高阶线性微分方程优秀PPT

13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
m
d2 dt
x
2
2n
dx dt
k
2
x
h
sin
pt
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
具有如下形式的方程:
x p(t)x q(t)x f (t) , 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
x(n) a1(t)x(n1) an1(t)x an (t)x f (t)
f (t) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (t) 0 时, 称为齐次方程.
C1 [ x1 p(t)x1 q(t)x1]
C2 [ x2 p(t)x2 q(t)x2 ] 0
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
x C1x1(t) C2 x2 (t) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, x1(t) 是某二阶齐次方程的解, 则 x2 (t) 2 x1(t)也是齐次方程的解
第七章 高阶线性微分方程
1
一.二阶线性微分方程举例
例. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 设时刻 t 物位移为 x(t).
( x * p(t)x * q(t)x *) ( X p(t) X q(t) X )
f (t) 0 f (t)
11
复习 目录 上页 下页 返回 结束
例如, 方程 y y x 有特解 对应齐次方程 y y 0 有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
x p(t)x q(t)x 0
的两个解, 则 x C1x1(t) C2 x2 (t)
也是该方程的解. (叠加原理)
证: 将 x C1x1(t) C2 x2 (t) 代入方程左边, 得
[ C1x1 C2x2 ] P(t)[C1x1 C2x2 ] Q(t)[ C1x1 C2 x2]
x2 tan t 常数, 故方程的通解为
x1
x C1 cost C2 sin t
Βιβλιοθήκη Baidu
若 x1, x2 , , xn 是 n 阶齐次方程
x(n) a1(t)x(n1) an1(t)x an (t)x 0
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
x C1x1 Cn xn (Ck为任意常数)
10
三、线性非齐次方程解的结构
设 x *(t) 是二阶非齐次方程
x p(t)x q(t)x f (t)
的一个特解, X (t) 是相应齐次方程的通解, 则
x X (t) x *(t)
是非齐次方程的通解 . 这是因为 ：
x X (t) x * (t) 代入方程, 得
X (t) x * (t) P(t) ( X (t) x * (t)) Q(t) ( X (t) x *(t))
12
机动 目录 上页 下页 返回 结束
设 xk (t) (k 1, 2, , n) 分别是方程
x P(t)x Q(t)x fk (t) (k 1, 2, , n )
n
的特解, 则 x xk 是方程 k 1 n
x P(t)x Q(t)x fk (t) k 1
的特解. (非齐次方程解的叠加原理) 上述均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
但是 C1x1(t) C2 x2 (t) ( C1 2C2 )x1(t)
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
6
机动 目录 上页 下页 返回 结束
设 x1(t), x2 (t), , xn (t) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
w(t0 )
0
x1(n1) (t)
x ( n 1) 2
(t
)
xn(n1) (t)
t t0
t0 I
8
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:
x1(t), x2 (t) 线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关 线性无关
k1x1(t) k2 x2 (t) 0
x1(t) k2 k ( 无妨设
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解: y C e P (x)d x e P (x)d x Q(x) e P (x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、线性齐次方程解的结构 若函数 x1(t), x2 (t) 是二阶线性齐次方程
使得
k1x1(t) k2 x2 (t) kn xn (t) 0, t I
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，1 , cos2 t , sin2 t ,在( , )上都有
1 cos2 t sin2 t 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，1 , t , t 2 , 若在某区间 I 上 k1 k2t k3t 2 0 ,
(1) 自由振动情况. 物体所受的力有:
o
弹性恢复力
(虎克定律)
x
阻力
x
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
据牛顿第二定律得
令 2 n , k 2 c , 则得有阻尼自由振动方程:
m
m
d d
2
t
x
2
2n
dx dt
k
2
x
0
(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力
F H sin pt 作用，令 h H，则得强迫振动方程:
x2 (t) k1
k1 0 )
x1 (t ) x2 (t)
常数
x1(t) x2 (t) 0 x1(t) x2 (t)
9
结论：
若 x1(t), x2 (t) 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则
x C1x1(t) C2 x2 (t)
数) 是该方程的通解.
例如, 方程 x x 0 有特解 x1 cost, x2 sin t, 且
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必需全为 0 , 故 1 , t , t 2 在任何区间 I 上都 线性无关.
7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
线性无关判别法：
x1(t), x(t)2 , xn (t) 在区间I上线性无关
x1(t) x2 (t) xn (t)
x1(t) x2 (t) xn (t)