zk28量子3北京交通大学大学物理

(r , t ) Ae
i
p r
e
2
Et
i
( r )e
i Et
(r ) Ae
自由粒子
2
i
p r
── 空间波函数
A const . 即严格限制了粒子的动量 p const .
各处概率相等------ 位置完全不确定了!

( x)

2
dx
把其余明纹考虑在内， 有：x px h
得到不确定关系
p x p sinq 1
认为电子 集中在该 区域
p
θ1

px
严格的理论给出不确定关系:
x p x 2 , y p y 2 , z pz 2
一般写为:
q p 2
i ( px Et )
i px
自由粒子波函数： ( x, t ) Ae
( x, t ) ( x )e
i Et
, ( x ) Ae （空间因子）
自由粒子在三维空间中运动的波函数：
Ψ ( x, t ) Ae
通常写成：
i ( E t p r )
关于不确定关系ΔxΔpx≥ /2，有以下几种理解： ①粒子的动量不可能确定； ②粒子的坐标不可能确定； ③粒子的动量和坐标不可能同时确定； ④不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其 它粒子。 其中正确的是 A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①④
不确定关系使微观粒子运动“轨道”的概念失去意义。 不确定度关系的物理意义: 当粒子位置的不确定度x小时,动量的不确定度px 就大,反之亦然.即微观粒子的坐标与该方向的动量 不能同时确定。 不确定关系是微观粒子固有属性——波粒二象性 决定的，与仪器精度和测量方法的缺陷无关。
#1a1301017a
P P1 P2
概率幅线性叠加 概率相加
P | |
2
* 2 * * * C12 1 1 C2 2 2 C1C2 ( 1 2 2 1 )
单缝衍射的结果 2 2 | C | | C1 | ; 2
双缝干涉项
电子通过第1缝和第2缝的概率
18-2-4 海森伯的不确定关系
代表 t 时刻，在坐标 r 附近单位体积中粒子出现 的概率， 称为“概率密度”。
z
* 2 Ψ(r ,t ) Ψ(r , t ) Ψ(r , t )

在t 时刻，在 r 附近dV
dV 内粒子出现的概率为： x
r
y
2 Ψ (r ,t ) dV
2 在空间 粒子出现的概率为： Ψ r ,t dV
( x, t ) 0
( x, t ) Axe
x
x0
x0
其中A为任意常数
求：1)归一化的波函数；2)概率密度 3)何处概率密度最大 解： 由归一化条件,

即：
0

| ( x, t ) | dx | ( x, t ) |2 dx 1
2 0

A
2


0
x 2 e -2x dx 1
Ω
玻恩（M.Born）假定（1926年）
玻恩的概率解释:在某一时刻、空间某一地点,粒子出 现的概率密度正比于该时刻、该地点波函数的模方. 德布罗意波并不像经典波 那样代表实在的物理量的 波动，而是刻画粒子在空 间的概率分布的概率波
Ψ (r , t ) 须满足的条件是什么?
三 概率解释对波函数提出的要求
x L2 x L2

L 2
dx 1
A
1 L
四 态叠加原理
物质波的波函数-态函数 设：波函数1 2 3 …是体系的可能状态 它们的线性叠加也是体系的可能状态
线性组合态
=c11 +C22+C33 …
态叠加原理 P | |2
* 2 * * * C12 1 1 C2 2 2 ...C1C2 ( 1 2 2 1 ) ...
例: 设粒子在一维空间运动,其状态可用波函数描述为：
( x, t ) 0
x b / 2, x b / 2
x
b )e
iE t
( x , t ) A cos(
b/2 x b/2
其中A为任意常数，E和b均为确定的常数 求：归一化的波函数；概率密度. 解： 由归一化条件,
A
2

b / 2

| ( x, t ) | dx
2
b/ 2
b / 2
| ( x, t ) | dx | ( x, t ) | dx 1
2 2 b/ 2

即： A
2

b/ 2
b / 2
cos (
2
x
b
)dx 1
t 2 x iE cos( )e 由此可求出归一化的波函数 ( x , t ) b b
宽度W
中央明纹
L
不确定关系的粗略推导
一束动量为p 的电子通过狭缝： 穿过狭缝的电子在 x 方 向上的不确定范围为 x d ,

h p
θ1 x 注意x 的方向

2
穿过狭缝后电子动量 x 分 电子束 d sinq1 量px的不确定范围为
d
d sin q1 , h x px dp sin q1 = =h
#1a1301016b
若只有一个光子通过狭缝，则光子位置的不确定度Δx 与以下哪个参数有关？ A. B. C. D. L D 宽度W 上述均不对
宽度W
中央明纹
L
#1a1301016c
一个光子在狭缝前动量为p，当其穿过狭缝后，光子在 到达屏幕之前，其动量横向分量不确定度Δp与以下哪 个参数有关？ A. p· sinq1 B. 动量横向分量不确定 度为0 C. p D. 条件不足，无法确定
b A 1 2
2
A
2 b
概率密度为：
( x ) ( x , t ) 0
2
x b / 2, x b / 2
2 2 x ( x ) ( x , t ) cos ( ) b b
2
b/2 x b/2
如图所示，在区间 （b/2,b/2)以外找 不到粒子。在x=0 处找到粒子的概率 最大。
18-2-2 波函数
一、波函数（wave function）
量子力学假定：微观粒子的状态用波函数表示。
波函数： 一维 Ψ（x , t ) ， 三维 Ψ( r , t )
二、波函数的概率解释 物质波是“概率波”，它是怎样描述粒子 在空间各处出现的概率呢？
玻恩对 的概率解释(1926) ：波函数 是描 其模方 述粒子在空间概率分布的“概率振幅”。
( x, t ) Aexp i(t kx)
由德布罗意关系
2 E E 2 h
E h , p h
，得
其中
2 p p k h
2
h 1.05 10 34 J s 6.58 10-16 e V s 2

A

2Baidu Nhomakorabea
dx
原因：Φ(x)代表全空间理想平面波，而实际 的自由粒子，例如由加速器引出的粒子束，只 能分布在有限的空间内。若限定粒子只能出现 在某一区间，则自由粒子波函数变成
i px Ae , ( x) 0,
2 ( x ) d x A 2 L2
光学大作业的截止日期为第15周的周五。 平时作业的补交日期是为第15周的周五。
加课时间安排：下周周五晚上7点至9点 内容：去年的试卷和光学平时作业题
本次课的内容重点:
理解概率波与概率幅 理解波函数应满足的标准化条件及归一化 条件的物理意义. 会由给出的波函数求粒子几率的空间分布. 理解不确定关系并能用它对微观世界某些物理 量进行简单的估算. 理解薛定谔方程(定态)
2 ( x, t )
( x, t )
-b/2
o
b/2
x
#1a1301036a
用波函数来描写微观粒子，该波函数有如下性质， 下列论述中那个选项是不正确的？ A. 波函数描写的是大量微观粒子的体 系，而不是单个粒子； B. 波函数具有单值、有限、连续性， 且归一化； C. 波函数没有直接的物理意义；
海森伯 Werner Karl Heisenberg 德国物理学家(1901-1976) 1927年提出不确定关系 1932年获得诺贝尔物理学奖
海森伯当时感到困惑的问题 是:既然在量子理论中不需要 粒子路径的概念,那又怎么样 解释在云室里观察到的粒子 径迹?
他开始试图寻求粒子的坐标和动量的不确定度的关系 .
#1a1301016a
如图，光穿过狭缝后将发生衍射，在狭缝后的屏幕上 产生明暗交替的衍射图样。图中B、C两点为第一个暗 带中心。请问，如果只有一个光子通过狭缝，最有可 能的结果会如何呢？
B A
C
A. B. C. D.
光子将直线运动至A点 产生衍射图样，但亮度比较暗 光子将在B、C之间某个地方以微弱的光闪现 B、C之间的区域将呈现一片亮带
C.


0
( x)dx 1
#1a1301013a
下图为一中子的波函数，x等于多少时，在附近的单 位区间内找到该中子的可能性最大？
波函数
A. B. C. D. E.
x = xA x = xB x = xC x=0 无穷远处
xA
xB
xC
x
#1a1301013b
下图可能为量子波函数图像吗？
波函数
课堂提问:
重要
( r , t ) 须满足的条件是 单值、有限、连续、 归一化；
其归一化条件是
*
全空间
设描述微观粒子运动的波函数为 (r , t )

dxdydz 1
2
表示: 粒子在t时刻在(x,y,z)处出现的概率密度
例: 设粒子在一维空间运动,其状态可用波函数描述为：
电子双缝干涉 通过双缝后， 分布是d不是c。 电子的状态用 波函数 描述。 只开上缝时, 电子有一定的概率通过上缝， 电子的概率分布为 P1 |Ψ1|2 其状态用 1 ( x )描述， 只开下缝时, 电子有一定的概率通过下缝， 2 ( x ) P | Ψ | 其状态用 2 描述， 电子的概率分布为 2 2 双缝齐开时，电子可通过上缝也可通过下缝， 通过上、下缝各有一定的概率， 1 、 2 都有。
1 波函数的有限性： 2 波函数的单值性： 在空间任何有限体积元中找到 粒子的概率必须为有限值。 要求波函数单值，从而保证概率 密度在任意时刻都确定唯一。 势场性质和边界条件要求波 函数及其一阶导数是连续的
3 波函数的连续性： 4 波函数的归一性：
在空间各点的概率总和必须为1. 2 Ψ(r ,t ) dV 1 ( 全空间) Ψ r , t 为归一化波函数
只开上缝电子波的单缝衍射 其状态用 1 ( x ) 描述 概率分布为 P1 |Ψ 1|
2
P1
A B
只开下缝电子波的单缝衍射
P
2 ( x ) P | Ψ | 其状态用 2 描述, 概率分布为 2 2
P2
双缝齐开时, 1 2 都有, C1 1 C2 2 归一化波函数 概率分布为??
A 2
x
归一化的波函数
( x, t ) 2 xe
2)概率密度：
( x ) ( x , t ) 0
( x ) ( x, t ) 4 x e
3 2 2 2 x
2
x0
x0
3)何处概率密度最大
d 2 ( x, t ) 0 dx d 2 2 x x e 0 dx 得 1 x
D. 波函数是时间和空间的函数；
#1b1301036b
以下是波函数的概念，哪个选项是正确的？ A.波函数是实函数 B.波函数是连续的 C.波函数是指在空间某点找到该粒子的几率 D.以上都是对的
#1b1301036c
设（x）表示粒子在一维空间出现的几率密度， -<x<,试问以下哪个选项是正确的？ A. ( x) 0; - x B. （x)的量纲是长度的倒数
x
A. 可能 B. 不可能 C. 不知道
自由粒子的波函数
与自由粒子相联系的德布罗意波，是一个单 色平面波。 沿+x传播的单色平面波，波函数：
y( x, t ) A cos( t kx)
复数形式可写成
y( x, t ) Ae
i (t kx )
微观粒子波函数一般是坐标和时间的复函数， 因此采用复数形式的平面波表达式，只要把其 中描述波动性的参量ω、k换成描述粒子性的参 量E、p就可以了。