电路网络的状态方程

x1 0 x2 + 1
f
x1=y
dx1 dt
=x2
x2=
dy dt
dx2 dt
=
–qx1
–px2+f
y=[1
0]
x1 x2
+ 0• f
X• =AX+BF
Y=CX+DF
X• =AX+BF
Y=CX+DF
方程的特点
问题：1）方程中的x代表电路中的哪些变量？
2）怎样列写这样的一阶微分方程组？
17.1.1 状态与状态变量 状态的一般概念 系统中一组变量的数据 X(t)=[x1(t) x2(t) ···xn(t)]T
例3
R1
+
+
i’
uS
i
L
u1
C1
+ u2
R2
C2 iC2
gmu1
i
R1 L
d dt
u1
=
1 C1
1
L1
gm C1
1 R2C1
0
1 R2C1
i u1
1 L1
+ 0 eS
u2
0
1 R2C2
+
gm C2
1 R2C2
u2
0
例4
guC
R1 L iL
+
+
R2
uS
uC C
i
iS
R3
duc dt
=
1 C
(iL i )
17-2 状态方程的列写
例题
i1
例1 + eS
R1
L1
L2 i2
+
C uC
R2
(1) 选取常态树和状态变量（uC， i1，i2）
(2) 对每一个由电容树支决定的基本割集，写出KCL方程
C
duc dt
=
i1
i2
duc dt
=
1 C
i1
1 C
i2
(3) 对每一个由电感连支决定的基本回路，写出KVL方程
17.1.2 常态网络与非常态网络
常态网络：既无纯电容回路，又无纯电感割集的网络（P405） 常态网络中所有的电容电压和电感电流，均应被选作状态变量。
17.1.3 状态方程与输出方程
概念：联系输入与状态变量的一阶微分方程组
X• =AX+BF
方程的特点： • 左边为状态变量的一阶导数，且每 个标量方程只含一个一阶导数项
角频率为何值？
R2 M
C
duc dt
=
1 C
(
uc
R1
i1
ucku1 )
R2
+ uc
**
L
L
R11 i1
2
+
u1
+
ku1
di1 dt
=
1 L1
uC
u1=
M L1
uC
d dt
uC i1
=
1 R1C
1 R2C
+Leabharlann Baidu
kM L1R2C
1
L1
1 C
0
uC i1
d dt
uC i1
=
1 R1C
1 R2C
+
kM L1R2C
引言
动态网络的时域分析与复频率分析 主题：建立联系输出(响应)—输入(激励)关系的方程 电容电压和电感电流在动态网络分析中的特殊地位 状态的初步概念
状态变量分析法 借助于一组辅助变量(状态变量)，建立联系状态变量
-输入的方程(状态方程) 状态变量； 输入-状态变量-输出三者关系的方程(输出方程) 输出
17.3.1 解析法解法 复频域解法 X(S)= (s)X(0)+ (s)BF(s)
由输出方程 Y=CX+DF Y(S)= C(s)X(0)+ [C(s)B+D]F(s) 零输入响应 零状态响应 C(s)B+D=H(S) 转移函数矩阵
Y(t)= £1 [C(s)X(0)]+ £1 [H(s)F(s)] 例1 对图示电路,列出状态方程,并求解。
R3R4 )
R3+R4
a34=
1 L1
(R5+
R3R4 )
R3+R4
a43=
1 L2
(R5+
RR33+RR44)
a44=
1 L2
(R2+R5+
RR33+RR44)
u1
0
u2 i1 +
0
R4 L1(R3+R4)
eS
i2
R4 L2(R3+R4)
例3
R1
+
+
i’
uS
i
L
u1
C1
+ u2
R2
C2 iC2
1-2 状态方程的列写
例题
duc dt
=
1 C
i1
1 C
i2
(3) 对每一个由电感连支决定的基本回路，写出KVL方程
i1
例1 + eS
R1
L1
L2 i2
+
C uC
R2
L1
di1 dt
=uc R1 i1 e S
L2
di1 dt
=uc R2 i2
di1 dt
=
uc L1
R1
L1
i1
1L1eS
di2 dt
系统中一组变量的数据 X(t)=[x1(t) x2(t) ···xn(t)]T 1）对任一时间t1，由t1时的这组数据X(t1)和从t1开始 的输入，能唯一确定任一t>t1时的数据X(t)； 2）t时刻的这组数据连同t时刻的输入(有时可能为输入 的某个导数)能唯一确定系统中任一变量在t时刻的值。 电网络中的状态变量： 一组独立的电容电压uC(或电荷) 和独立的电感电流iL(或磁链)
i2)
M di1 dt
+
L2
di2 dt
=R2(i1 i2) R3i2
d dt
i1 i2
=
1 L1L2M2
(R1+R2)L2MR2 (R1+R2)M +L1R2
R2L2+(R2+R3)M i1
L2
(R2+R3)L1MR2
i2
+
M
uS
讨论： 若 L1L2 M2=0 （全耦合） 则 det L=0，L1不存在，i1、i2线性相关。
i1
+
1 L1
eS
i2
0
例2
+ eS
R3 i3
i1
i2
L1
L2
u+1
R1 C1
R2
C2
u+5
u+2
R5
u+4 R4
(1) 选取常态树和状态变量
(2)
du1 dt
=
i1
C1
du2 dt
=
i1
C2
+
i2
C2
di1 dt
=
L11(u4u5u2u1R1 i1)
di2 dt
=
1 L2
(u4u5u2R2
i2)
gmu1
(1) 选取常态树和状态变量（u1， u2 ， i）
(2)对每一个由电感连支决定的基本回路，写出KVL方程
Ldi dt
u1iR1us
(3)对每一个由电容树支决定的基本割集，写出KCL方程
C 1 d d u t 1 i i',C 2 d d u t 2 i',i' u 1 R 2 u 2 g m u 1
状态变量的数目 = 动态元件的数目 常态树的概念
树包含所有电容支路，而不含任何电感支路。
17-2-1 状态方程的分析
对LTI网络，选择电容电压和电感电流作为状态变量
17.2.1 状态方程的分析
duc dt
C
duc dt
=
ic
建立包含电容支路的KCL方程
diL dt
L
diL dt
=
uL
建立包含电感支路的KVL方程
• 右边为状态变量与输入的线性组合， 除输入外不含任何非状态变量
例
iL +
3 4H
uC
1 12
F
1 12
duC dt
=
uC 3
iL
4
diL dt
= uC
d dt
uC iL
4 =1
4
12 0
uC iL
17.1.3 状态方程与输出方程
X• =AX+BF
输出方程： 以状态变量和输入表示输出的代数方程
Y=CX+DF
(3)消去除输入外的非状态变量
消去除输入外的非状态变量，就是用 状态变量和输入去表示那些非状态变量。
u5=R5(i1+i2)
将电容元件用电压源代替，电感元 件用电流源代替
u4=
R3R+4R4es
R3R4 R3+R4
(
i1+i2)
+ eS
i1+ i2 R3
i3
+
u4 R4
u1
0
0
1 C1
0
u2 d
=
uc L2
R1
L2
i2
1-2 状态方程的列写
例题
i1
例1 + eS
R1
L1 C
L2 i2
+
uC
duc dt
=
1 C
i1
1 C
i2
R2
di1 dt
=
uc L1
R1
L1
i1
1L1eS
di2 dt
=
uc L2
R1
L2
i2
uC 0
d dt
i1
=
1 L1
i2
1 L2
1 C
1 C
R1 L1
0
0
R2 L2
uC 0
特点：（1）状态方程是一组一阶微分方程，输出方程是 一组代数方程，便于计算机辅助求解；
（2）容易推广到非线性和时变网络。 （3）可用于分析系统的稳定性和可控性
17-1 概述
n阶微分方程 变量代换 含n个方程的一阶微分方程组
d2y dy dt2 +p dt +qy =f
d dt
x1 x2
=
0 –q
1 –p
0
0
11 C2 C2
dt
i1
=
1 L1
1 L1
a33
a34
i2
0
1 L2
a43
a44
u1
0
u2 i1 +
0
R4 L1(R3+R4)
eS
i2
R4 L2(R3+R4)
u1
0
0
1 C1
0
u2 d
0
0
11 C2 C2
dt
i1
=
1 L1
1 L1
a33
a34
i2
0
1 L2
a43
a44
a33=
1 L1
(R1+R5+
X(t)= x1(t) x2(t)
状态空间:由状态变量为基底构成的空间 x2
(t=t1)
状态矢量 状态轨迹 状态矢量末端的轨迹
(t=t2)
0
x1
例 如图，uC(0)=1V,iL(0)=1A求零输入响应的状态轨迹。
iL +
3 4H
uC
1 12
F
uC(t)
=
13 2
et
+
15 2
e3t
iL(t)
13 8
1
L1
1 C
0
uC i1
S+ R11C+ R12C
kM L1R2C
1 L1
1
C =0
S
S2 +( R11C+
1 R2C
kM L1R2C
)S
+
1 L1C
=0
产生正弦振荡的条件： 振荡角频率: = 1
L1C
R11C+
R12C
kM L1R2C
=0
k=
L1(R1+R2) R1M
17.4 状态空间与状态轨迹
第17章 网络的状态方程 17.1 概述 17.1.1网络的状态方程和状态变量 17.1.2 常态网络与非常态网络 17.1.3状态方程与输出方程 17.2 状态方程的建立 17.3 状态方程的复频域解法 17.3.1状态方程的复频域解 17.3.2 转移函数矩阵 17.4 状态空间与状态轨迹
第17章 网络的状态变量分析法
S 12 1 4 (S+4)
(S+1)(S+3)
UC(s)
S
IL(s)
=
1 (S+1)(S+3)
1
4
12 1
S 12 (S+1)(S+3)
= S+17/4
(S+4) 1
(S+1)(S+3)
UC(s)
S
IL(s)
=
1 (S+1)(S+3)
1
4
12 1
S 12 (S+1)(S+3)
= S+17/4
(S+4) 1
17-3 状态方程的求解
17.3.1 解析解法
解析解法
时域的解法
复频域解法
幂级数法 矩阵函数的有限项表示法 对角线化变换矩阵法
X• =AX+BF £
(S1A)X(s)=X(0)+BF(s)
令 (S)=(S1A) 1 状态方程的预解矩阵
则 X(S)= (s)X(0)+ (s)BF(s)
det(S1A) 矩阵A的特征多项式 方程 det(S1A)=0 的根称为矩阵A的特征值,
• 只有将KCL应用于割集才能最大限度得到满足，只要使 所选取的每个割集仅含一个电容支路（单电容割集）；
从方程的右边考虑，所选取的每个割集应尽可能多地 包含电感元件的支路。
• 所选取的每个回路只含一条电感元件的支路（单电感 回路）；另外回路应尽可能多地包含电容支路。
电容为树支，电感为连支，电压源为树支，电流源为连支； 即树包含所有电容和电压源，不含电感和电流源；这样的树 称为常态树
diL dt
=
1 L
(uC
R1iL+
uS)
1
i = R2+R3 (uC R3iS+R2guC)
uC d
1+gR2 (R2+R3)C
1 C
uC
0
dt
iL
=1
L
R1 L
iL
+
1 L
R3
uS
(R2+R3)C
0
iS
例5
M
R1 *
i1
L1
*
i2
L2
+
uS
R2
R3
L1 ddit1
+
M
di2 dt
=
R1i1+uSR2(i1
iL +
3 4H
uC
1 12
F
uc(0) iL(0)
=
1 1
d uC
4 12 uC
dt
iL
=
1 4
0
iL
iL +
3 4H
uC
1 12
F
(S+4) 12
(S1A)=
-
1 4
S
det(S1A)=S(S+4)+3=(S+1)(S+3)
uc(0) iL(0)
=
1 1
特征多项式的零点
(s)=(S1A)1 =
et
-
5 8
e3t
uc
iL
1
0
t
1
t
0
例 如图，uC(0)=1V,iL(0)=1A求零输入响应的状态轨迹。
uc
1
0
uc
1 t=0
t
t=
01
iL
1
2
iL +
0
iL
3 4H
uC
1 12
F
uC(t)
=
13 2
et
+
15 2
e3t
iL(t)
13 8
et -
5 8
e3t
t
例+
us
iL +
–
4H
uC
3
iC
1 12
F
iC=
[
1 3
-1]
uC iL
+
1 3
us
本章要解决的主要问题 状态方程的列写
17-2 状态方程的列写
讨论对象： 常态网络 —不含非独立动态元件的网络
17-2 状态方程的列写
不含下列情况之一 (1)仅由电容元件构成的回路(全电容电路)； (2)仅由电感元件构成的割集(全电感割集)； (3)仅由电压源与电容构成的回路； (4)仅由电流源和电感元件构成的割集；
(S+1)(S+3)
uC(t) iL(t)
= £1
UC(s)
13 2
et +
15 2
e3t
=
IL(s)
13 8
et
5 8
e3t
讨论：关于网络的固有频率和网络函数的极点
(S)=(S1A) 1 =
(S1A)的伴随矩阵 det(S1A)
t 0
Sl A0 的根就是网络的固有频率，决定了网络零输入的形式
例2图示电路为一LC振荡电路，耦合电感的付线圈开路， （1）试写出该电路的状态方程（矩阵形式）； （2）欲使此电路产生正弦振荡，K应满足什么条件，振荡