2019-2020学年湖北省武汉市江岸区高一下学期期末数学试题解析
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A．2020B．2021C．2022D．2023
答案：B
先求出等差数列的公差，再由等差数列通项公式求解.
解：
设等差数列的公差为 ，
因为等差数列 中， ， ，
所以 ，
解得 ，
则 .
故选：B.
点评：
本题主要考查等差数列的基本量的计算，考查等差数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且 ，则
答案：（1） ，（2）若选①， ；若选②， .
（1）由 是 与 的等比中项可得 ，解出 即可；
（2）从①或②中选一个，首先计算出 ，然后可得数列 是等比数列，然后求出 即可.
解：
（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ， 是 与 的等比中项
所以 ，即 ，解得 或 （舍）
所以
（2）若选① ，则 ，所以 ， ，
选项C中，若 ，则 ，所以错误；
选项D中，如果 ，则 ，所以 ，所以可得 .
故选D.
点评：
本题考查基本不等式，对勾函数的性质，不等式的性质，判断命题是否正确，属于简单题.
3．已知 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
答案：D
求出向量 ， 的坐标，则 ，利用向量夹角公式计算即可.
解：
由已知得 ， ，
答案：（1） ；（2） ．
（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；
（2）解方程 ，由第二小的正数解 ，第三小的正数解大于 可得出 的范围．
解：
（1） ，
因为 ，所以 的值域是 ．
（2） ， ， ，显然 ， ， ，
因为方程在 上只有两个解，又 ，所以 ，解得 ．
解：
本题正确结果：
点评：
本题考查三角关系式的化简求值，属于基础题.
14．在等比数列 中，若公比q=4，且前3项之和Leabharlann Baidu于21，则该数列的通项公式 （）
答案：
利用等比数列求和公式列方程求出数列的首项，从而可得结果.
解：
因为公比q=4，且前3项之和等于21，
所以 ，
该数列的通项公式为 ，
故答案为
点评：
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.
则 ， .
则有 为 的最大值.故A，B，D正确；
故选：ABD.
点评：
本题考查等差数列的性质以及等差数列的前 项和性质，属于基础题．
11．下列结论正确的是（）
A．在 中，若 ，则
B．在锐角三角形 中，不等式 恒成立
C．在 中，若 ， ，则 为等腰直角三角形
D．在 中，若 ， ，三角形面积 ，则三角形外接圆半径为
答案：B
因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．
点睛：确定平面方法:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．
5．已知等差数列 的前n项的和为 ，且 ， ，则 （）
∴ .
故选：D.
点评：
本题主要考查平面向量的坐标运算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．下列命题中，正确的是( )
A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面
B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面
C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
解：
选项A，由平面向量数量积的运算律，可知A正确；
选项B， ，
∴ 与 垂直，即B错误；
选项C，∵ 与 不共线，
∴若 ，则 显然成立；
若 ，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得 .故C正确；
选项D， ，即D正确.
故选：ACD
点评：
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
10．设等差数列 的前n项和是 ，已知 ， ，正确的选项有（）
解：
解：对于A，当 时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分，
根据对称性知两部分完全相同，所以A正确；
对于B，取 ，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，所以B错误；
对于C，当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，
其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，
所以液面面积的最大值为 ，C正确；
答案：
求出一个正四面体的体积乘以2，即为所求六面体的体积；取该六面体的一半记为正四面体 ，取BC中点为D，连接SD，AD，作 平面ABC，垂足O在AD上，当六面体内的球体积最大时球心为O且该球与SD相切，过球心作 ，则OE就是球半径，求出OE代入球体体积计算公式即可得解.
解：
一个正三角形面积为 ，该六面体是由六个边长为 的正三角形构成的，所以，该六面体看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为 ，如图，
所以数列 是首项为2，公比为4的等比数列.
所以
若选② ，
则
因为 ，所以
所以
即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
故
点评：
本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情况.
18．已知函数 （ω＞0）.
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若方程f（x）＝ 在区间[0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围.
对于D，当液面过 时，截面为 ，将 绕 旋转 ，如图所示；
则 ，
当D、N、 三点共线时等号成立，所以液面周长最小值为 ，D错误.
故选：AC.
【点晴】
本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
三、填空题
13．若 ，则 的值等于______．
答案：6
利用二倍角公式展开后，约分得到结果.
A． ， B．
C． 与 均为 的最大值D．
答案：ABD
根据题意，等差数列 中，由 可得 ，由 可得 ，进而分析可得前7项为正数，从第8项开始为负数，则 ， ；据此分析选项即可得答案．
解：
解：根据题意，等差数列 的前n项和是 ，且 ， ，
则 ，即 ，
，即 ，则 ；
故等差数列 的前7项为正数，从第8项开始为负数，
所以该球体积的最大值为： .
故答案为：答题空1： ；答题空2： ；
点评：
本题考查多面体的体积、球体体积、球与多面体内切问题，属于中档题.
五、解答题
17．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且 ， 是 与 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）在① ；② 中选一个条件使数列 是等比数列，并说明理由，然后求出数列 的前 项和 .
8．如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知 ， ， ， ， ，则 的长为（）
A． B．5C． D．7
答案：A
在 中，由正弦定理求出 ，再根据诱导公式求出 ，最后在 中，由余弦定理计算可得；
解：
解：在 中，由正弦定理可得 ，即
所以 ，又因为 ，所以
在 中，由余弦定理可得
即
所以
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．一元二次不等式 的解集为（）.
A． B． C． D．
答案：A
根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.
解：
由 得 ，解得 .
故选A
点评：
本题主要考查解不含参数的一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.
2．下列命题中，正确的是（）
A． 的最小值是4B． 的最小值是2
C．如果 ， ，那么 D．如果 ，那么
答案：D
利用基本不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案.
解：
选项A中，若 ，则无最小值，所以错误；
选项B中， ，则函数 转化为函数 ，在 上单调递增，所以最小值为 ，所以错误；
15．在梯形 中， ， ， ， ，动点P和Q分别在线段 和 上，且 ， ，则 的最大值为______.
答案：
由题可知 ， ，据平面向量的混合运算法则可化简得到 ；设函数 ， ，由对勾函数的性质推出 在 上的单调性，求出最大值即可得解.
解：
根据题意，作出如下所示图形：
∵ ， ，∴ ，
又P和Q分别在线段 和 上，
答案：ABC
对选项A，利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A正确；对选项B，利用余弦定理 ，即可判断B正确，对选项C，首先根据余弦定理得到 ，利用正弦定理边化角公式得到 ，再化简即可判断选项C正确.对选项D，首先利用面积公式得到 ，利用余弦定理得到 ，再利用正弦定理 即可判断D错误.
解：
对选项A，在 中，由 ，
A． B． C． D．
答案：B
首先根据两点都在角的终边上，得到 ，利用 ，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得 ，从而得到 ，再结合 ，从而得到 ，从而确定选项.
解：
由 三点共线，从而得到 ，
因为 ，
解得 ，即 ，
所以 ，故选B.
点评：
该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
故A正确.
对选项B，若 ，则 ，
又因为 ，所以 为锐角，符合 为锐角三角形，故B正确.
对选项C， ，整理得： .
因为 ，所以 ，即 .
所以 ，即 ，
，
即 ，又 ，所以 .
故 ，则 为等腰直角三角形，故C正确.
对选项D， ，解得 .
，
所以 .
又因为 ， ，故D错误.
故选：ABC
点评：
本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.
12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（ ）的液体，旋转容器，下列说法正确的是（）
A．当 时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同
B．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状
C．液面可以是正六边形，其面积为
D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为
答案：AC
根据正方体的结构特征和截面性质，依次判断每个选项是否正确即可.
故选：A
点评：
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.
二、多选题
9．设 ， ， 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）
A．
B． 与 不垂直
C．
D．
答案：ACD
A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由 与 不共线，可分两类考虑：①若 ，则 显然成立；②若 ，由 、 、 构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
点评：
本题考查求正弦型函数的值域，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，考查三角方程的解，解题关键是由三角函数恒等变换化函数为 形式，然后利用正弦函数性质求解．
19．如图，P是圆锥的顶点， 是底面圆O的一条直径， 是一条半径.且 ，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为 的半圆面.
（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值.
7．如图，若 是长方体 被平面 截去几何体 后得到的几何体，其中E为线段 上异于 的点，F为线段 上异于 的点，且 ，则下列结论中不正确的是（）
A． B． C． 是棱柱D． 是棱台
答案：D
根据直线与平面平行的性质定理可知 ，则 ，从而 是棱柱，由两平行平面被第三个平面所截，所得的交线平行，可得 .
解：
∴ ，解得 .
.
设函数 ， ，
由对勾函数的性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
∵ ， ，
∴ ，即 的最大值为 .
故答案为： .
点评：
本题考查平面向量的应用，考查数量积的定义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．
四、双空题
16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____．
因为 ， ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ，故 ，
所以选项A、C正确，D错误；
因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ，故B正确.
故选：D.
点评：
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有棱柱的性质，棱柱的截面的特征，线面、面面平行的判定和性质，属于中档题目.
在棱长为 的正四面体 中，取BC中点为D，连接SD，AD，作 平面ABC，垂足O在AD上，则 ， ， ，则该正四面体的体积为 ，
该六面体的体积为两个正四面体的体积之和 ，
当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心作 ，则OE就是球半径，
因为 ，所以球半径 ，
答案：B
先求出等差数列的公差，再由等差数列通项公式求解.
解：
设等差数列的公差为 ，
因为等差数列 中， ， ，
所以 ，
解得 ，
则 .
故选：B.
点评：
本题主要考查等差数列的基本量的计算，考查等差数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且 ，则
答案：（1） ，（2）若选①， ；若选②， .
（1）由 是 与 的等比中项可得 ，解出 即可；
（2）从①或②中选一个，首先计算出 ，然后可得数列 是等比数列，然后求出 即可.
解：
（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ， 是 与 的等比中项
所以 ，即 ，解得 或 （舍）
所以
（2）若选① ，则 ，所以 ， ，
选项C中，若 ，则 ，所以错误；
选项D中，如果 ，则 ，所以 ，所以可得 .
故选D.
点评：
本题考查基本不等式，对勾函数的性质，不等式的性质，判断命题是否正确，属于简单题.
3．已知 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
答案：D
求出向量 ， 的坐标，则 ，利用向量夹角公式计算即可.
解：
由已知得 ， ，
答案：（1） ；（2） ．
（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；
（2）解方程 ，由第二小的正数解 ，第三小的正数解大于 可得出 的范围．
解：
（1） ，
因为 ，所以 的值域是 ．
（2） ， ， ，显然 ， ， ，
因为方程在 上只有两个解，又 ，所以 ，解得 ．
解：
本题正确结果：
点评：
本题考查三角关系式的化简求值，属于基础题.
14．在等比数列 中，若公比q=4，且前3项之和Leabharlann Baidu于21，则该数列的通项公式 （）
答案：
利用等比数列求和公式列方程求出数列的首项，从而可得结果.
解：
因为公比q=4，且前3项之和等于21，
所以 ，
该数列的通项公式为 ，
故答案为
点评：
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.
则 ， .
则有 为 的最大值.故A，B，D正确；
故选：ABD.
点评：
本题考查等差数列的性质以及等差数列的前 项和性质，属于基础题．
11．下列结论正确的是（）
A．在 中，若 ，则
B．在锐角三角形 中，不等式 恒成立
C．在 中，若 ， ，则 为等腰直角三角形
D．在 中，若 ， ，三角形面积 ，则三角形外接圆半径为
答案：B
因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．
点睛：确定平面方法:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．
5．已知等差数列 的前n项的和为 ，且 ， ，则 （）
∴ .
故选：D.
点评：
本题主要考查平面向量的坐标运算和向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．下列命题中，正确的是( )
A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面
B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面
C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
解：
选项A，由平面向量数量积的运算律，可知A正确；
选项B， ，
∴ 与 垂直，即B错误；
选项C，∵ 与 不共线，
∴若 ，则 显然成立；
若 ，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得 .故C正确；
选项D， ，即D正确.
故选：ACD
点评：
本小题主要考查向量运算，属于中档题.
10．设等差数列 的前n项和是 ，已知 ， ，正确的选项有（）
解：
解：对于A，当 时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分，
根据对称性知两部分完全相同，所以A正确；
对于B，取 ，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，所以B错误；
对于C，当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，
其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，
所以液面面积的最大值为 ，C正确；
答案：
求出一个正四面体的体积乘以2，即为所求六面体的体积；取该六面体的一半记为正四面体 ，取BC中点为D，连接SD，AD，作 平面ABC，垂足O在AD上，当六面体内的球体积最大时球心为O且该球与SD相切，过球心作 ，则OE就是球半径，求出OE代入球体体积计算公式即可得解.
解：
一个正三角形面积为 ，该六面体是由六个边长为 的正三角形构成的，所以，该六面体看成由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为 ，如图，
所以数列 是首项为2，公比为4的等比数列.
所以
若选② ，
则
因为 ，所以
所以
即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
故
点评：
本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情况.
18．已知函数 （ω＞0）.
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若方程f（x）＝ 在区间[0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围.
对于D，当液面过 时，截面为 ，将 绕 旋转 ，如图所示；
则 ，
当D、N、 三点共线时等号成立，所以液面周长最小值为 ，D错误.
故选：AC.
【点晴】
本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
三、填空题
13．若 ，则 的值等于______．
答案：6
利用二倍角公式展开后，约分得到结果.
A． ， B．
C． 与 均为 的最大值D．
答案：ABD
根据题意，等差数列 中，由 可得 ，由 可得 ，进而分析可得前7项为正数，从第8项开始为负数，则 ， ；据此分析选项即可得答案．
解：
解：根据题意，等差数列 的前n项和是 ，且 ， ，
则 ，即 ，
，即 ，则 ；
故等差数列 的前7项为正数，从第8项开始为负数，
所以该球体积的最大值为： .
故答案为：答题空1： ；答题空2： ；
点评：
本题考查多面体的体积、球体体积、球与多面体内切问题，属于中档题.
五、解答题
17．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且 ， 是 与 的等比中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）在① ；② 中选一个条件使数列 是等比数列，并说明理由，然后求出数列 的前 项和 .
8．如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知 ， ， ， ， ，则 的长为（）
A． B．5C． D．7
答案：A
在 中，由正弦定理求出 ，再根据诱导公式求出 ，最后在 中，由余弦定理计算可得；
解：
解：在 中，由正弦定理可得 ，即
所以 ，又因为 ，所以
在 中，由余弦定理可得
即
所以
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．一元二次不等式 的解集为（）.
A． B． C． D．
答案：A
根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.
解：
由 得 ，解得 .
故选A
点评：
本题主要考查解不含参数的一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.
2．下列命题中，正确的是（）
A． 的最小值是4B． 的最小值是2
C．如果 ， ，那么 D．如果 ，那么
答案：D
利用基本不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案.
解：
选项A中，若 ，则无最小值，所以错误；
选项B中， ，则函数 转化为函数 ，在 上单调递增，所以最小值为 ，所以错误；
15．在梯形 中， ， ， ， ，动点P和Q分别在线段 和 上，且 ， ，则 的最大值为______.
答案：
由题可知 ， ，据平面向量的混合运算法则可化简得到 ；设函数 ， ，由对勾函数的性质推出 在 上的单调性，求出最大值即可得解.
解：
根据题意，作出如下所示图形：
∵ ， ，∴ ，
又P和Q分别在线段 和 上，
答案：ABC
对选项A，利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A正确；对选项B，利用余弦定理 ，即可判断B正确，对选项C，首先根据余弦定理得到 ，利用正弦定理边化角公式得到 ，再化简即可判断选项C正确.对选项D，首先利用面积公式得到 ，利用余弦定理得到 ，再利用正弦定理 即可判断D错误.
解：
对选项A，在 中，由 ，
A． B． C． D．
答案：B
首先根据两点都在角的终边上，得到 ，利用 ，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得 ，从而得到 ，再结合 ，从而得到 ，从而确定选项.
解：
由 三点共线，从而得到 ，
因为 ，
解得 ，即 ，
所以 ，故选B.
点评：
该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.
故A正确.
对选项B，若 ，则 ，
又因为 ，所以 为锐角，符合 为锐角三角形，故B正确.
对选项C， ，整理得： .
因为 ，所以 ，即 .
所以 ，即 ，
，
即 ，又 ，所以 .
故 ，则 为等腰直角三角形，故C正确.
对选项D， ，解得 .
，
所以 .
又因为 ， ，故D错误.
故选：ABC
点评：
本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.
12．向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（ ）的液体，旋转容器，下列说法正确的是（）
A．当 时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同
B．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状
C．液面可以是正六边形，其面积为
D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为
答案：AC
根据正方体的结构特征和截面性质，依次判断每个选项是否正确即可.
故选：A
点评：
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.
二、多选题
9．设 ， ， 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）
A．
B． 与 不垂直
C．
D．
答案：ACD
A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由 与 不共线，可分两类考虑：①若 ，则 显然成立；②若 ，由 、 、 构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.
点评：
本题考查求正弦型函数的值域，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，考查三角方程的解，解题关键是由三角函数恒等变换化函数为 形式，然后利用正弦函数性质求解．
19．如图，P是圆锥的顶点， 是底面圆O的一条直径， 是一条半径.且 ，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为 的半圆面.
（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值.
7．如图，若 是长方体 被平面 截去几何体 后得到的几何体，其中E为线段 上异于 的点，F为线段 上异于 的点，且 ，则下列结论中不正确的是（）
A． B． C． 是棱柱D． 是棱台
答案：D
根据直线与平面平行的性质定理可知 ，则 ，从而 是棱柱，由两平行平面被第三个平面所截，所得的交线平行，可得 .
解：
∴ ，解得 .
.
设函数 ， ，
由对勾函数的性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
∵ ， ，
∴ ，即 的最大值为 .
故答案为： .
点评：
本题考查平面向量的应用，考查数量积的定义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．
四、双空题
16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____．
因为 ， ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ，故 ，
所以选项A、C正确，D错误；
因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ，故B正确.
故选：D.
点评：
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有棱柱的性质，棱柱的截面的特征，线面、面面平行的判定和性质，属于中档题目.
在棱长为 的正四面体 中，取BC中点为D，连接SD，AD，作 平面ABC，垂足O在AD上，则 ， ， ，则该正四面体的体积为 ，
该六面体的体积为两个正四面体的体积之和 ，
当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心作 ，则OE就是球半径，
因为 ，所以球半径 ，