运动(流体力学)分析

困难： ❖ 无穷多质点 ❖ 有变形 ❖ 不易显示
六个自由 度运动
EXIT
二. 拉格朗日法
以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质点的 运动，构成整个流体的运动。
t1 t2
t3
t4
t5
t6
EXIT
拉格朗日法是质点
系法，它定义流体质点
的位移矢量为：
r r(a,b,c,t )
(a,b,c) 是 拉 格 朗 日 变
u(a,b,c,t) d r(a,b,c,t) r(a,b,c,t)
dt
t
a(a,b, c,t)
d u(a,b, c,t) dt
u(a,b, c,t)
t
2 r(a,b, c,t)
t2
EXIT
若流场是用欧拉 u u(x, y, z,t)
法描述的，流体质 点加速度的求法必 须特别注意。
用欧拉法描述， 处理拉格朗日观点 的问题。
速度是同一流体质点的 位移对时间的变化率，加速 度则是同一流体质点的速度 对时间的变化率。
通过位移求速度或通过 速度求加速度，必须跟定流 体质点，应该在拉格朗日观 点下进行。
EXIT
若流动是用拉格朗日法描述 的，求速度和加速度只须将位移 矢量直接对时间求一、二阶导数 即可。
求导时a,b,c 作
为参数不变，意即 跟定流体质点。
EXIT
如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不 显含时间 t ，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。
欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为 在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利 条件。
欧拉法是描述流体运动 常用的一种方法。
EXIT
四. 流体质点的加速度、质点导数
恒定流中，所有物 理量的欧拉表达式中将 不显含时间，它们只是 空间位置坐标的函数， 时变导数为零。
例如，恒定流的
流速场：u u(x, y, z)
u 0 t
恒定流的时变加速 度为零，但位变加速 度可以不为零。
EXIT
二. 迹线和流线
迹线
某一流体质 点在不同时 刻占据的空 间位置。
A A A A A
跟定流体质点后，
x,y,z 均随 t 变，而且
d(x, y, dt
z)
(ux
,uy
,uz
)
a du u u d x u d y u d z dt t x dt y dt z dt
u t
ux
u x
uy
u y
源自文库uz
u z
( t
u )u
EXIT
du dt
=
u t
+ (u )u
质
础，综合所有的空间点的情况，构成整个流体的运动。
指定空 间位置
不同流 体质点
EXIT
欧拉法是流场 法，它定义流体质点 的速度矢量场为：
u u(x, y, z,t)
(x,y,z) 是 空 间 点 （ 场 点）。流速 u 是在 t 时 刻占据(x,y,z) 的那个流
体质点的速度矢量。
流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空 间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：
t1时刻
t2时刻 A
EXIT
迹线是流 体质点运动的 轨迹，是与拉 格朗日观点相 对应的概念。
拉格朗日法中位 移表达式
r r(a,b,c,t)
即为迹线的参数方 程。
t 是变数，a,b,c 是
参数。
EXIT
在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数
x,y,z 成为 t 的函数，所以迹线的微分方程为
数，即 t=t0 时刻质点的空
间位置，用来对连续介质 中无穷多个质点进行编 号，作为质点标签。
易知 r(a,b,c,t 0 ) (a,b,c)
流体在运动过程中其它运动要 素和物理量的时间历程也可用拉格 朗日法描述，如速度、密度等：
u u(a,b,c,t)
(a,b,c,t)
EXIT
三. 欧拉法 以研究流场中各个空间点上运动要素的变化情况作为基
a a(x,y,z,t)
p p(x,y,z,t)
EXIT
拉格朗日（J-L.Lagrange， 1736－1813，意大利)
欧拉（L.Euler, 1707-1783，瑞士）
EXIT
拉格朗日法
着眼于流体质点，跟踪
跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
布哨
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
EXIT
§3—1 描述流动的方法
描述流体运动的困难 拉格朗日法 欧拉法 流体质点的加速度、质点导数
EXIT
一. 描述流体运动的困难
离散 质点系
质点间 的约束
质点数
无 N个
流体
弱 无穷
刚体
强 无穷
EXIT
离散 质点系
流体
刚体
EXIT
离散 质点系
流体
刚体
❖ 编号，逐点 描述
❖ 3N个自由度
点
时变加速度
位变 加速度
加 速 度
由流速 不恒定 性引起
由流速不均 匀性引起
EXIT
a du u (u )u d t t
分量 形式
ax
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
duy dt
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
duz dt
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
EXIT
举例
A A’ B B’
uAdt
uBdt
EXIT
§3—2 有关流场的几个基本概念
恒定流、非恒定流 迹线和流线 流管和流量 均匀流、非均匀流；渐变流、急变流 流动按空间维数的分类 系统和控制体
EXIT
一. 恒定流、非恒定流
若流场中各空间点上 的任何运动要素均不随时 间变化，称流动为恒定流。 否则，为非恒定流。
第三章 流体运动学
❖ 在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方 法，根据运动要素的特性对流动进行分类。 ❖ 本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流 动的动力学因素。 ❖ 连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个 具体约束，也在本章的讨论范围之中。
EXIT
第三章 流体运动学
§3—1 描述流动的方法 §3—2 有关流场的几个基本概念 §3—3 连续性方程 §3—4 流体微团运动的分析
置坐标，就可以积分得到迹线。
EXIT
流线
表示某时刻流动方向的曲线。
uC
uD
uB
D
C
uA B
dr u[x(t), y(t), z(t),t]dt
dx
dy
dz
dt
ux[x(t), y(t),z(t),t] uy[x(t), y(t),z(t),t] uz[x(t), y(t),z(t),t]
这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点
位置坐标（x, y, z），它是 t 的函数。给定初始时刻质点的位