桥梁软件应用 有限元简介

i
o
ui
1、2、3、4、5、6
待定系数
j
典型三角形单元
uj
x
ui 1 2 xi 3 yi u j 1 2 x j 3 y j …………(2) um 1 2 xm 3 ym
vi 4 5 xi 6 yi v j 4 5 x j 6 y j …………(3) vm 4 5 xm 6 ym
把求解域划分成有限个四边形
对每一个单元通过插值的方法，用其节点上的位移建立该单元的 位移函数 每个单元都有与其对应的位移函数表达式 用全部单元域之和代替整个求解域，用全部单元的位移函数之和 代替满足整个求解域的位移函数
4
5
对单元进行力学特性分析，建立单元节点力与单元节点位移的关 系，并将结构的外载荷等效移植到节点上，再在节点上建立力的 平衡方程，求解后得到节点上的位移，继而得到各个单元的应力
对一个题目或一个实际工程问题进行有限元分析，大体上 分3个主要步骤
有限元建模
前处理 程 序 结 构
有限元求解
求解器
计算结果分 析与整理
后处理
2.3 有限元程序的结构简介
前处理 几何模型的建立 确定材料参数和载荷 定义约束条件 网格剖分
有 限 元 建 模
形成有限元分析所需用的有限元计算数据
可视化 有限元模型 前处理中，可以用图形显示所建立的几何模型、单元网格、约束条件等
F 按节点编号顺序形成的节点载荷列阵
6 处理边界条件、解算节点位移
按照实际位移边界条件，对式(2.1)进行整理，解之，可得 单元节点位移。
有了节点位移，即可根据单元特性分析中建立的关系式，求应力、应变、内力等。 后处理：对所选应力、应变等，以彩色云图或图表的形式显示计算结果。
2.3 有限元程序的结构简介
的计算精度、效率和收敛性。通常取为多项式形式
2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤
3 单元特性分析
（1）依照应变与位移之间的几何关系，根据所选择的单元位移函数，建立 单元应变与单元节点位移之间的关系式。据此式，在求出节点位移后，可 以求得单元应变。 （2）依照物理关系（胡克定律），建立单元应力与单元节点位移之间的关 系式。据此式，在求出节点位移后，可以求得单元应力。 （3）根据虚位移原理或最小势能原理，建立单元刚度方程，即单元节点力 与单元节点位移之间的关系式。此步骤核心是计算单元刚度矩阵。
ci x j xm c j xm xi cm ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ xi x j
返 回 P24
u 1 2 x 3 y …………(1) 将求得的 1、 2、3、 4、5、6 代入 v 4 5 x 6 y
ui
j
典型三角形单元
uj
x
单元内任意点(x,y)的位移
u、v
坐标x和y的函数
建立单元位移函数 通过插值方法建立，即用单元的节点位移来表示单元内任意点的 位移
2.4 算例
单元位移函数选用坐标x和y 的一次多项式
y
vm
m
vi
um
vj
u 1 2 x 3 y …………(1) v 4 5 x 6 y
2.4 算例
形函数的性质
1 在节点上形函数的值是
1 N i ( x j , y j ) ij 0
j i ji
(i, j , m) ……（6）
式（6）表示形函数Ni在其自身节点上的值等于1，在其他节点上 的值等于0，即
Ni ( xi , yi ) 1，Ni ( x j , y j ) 0，Ni ( xm , ym ) 0 N j ( xi , yi ) 0，N j ( x j , y j ) 1，N j ( xm , ym ) 0 N m ( xi , yi ) 0，N m ( x j , y j ) 0，N m ( xm , ym ) 1
1 A (bi c j b j ci ) 2
1.( x j ym xm y j ) ( 1).(xi ym xm yi ) 1.(xi y j x j yi ) x j ( ym yi ) xm ( yi y j ) xi ( y j ym ) b j x j bm xm bi xi b j x j b j xm b j xm bm xm bi xi bi xm bi xm b j ( x j xm ) bi ( xi xm ) (b j bm bi ) xm b j ci bi c j 0. xm bi c j b j ci
2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤
有限元法求解步骤
1 离散化
将结构（求解域）划分为有限个单元，让全部单元的集合与 原结构近似等价
划分单元时，二者在几何形体上越逼近越 好，特别是在位移和应力急剧变化的地方
2 选择单元位移函数 在有限元法中，需要用单元节点位移通过插值方法建立单元 位移函数（单元位移模式），即用单元节点位移来描述单元 位移。 单元位移函数的合理与否，直接关系到有限元分析
第二章 结构分析的有限元法
2.1 有限元法发展简况
1943 Courant 利用定义在三角形区 域上的分片连续函数 和最小位能原理 St.Venant扭转 问题的近似解
应用数学家、物 理学家、工程师
有限元法的研究 现代有限元法
第一次成功尝试
1960 Tumer、Clough
飞机结构 分析
第一次用三角形单元
各种非线性问题 多物理场耦合问题 多尺度问题 商品化有限元软件
平面应力问题解答
几何非线性：因几何 变形引起结构刚度改 变 材料非线性：弹性（ 超弹和多线性弹性） 、粘弹性、非弹性 状态非线性：接触问 题
提出了有限单 元法的名称
20世纪70年代国外
2.1 有限元法发展简况
固体力学 力学计算
学 科 应 用
2.3 有限元程序的结构简介
求解器
有限元程序的核心部分
主要完成有限元模型的力学计算，即根据前处理形成的有限元计 算数据，完成以下工作： 计算单元刚度矩阵 计算节点载荷 组装总体刚度矩阵 将载荷等效简化到节点上
形成总体有限元平衡方程
求解节点位移 计算应力、应变、内力等
2.3 有限元程序的结构简介
后处理
2.4 算例
单元位移函数表达式 u N i ui N j u j N mum …………(4) v N i vi N j v j N m vm 写成矩阵形式
u
e
u N i v 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
简写为
u
流体力学 传热学 电磁学
结构优化
计 算 功 能
计 算 技 术
纯粹数值 技术
前、后处理技术的 高度智能化和与 CAD的集成化
2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤
经典的解析法
从连续体的微分方程入手，寻求满足微分方程和定解条件的 适合全域的解析解，一旦得到解析解，就可知道域内任意点的解 大多数问题，特别是实际问题
很难甚至无法用解析法得到问题的解析解 寻 找
在整个求解域上满足控制方程 在边界上满足边界条件的场函数 很困难
有 限 元 模 型
单元 有限元法 节点
2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤
有限元法基本思路
抛 弃
以节点位移为未知量，通过 求解力的平衡方程获得节点 位移，然后按单元计算应力
1 2 3
寻找一个满足整个求解域的场函数的思路 单元
yi yj ym yi yj ym vi vj vm
1 ai vi a j v j amvm 2A
1 bi vi b j v j bmvm 2A 1 ci vi c j v j cmvm 2A
2.4 算例
ai x j ym xm y j a j xm yi xi ym am xi y j x j yi bi y j ym b j ym yi bm yi y j
1
xi
yi yj 2A ym
1
xi
yi yj 2A ym
D 1 xj 1 xm
D 1 xj 1 xm
ui 1 1 u j D um 1 1 2 1 D 1 1 1 3 1 D 1
xi xj xm ui uj um xi xj xm
2.4 算例
2 单元中任意一点上的各个形函数之和等于1，即 N i ( x, y ) N j ( x , y ) N m ( x , y ) 1
Ni , N j , N m
是单元形状函数，简称形函数
ai , bi , ci ,……，cm
是常数，取决于单元的三个节点坐标
2.4 算例
三角形单元的面积A
1 xi yi yj 2A ym D 1 xj 1 xm A
1 1 1 D 1.( x j ym xm y j ) (1).( xi ym xm yi ) 1.( xi y j x j yi ) (ai a j am ) 2 2 2
可视化的方式分析、观察计算结果
根据计算者的要求对计算结果进行检查、分析、整理、打印输出等 进行数据检索
响应量合成
绘制变形图、应力图、应变图、曲线图等
计算者进行有限元分析的工作量主要体 现在前处理和后处理方面
2.4 算例
2.4.1 平面三角形常应变单元
1. 单元位移函数
y
vm
m
vi
um
vj
i
o 任意区域三角形单元网 格剖分示意图
4 外载荷处理
将外载荷（体力、面力等）等效移植到节点上。
2.2 有限元法的基本思路及其求解步骤
5 建立节点上的力平衡方程
按照有限元法的统一格式，形成如下形式的以节点位移为未知量的 代数方程组 (2.1) K F
K 由各个单元的刚度矩阵组装成的总体刚度矩阵
待求的节点位移列阵
e
e
N
e
ui v i 0 u j N m v j u m vm
返回P28
其中， u 表示单元内任意点处位移的单元位移函数列阵
Ni N 0 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0 0 为形函数矩阵 Nm
未知量 1、 2、3、 4、5、6
求解(2)(3)得到 1、 2、3、 4、5、6
2.4 算例
ui 1 2 xi 3 yi u j 1 2 x j 3 y j …………(2) um 1 2 xm 3 ym vi 4 5 xi 6 yi v j 4 5 x j 6 y j …………(3) vm 4 5 xm 6 ym
1 yj aiui a ju j amum 2A ym 1 yj biui b ju j bmum 2A ym ui uj um 1 ciui c ju j cmum 2A yi
yi
vi xi 1 4 D v j x j vm xm 1 vi 1 5 1 v j D 1 vm 1 xi 1 6 1 x j D 1 xm
得到用单元的节点位移表示的单元位移函数 u N i ui N j u j N mum …………(4) v N i vi N j v j N m vm
1 Ni ai bi x ci y 2A 1 a j b j x c j y ……（5） 式中 N j 2A 1 Nm am bm x cm y 2A