L
L(ˆ 1
L
,,
ˆ
m
L
)
max
j
L(
1
,,
m
).
或 L(ˆ 1L ,,ˆ m L ) sup L(1,,m ).
j
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iid
^
例 设X1,, X n ~ P(), 0,试求 L
12.04。设零件长度服从正态分布，求总体方差
2和标准差的置信区间(=0.05)。
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3. 双正态总体均值差的置信区间
iid
设X1， X n1 ~ N (1，12 )，
iid
Y1，，Yn2
~
N (2
，
2 2
)，
两样本独立。给定置信度1 ，
由观测值x1，，xn1 ; y1，，yn2， 求出1 2的置信区间。
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例 某车间生产滚珠，其直径 X 是随机变量， 总体 X ~N( , 0.06)。从某一天的产品中随机地 抽取六件样品，测得直径为(单位：mm)
14.60, 15.10, 14.90, 14.80, 15.20, 15.10 求总体均值 的置信度为1=0.95的置信区间。
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4. 双正态总体方差比的置信区间
iid
iid
设X1，，X n1
~
N (1，12 )，Y1，，Yn2
~
N
(
2，
2 2
),
两样本独立。给定置信度1 ，由观测值x1，，xn1 ;
y1，，yn2，
求出12
2 2
的
置信区间。
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(1) 1， 2未知
2. 有效性
设ˆ 1 , ˆ 2分别是参数 的两个无偏估计, 若D(ˆ 1) D(ˆ 2 ), 则称ˆ 1比ˆ 2有效.
例 设X1,, Xn为总体X的一个样本.试证明
ˆ 1
1 5
X1
3 10
X2
1 2
X3
ˆ 2
1 3
X1
1 4
X2
5 12
X3
都是E( X )的无偏估计. 并比较哪个更有效 ?
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