线代课件§1向量的内积、长度及正交性
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(4) [ x, x] 0,且当 x 时有[ x, x] 0.
二、向量的长度及性质
1.定义2 令 x [ x, x] x12 x22 xn2 ,
称 x 为n维向量 x的长度或范数 . (norm)
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性 当 x 时, x 0;当 x 时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
2
1
9 8
8 9 1
9 9
4 9
4 9
4
9 4
.
9
7
9
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2
1 3 1 2 1
1 8
2
9 8
两两正交.
解 a2 ,a3应满足方程a1T x 0,即 x1 x2 x3 0.
它的基础解系为
1 0
1 0 , 2 1 .
1
1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a2 1,
a3
2
[ 1, 2] [ 1, 1]
1.
其中[1, 2] 1,[1,1] 2,于是得
1
0 1 1
2.单位向量及 n 维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
例
1, 3
1 , 3
1 3
,
1 ,0, 2
1 2
,0
2 将向量 单位化： 1 .
例 1,2,3,
1 1,2,3
14
3 当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 .
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
Rn )的一个基,如果e1,e2 , ,er两两正交且都是单位 向量,则称e1,e2 , ,er是V的一个规范正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
§1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换
一、内积的定义及性质
x1
1.定义1 设有 n维向量
x
x2 ,
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xn
y1
y
y2 ,
yn
称x, y为向量 x与 y的内积 . (Inner product)
2a b c 3d 0.
解之可得: x (2
2 ,0,
13 ,)
13 26 26
或
x (2 2 ,0, 1 , 3 ).
13 26 26
说明 1. nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2. 内积是向量的一种运算, 如果 x , y 都是 列向量 ,内积可用矩阵记号表示为 : [ x, y] xT y
2.内积的运算性质
其中 x , y , z 为 n 维向量 , 为实数 :
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
范正交化.
下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
(1) 正交化 , 取 b1 ，a1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
,
b3
a3
[b1 [b1
,a3 , b1
] ]
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
4、 正交单位向量组 每个向量都是单位向量的正交向量组.
5、 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,r是两两正交的非零向量组,则称1,2 ,
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２、正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
３、 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
(2)
单位化 ,
取 e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
7、 求规范正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
9
9 1
9
4 9
4 9
考察矩阵的第一列和第二列，
4
9 4
9
.
7
9
由于
1
1 2
1 2
1
1 3
1 2
0,
所以它不是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
9 9 9
由于
Байду номын сангаас
4 9
4 9
7 9
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1 9
8
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
6、 规范 (标准)正交基
定义 设n维向量 e1,e2 , ,er是向量空间 V (V
定义 若 P 为正交阵，则线性变换 y=P x称为正 交变换． 性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明 设 y Px 为正交变换 ,
则有 y yT y xT PT Px xT x x .
五、小结
1．将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将
其单位化． 2． A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 2
1,1,1,1
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
e2
b2 b2
1 0,2,1,3
14
0,
2 , 14
1 , 14
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
例 已知 1 1,1,1T ,求非零向量2 , 3使1, 2 , 3
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
1、正交的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
例如 (0,1,1,1)T 与 (8,1,2,1)T [ , ] 0 , 向量 与 正交 .
1 A1 AT ; 2 AAT E; 3 A的列向量是两两正交的单位向量;
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
思考题
求一单位向量，使它与
1 1,1,1,1, 2 1,1,1,1, 3 2,1,1,3
正交．
思考题解答
解 设所求向量为x (a, b, c, d ),则由题意可得 :
a2 b2 c2 d 2 1, a b c d 0, a b c d 0,
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
所以 e1 ,e2 ,e3 ,e4为R4的一个规范正交基.
同理可知
,
是
r
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
0 0
9 9
4 9
4 9
9 7 9
9 4
9
9 4
9
9 7
0
0
1
9
所以它是正交矩阵．
正交矩阵的性质：
(1) 设 A 为 正交矩阵, 则 AT , A1 亦为正交矩阵. (2) 设 A 为 正交矩阵 , 则 | A | 1 . (3) 设 A , B 为同阶正交矩阵, 则 AB 亦为 正交矩阵 . (4) A 为 正交矩阵 A的列(行)向量组是正交单位向量组 .
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若 n 阶方阵 A 满足 AT A E (即A1 AT ) , 则称 A 为正交矩阵.
定理 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都 是单位向量且两两正交．
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
二、向量的长度及性质
1.定义2 令 x [ x, x] x12 x22 xn2 ,
称 x 为n维向量 x的长度或范数 . (norm)
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性 当 x 时, x 0;当 x 时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
2
1
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8 9 1
9 9
4 9
4 9
4
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.
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例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2
1 3 1 2 1
1 8
2
9 8
两两正交.
解 a2 ,a3应满足方程a1T x 0,即 x1 x2 x3 0.
它的基础解系为
1 0
1 0 , 2 1 .
1
1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a2 1,
a3
2
[ 1, 2] [ 1, 1]
1.
其中[1, 2] 1,[1,1] 2,于是得
1
0 1 1
2.单位向量及 n 维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
例
1, 3
1 , 3
1 3
,
1 ,0, 2
1 2
,0
2 将向量 单位化： 1 .
例 1,2,3,
1 1,2,3
14
3 当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 .
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
Rn )的一个基,如果e1,e2 , ,er两两正交且都是单位 向量,则称e1,e2 , ,er是V的一个规范正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
§1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换
一、内积的定义及性质
x1
1.定义1 设有 n维向量
x
x2 ,
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn xn
y1
y
y2 ,
yn
称x, y为向量 x与 y的内积 . (Inner product)
2a b c 3d 0.
解之可得: x (2
2 ,0,
13 ,)
13 26 26
或
x (2 2 ,0, 1 , 3 ).
13 26 26
说明 1. nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2. 内积是向量的一种运算, 如果 x , y 都是 列向量 ,内积可用矩阵记号表示为 : [ x, y] xT y
2.内积的运算性质
其中 x , y , z 为 n 维向量 , 为实数 :
(1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
范正交化.
下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
(1) 正交化 , 取 b1 ，a1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
,
b3
a3
[b1 [b1
,a3 , b1
] ]
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
4、 正交单位向量组 每个向量都是单位向量的正交向量组.
5、 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,r是两两正交的非零向量组,则称1,2 ,
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２、正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
３、 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
(2)
单位化 ,
取 e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
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0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
7、 求规范正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
9
9 1
9
4 9
4 9
考察矩阵的第一列和第二列，
4
9 4
9
.
7
9
由于
1
1 2
1 2
1
1 3
1 2
0,
所以它不是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
9 9 9
由于
Байду номын сангаас
4 9
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7 9
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1 9
8
8 9 1
4
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T
1 0
0 1
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
6、 规范 (标准)正交基
定义 设n维向量 e1,e2 , ,er是向量空间 V (V
定义 若 P 为正交阵，则线性变换 y=P x称为正 交变换． 性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明 设 y Px 为正交变换 ,
则有 y yT y xT PT Px xT x x .
五、小结
1．将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将
其单位化． 2． A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 2
1,1,1,1
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
e2
b2 b2
1 0,2,1,3
14
0,
2 , 14
1 , 14
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
例 已知 1 1,1,1T ,求非零向量2 , 3使1, 2 , 3
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
1、正交的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
例如 (0,1,1,1)T 与 (8,1,2,1)T [ , ] 0 , 向量 与 正交 .
1 A1 AT ; 2 AAT E; 3 A的列向量是两两正交的单位向量;
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
思考题
求一单位向量，使它与
1 1,1,1,1, 2 1,1,1,1, 3 2,1,1,3
正交．
思考题解答
解 设所求向量为x (a, b, c, d ),则由题意可得 :
a2 b2 c2 d 2 1, a b c d 0, a b c d 0,
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
所以 e1 ,e2 ,e3 ,e4为R4的一个规范正交基.
同理可知
,
是
r
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 3 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
0 0
9 9
4 9
4 9
9 7 9
9 4
9
9 4
9
9 7
0
0
1
9
所以它是正交矩阵．
正交矩阵的性质：
(1) 设 A 为 正交矩阵, 则 AT , A1 亦为正交矩阵. (2) 设 A 为 正交矩阵 , 则 | A | 1 . (3) 设 A , B 为同阶正交矩阵, 则 AB 亦为 正交矩阵 . (4) A 为 正交矩阵 A的列(行)向量组是正交单位向量组 .
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若 n 阶方阵 A 满足 AT A E (即A1 AT ) , 则称 A 为正交矩阵.
定理 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都 是单位向量且两两正交．
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．