统计学常用公式

公式一
1. 众数【MODE 】
（1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算
未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。

（2） 组距分组数据众数的计算
对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。

下限公式： 1
012
M =L+
+i ∆⨯∆∆ 式中：0M 表示众数；L 表示众数的下线；1∆表示众数组次数与上一组次数之差；2∆表示众数组次数与下一组次数之差；i 表示众数组的组距。

上限公式：
2
012
M =U-+i ∆⨯∆∆ 式中：U 表示众数组的上限。

2．中位数【MEDIAN 】
（1）未分组数据中中位数的计算
根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。

设一组数据按从小到大排序后为12N X X X ，，…，，中位数e M ，为则有：
e N+M =X
1
（）2
当N 为奇数
e N N +1221M =X +X 2⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 当N 为偶数
（2）分组数据中位数的计算
分组数据中位数的计算时，要先根据公式N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：
N
=1
m-1
e m
-S 2
M =L+
i
i f
d f ⨯∑
式中：e M 表示中位数；L 表示中位数所在组的下限；m-1S 表示中位数所在组以下各组的累计次数；m f 表示中位数所在组的次数；d 表示中位数所在组的组距。

3．均值的计算【A VERAGE 】
（1）未经分组均值的计算
未经分组数据均值的计算公式为： 112n ++=
=n
i
i x x x x x n n
=∑…
（2）分组数据均值计算
分组数据均值的计算公式为： 11221121
+++==+k
i i
k k i k k
i
i x f x f
x f x f
x f f f f
==+∑∑+
4．几何平均数【GEOMEAN 】
几何平均数是N 个变量值乘积的N 次方根，计算公式为：
式中：G 表示几何平均数；∏表示连乘符号。

5．调和平均数【HARMEAN 】
调和平均数是对变量的倒数求平均，然后再取倒数而得到的平均数，它有简单调和平均数与加权调和平均数两种计算形式。

简单调和平均数： 211H=
=
111
+++n
i
n
i n n x x x x =∑1…
加权调和平均数： 2121
1211m m +m ++m H==m m m m +++n i n
i n i n
n i
i x x x x ==∑∑…… 式中：H 表示调和平均数。

6．极差【Range 】
极差也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差，即 ()()
R=max -min i i x x
式中：R 表示极差；()
max i x 和()
min i x 分别表示一组数据的最大值与最小值。

7．平均差【Mean Deviation 】
平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。

（1） 根据未分组资料的计算公式： 1
-AD=
i
n
i x x
n
=∑
（2） 根据分组资料的计算公式： 1
1
-AD=
i
n
i
i n
i
i x x
f f
==∑∑
式中：AD 表示平均差
8．方差【Variance 】和标准差【Standard Deviation 】
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。

要求掌握方差和标准差的计算方法。

未分组数据方差的计算公式为： ()
2
21
n
i x x n
σ=-=
∑
分组数据方差的计算公式为： ()
2
21
1
i
n
i
i n
i
i x
x
f f
σ==-=
∑∑
式中：2σ表示方差。

方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：
未分组数据：
σ=
分组数据：
σ=
式中：σ表示标准差。

9．离散系数
离散系数通常是就标准差来计算的，因此，也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标。

其计算公式为： V x
σσ
=
式中：V σ表示离散系数。

10．偏态【SKEW 】
偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。

利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分布是左偏还是右偏。

显然，判别偏态的方向并不困难，但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系数了。

EXCEL 中偏态系数的计算公式为： ()()3
1--1-2i n
i x x n
n n s =⎡⎤⎢⎥⎣⎦
∑
11．峰值【KURT 】
EXCEL 中峰值系数的计算公式为：
()()()()()(
)()42
1-13112313i
n i x x n n n n n n s n n =⎧⎫+-⎛⎫⎪⎪-⎨⎬ ⎪-----⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑ 式中：s 表示样本标准差。

公式二
1．
均值估计
（1）样本均值的标准差
样本均值的标准差，即为样本均值的标准误差，又称为样本均值的抽样平均误差,它反映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度，反映了所有可能样本的实际抽样误差水平。

样本均值的抽样平均误差计算公式为：
重复抽样方式： ()x σ==
不重复抽样方式： ()x σ=
通常情况下，当N 很大时，（N-1）几乎等于N ，样本均值的抽样平均误差的计算公式也可简化为：
()x σ=
在公式中，σ是总体标准差。

但实际计算时，所研究总体的标准差通常是未知的，在大样本的情况下，通常用样本标准差S 代替。

（2）大样本均值的极限误差 ()2x Z x ασ∆= （3）大样本下总体均值的区间估计
总体均值的置信度为（1α-）的置信区间：
()()
22x z x x z x αασμσ-≤≤+ 即22
x z x z ααμ-≤≤+（4）总体方差未知，小样本正态总体均值的区间估计
总体均值的置信度为（1α-）的置信区间：
()()22x t x x t x αασμσ-≤≤+
即
2
2x t x t ααμ-≤≤+
2．比例估计
（1）样本比例的抽样平均误差
样本比例的抽样平均误差为：
重复抽样下： ()p σ=
上式中，p 应为总体比例，实际计算时通常用样本比例p 代替。

不重复抽样下： ()p σ=≈ （2）样本比例的抽样极限误差
()2P Z p ασ∆=
（3）总体比率的区间估计
总体比例P 的置信度为（1α-）的置信区间为：
P P p p p -∆≤≤+∆
即 ()()22p Z p p p Z p αασσ-≤≤+
3． 总体均值检验
（1） 单一总体均值检验
①正态总体（总体方差已知）或大样本均值检验
检验统计量Z 为： x Z
=
②正态总体（总体方差未知）小样本均值检验
检验统计量t 为：
x t
=
（2） 两个总体的均值检验
①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本
Z 检验统计量为：
-x x Z μμ--=
大样本下对两个总体均值进行检验时，在总体标准差未知的情况下，可用样本标准差代替总体标准差进行计算，检验统计量不变。

②两个正态总体均值检验（小样本）——两个总体方差未知但相等
T 检验统计量为：
-x x Z μμ--=
p s =
其中： ()
12
2
1
11111i n i s x x n ==--∑； ()
22
2
221
211i n i s x x n ==--∑
4． 总体比例检验
（1） 单一总体的比例检验
Z 检验统计量：
Z =
（2） 两个总体比例的检验
检验的统计量为：
Z =
其中：112212
ˆˆˆn p
n p p
n n +=+，ˆp
为当12p p =时1p 和2p 的联合估计值。

5． 总体方差假设检验
（1） 单一正态总体方差的假设检验
检验统计量为：
()22
2
1n s χσ-= 其中：(
)
2
2
1
1
i n
i x x
s n =-=
-∑为2σ的估计量。

（2） 两个正态总体的方差假设检验
检验统计量为： 22
12F s s =
其中： (
)
1
2
2
1
1
11
i n i x x
s n =-=
-∑； (
)
2
2
21
2
21
i n i x x
s n =-=
-∑。

公式三
1.单因素方差分析
设总体共分为k 种处理进行观察，第j 种处理试验了容量为j n 的样本。

（1） 计算各项离差平方和
在单因素方差分析中，需要计算的离差平方和有3个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平项离差平方和。

总离差平方和，用SST （Sum of Squares for Total ）代表：
()
2
11j
n k
ij i j SST x x ===-∑∑
式中：x 表示全部样本观测值的总均值。

其计算公式为：
ij
x
x n
=
∑∑
误差离差平方和，用SSE （Sum of Squares for Error ）代表：
()2
11j
n k
ij j i j SSE x x ===-∑∑
式中：j x 表示第j 种水平的样本均值，1
j
n ij
i j j
x
x n ==
∑
水平项离差平方和。

为了后面叙述方便，可以把单因素方差分析中的因素称为A 。

于是水平项离差平方和可以用SSA （Sum of Squares for Factor A ）表示。

SSA 的计算公式为： ()
2
11j
n k
j i j SSA x x ===-∑∑
（2） 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square ）。

对SST 来说，其自由度为（n-1）；对SSA 来说，其自由度为（r-1），这里r 表示水平的个数；对SSE 来说，其自由度为（n-r ）。

与离差平方和一样，SST 、SSA 、SSE 之间的自由度也存在着如下的关系：
n-1=（r-1）+（n-r ）
对于SSA ，其平均平方MSA （组间均方差）为： 1SSA
MSA r =
- 对于SSE ，其平均平方MSE （组内均方差）为： SSE
MSE n r
=
- （3） 检验统计量F MSA
F MSE
=
2．两因素方差分析
设两个因素A 、B 分别有k 个水平和n 个水平，共进行nk 次试验。

（1） 计算各项离差平方和
在两因素方差分析中，需要计算的离差平方和有4个，它们分别是总离差平方和，误差项离差平方和以及水平A 、B 项离差平方和。

总离差平方和，用SST （Sum of Squares for Total ）代表： ()
2
ij SST x x =-∑∑
式中：x 表示全部样本观察值的总均值，其计算公式为： 11
1n k
ij i j x x nk ===∑∑
水平项离差平方和可以分别用SSA （Sum of Squares for Factor A ）和SSB （Sum of Squares for Factor B ）表示。

SSA 的计算公式为： ()
2
11n
k
j i j SSA x x •===-∑∑
式中： 1
1n
j ij i x x n •==∑
SSB 的计算公式为： ()
2
11
n k
i i j SSB x x •===-∑∑
式中： 1
1k
i ij j x x k •==∑
误差离差平方和，用SSE （Sum of Squares for Error ）代表： ()
2
11n
k
ij i j i j SSE x x x x ••===--+∑∑
（2） 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square ）。

对SST 来说，其自由度为（nk-1）；对SSA 来说，其自由度为（k-1），这里k 表示水平A 的个数；对SSB 来说，其自由度为（n-1），这里n 表示水平B 的个数；对SSE 来说，其自由度为（n-1）（k-1）。

这样，把各项离差平方和除以各自的自由度，即得到平均的离差平方和，简称为均方：
1SSA MSA k =
- 1SSB
MSB n =- ()()
11SSE MSE k n =-- （3） 检验统计量F
()MSA F A MSE =
()MSB
F B MSE
= 公式四
1．拟合优度的检验统计量：
()
2
21k
i e i e
f f f χ=-=∑
式中：i f 表示类别i 的观察频数；e f 表示假设0H 为真时，类别i 的期望频数；k 表示类别总数。

注意：当所有种类的期望频数均大于或等于5时，检验统计量服从自由度为（k-1）的2χ分布。