北京大学经济学院张延教授高宏课件

2009-9-22 高宏（2） 《高宏》讲义，张延著。版权所有 6
• 1、一阶导 dk˙／dk 决定 k˙的单调性 • • • • • dk˙／dk = s f′(k) – (n+g+δ) 一阶导 dk˙／dk 的变化分三种情况讨论： 如果 dk˙／dk = s f′(k) – (n+g+δ)＞ 0
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• 结论： • 不管k 从何处开始，它 都向k* 收敛。
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均衡位置
稳定性均衡：可重复出现、具有规律性的状态
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• 即： K˙／ K ＜ L˙／ L + A˙／ A
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•
如果资本的增长率小于劳动力和知识 的增长率
• ─→ 劳动力对资本来讲，变得越富裕 • ─→ 劳动力市场供给 ＞ 需求 • ─→ 劳动力的价格(工资)下降 • ─→ 劳动力的边际成本下降 • ─→ 发生替代，厂商用劳动力替代资本 • ─→ L↑的同时K↓ ─→ (K／L)↓ • ─→ (K／AL)↓ → k↓
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2009-9-22 高宏（2）
• 3、k 上升或者下降的经济原因 • (1) 为什么 k˙＜ 0 时，k 不稳定，还要 继续下降，向k* 趋近？ • 如何解释，如果每单位有效劳动的平均 实际投资小于所需的持平投资，则k下降？
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•
[ A(t)L(t)]˙／[A(t) L(t)] （均衡的定义式）
• = [ cL e gt L(t)]˙／[ cL e gt L(t)] • = cL [e gt g L(t) + egt L˙(t)]／[ cL e gt L(t)] • = [ g L(t) + L˙(t)] ／ L(t) • = [ g L(t) + n L(t)] ／ L(t) • = n+g
•
= X1˙／ X1 - X2˙／ X2 k˙／k = K˙／K – (AL)˙／AL
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•
根据均衡的定义，均衡是对立的、变 动着的经济变量处于一种力量相当、相对 静止、不再变动的境界。均衡是一种不再 变动的境界。 如果均衡存在，应该有： k˙ = d k ／ d t = 0 即：
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• • •
•
并且： k˙ = s f(k1 ) - (n+g+δ)k1 ＞ 0 s f(k1 ) ＞ (n+g+δ)k1 经济含义： 如果每单位有效劳动的平均实际 投资大于所需的持平投资，则k 上升。
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•
满足前提条件的国家，必然会 踏上经济的平衡增长路径。*
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• 特殊点： • • • • • 如果k 最初为0，根据已知条件： f(0)= 0，则满足方程(1.13)： k˙ = s f(0) - (n+g+δ)0 = 0 k 就会停留在那儿。 我们忽略这种可能性。
• ∵方程(1.13)是索洛模型的关键方程 • k˙ = s f(k) – (n+g+δ)k = 0 (1.13)
• ∴ k˙是k 的函数，k˙ = φ(k) • 我们可以画出 k˙ 随 k 变化的相图。
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2009-9-22 高宏（2）
k˙
k
0
书P21 图1.3 索洛模型中 k˙ 的相图
• • • •
f(k)
(n+g+δ)k
s f(k)
k˙
k
0
k* ˙ 的相图与实际投资和持平投资的对应 k 2009-9-22 高宏（2） 15 《高宏》讲义，张延著。版权所有
k
• • • • • • • •
(2) 如果k 最初大于k*， k2 ＞ k* 从相图可见，在k* 以右的k2 ，存在： k˙ ＜ 0 其数学含义为： k2 不稳定，还要继续 下降，向 k* 趋近。并且： k˙ = s f(k) - (n+g+δ)k ＜ 0 s f(k)＜ (n+g+δ)k 经济含义： 如果每单位有效劳动的平均实际投资小 于所需的持平投资，则k 下降。
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• (3) 如果k 最初恰好等于k*，k = k* • • • • • • 从相图可见，存在：k˙ = 0 其数学含义为：k* 稳定、不变。 k˙ = s f(k*) - (n+g+δ)k* = 0 s f(k*) = (n+g+δ)k* 经济含义： 如果每单位有效劳动的平均实际投资 等于所需的持平投资，则k 不变。
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• • •
(2) 为什么 k˙ ＞ 0 时， k不稳定，还要继 续上升，向k* 趋近？ 如何解释，如果每单位有效劳动的平均实 际投资大于所需的持平投资，则k上升？ 如果存在 s f(k) ＞ (n+g+δ)k
• 即：k˙ = s f(k) - (n+g+δ)k＞0 • 两边同除以 k ( k ＞ 0 )，得到： • • k˙／ k = s f(k)／k - (n+g+δ)＞ 0 = K˙／ K – L˙／ L – A˙／ A ＞ 0
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均衡位置
稳定性均衡：可重复出现、具有规律性的状态
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非稳定性均衡： 可遇不可求的、没有规律的状态。
均衡位置
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高级宏观经济学 教师：张 延
北京大学经济学院课程2009年9月22日
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• 二、k的动态学 —— 均衡的稳定性
• 不管k 从何处开始，它是否都在向k*收 敛？ 均衡k*是否稳定，一旦偏离k*是否有力 量使之回复均衡？经济学中只对稳定性均衡 感兴趣。—— 可重复发生的、有规律性的事 情。非稳定性均衡意味着可遇不可求的事情
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2009-9-22 高宏（2）
•
生产函数为： Y(t) = Min [ cK K(t)，cL e gt L(t)] 也是一个劳动增进型的生产函数。
表明等产量曲线为直角凸的形状。
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• •
•
K
cK K(t)
2009-9-22 高宏（2）
—— 自然增长率
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• • • • •
要达到平衡增长路径，必须满足： 两个增长率相等。 ∴ K˙(t)／ K(t) = [ A(t) L(t)]˙／[A(t) L(t)] s Y(t)／ K(t) – δ = g + n 实际的增长率 = 自然的增长率
0
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cL e gt L(t) • 直角凸的等产量曲线
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L
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• 1、k 的动态学 —— 均衡的存在性
• • 由于 k = K／AL，用链式法则可得。 两个变量之比的增长率等于其增长率 之差： ( X1／ X2 )˙／( X1 ／ X2 ) •
• 索洛模型的结论： • 只要市场机制是完善 的，经济依靠自身的力量就可以 实现稳定增长。
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• 三、与哈罗德 — 多马模型的比较。
• • • • • • 哈罗德(1939年)、多马(1946)模型。 假定生产函数为里昂惕夫函数： Y(t) = Min [ cK K(t)，cL e gt L(t)] 其中cK、cL 和 g 均为正。 与索洛模型一样，L˙(t) = n L(t) K˙(t) = s Y(t) -δK(t) 最后，假定： cK K(0) = cL L(0)
─→ k˙ 随 k↑而单调上升。
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•
如果dk˙／dk = s f′(k) – (n+g+δ)= 0
• • • • •
─→ k˙ 达到极值。
如果 dk˙／dk = s f′(k) – (n+g+δ)＜ 0
─→ k˙ 随 k↑而单调下降。
k˙
k
0
书P21 图1.3 索洛模型中 k˙ 的相图
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•
图1.3以相图的形式对此作了总结。在相 图中，k˙ 被表示为k 的一个函数。
• •
∵ 存在一个k ，使得： k˙ = φ(k) = 0
• ∴ 定义使得 k˙= φ(k) = 0 的 k 为 k* • 可能存在三种情况：
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• 即：k˙／ k
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•
•
即：K˙／ K ＞ L˙／ L + A˙／ A 如果资本的增长率大于劳动力和知识的增 长率。
• ─→ 资本对劳动力来讲，变得越来越富裕 • ─→ 资本市场供给 ＜ 需求 • ─→ 资本的价格( 利率)下降 • ─→ 资本的边际成本下降 • ─→ 发生替代，厂商用资本替代劳动力 • ─→ L↓的同时K↑ ─→ (K／L)↑ • ─→ (K／AL)↑ → k↑
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• 索洛模型的隐含前提： • 要素之间可以自由替代、自 发调节。K 与L 可替代。
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K
0
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L
• 正常的等产量曲线
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• •
• k˙／k = K˙／K – (AL)˙／AL = 0 • 即： K˙／K = (AL)˙／AL
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•
K˙(t)／ K(t)（均衡的定义式）
• = [cK K(t)]˙／[ cK K(t)] • = [cK K˙(t)]／ [ cK K(t)] • = K˙(t)／ K(t) • = [ s Y(t) -δK(t)]／ K(t) • = s Y(t)／ K(t) –δ —— 实际增长率
•
如果存在 s f(k) ＜ ( n+g+δ)k
• 即：k˙= s f(k) - (n+g+δ)k＜0 • • 两边同除以 k ( k ＞ 0 )，得到： k˙／ k = s f(k)／ k - ( n+g+δ) ＜ 0
• 即： k˙／ k • = K ˙／ K – L ˙／ L – A ˙／ A ＜ 0
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2009-9-22 高宏（2）
k˙
k˙ ＞ 0
k˙=0 k*
0
k
k˙＜ 0
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书P21 图1.3 索洛模型中 k˙ 的相图
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•
(1) 如果 k 最初小于k*， k1 ＜ k* 从相图可见，在k* 以左的k1 存在： k˙ ＞ 0 其数学含义为：k1 不稳定，还要继续增 长，向k* 趋近。
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2009-9-22 高宏（2）
• 2、二阶导 d 2 k˙／dk 2 决定 k˙ 的凹凸性
•
d 2 k˙／dk 2 = s f″(k) ＜ 0
• ─→ k˙ 以递减的速率单调上升 • ─→ k˙ 随 k↑而凹向原点。
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K
cK K(t)
0
2009-9-22 高宏（2）
cL e gt L(t) • 直角凸的等产量曲线
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L
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•
这意味着：两种要素不能自由替代， 沿着固定的路径扩张产量是最优的。
•
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即：两种要素投入的技术系数是固定 的。K(t)／ L(t) = cL e gt／cK 为一个固定的 常数。