自主学习自主探索的教学案例

自主学习自主探索的教学案例

——完全平方公式的新型教学模式北京市陈经纶中学分校刘新

自主学习自主探索的教学案例

——完全平方公式的新型教学模式学生在刚开始学习完全平方公式时，对其结构特征往往理解不深刻，运用时总出错，常见错误有两种：（1）漏掉2ab项；（2）对应不准公式中的a和b．针对历届学生总出现的这两个问题，我经过长时间反思总结，与许多老教师探讨交流，在新课程理念的指引下，尝试新的教学模式，引导学生自主发现，自主探索，终于有所突破．

首先，我把授课名称确定为“多项式乘法3”，突出“完全平方公式”是“多项式乘以多项式”的特殊形式．

[活动1] 类比回忆，发现新知

师：前两节课我们一直在探究多项式乘法的问题，以二项式为代表，首先我们探究的是这种(a+b)(m+n)一般情形的二项式乘以二项式，它等于什么?

生：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．

师：好！因为这两个二项式的两项均不相同，所以只能用一个二项式的每一项去乘另一个二项式的每一项，结果为四项．

接下来我们探究了这种(x+p)(x+q)特殊形式的二项式乘法，它等于什么?

生：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq ．

师：非常好!这两个二项式中有一项相同，另一项为不同的常数项，结果由四项合并为三项，直接运用这个结果简化了运算．

上节课我们又探究了一种特殊的二项式乘法，是什么形式的？

生：平方差公式！

师：字母表示怎样写？

生：(a+b)(a-b)=a2-b2．

师：好！这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数，结果由四项合并

为了两项，直接运用也简化了运算．

今天我们继续探究特殊情形的二项式乘法，大家看等式左边的两个二项式还有其他特殊形式吗？

生：两项都相同的！

(a+b)(a+b)；(a-b)(a-b)的形式！（副板书）

师：既然两项都相同，可不可以写成更简单的形式？

生：平方的形式．

师：好！依据幂的意义写成(a+b)²和(a-b)²的形式，它等于什么呢？

学生通过这样的类比回忆，自主提出本节课的探索课题，而不是由老师直接告诉学生本节课学习哪个公式．学生通过与前面探索的几个公式的类比，自主发现新知，自然清晰的明确了完全平方公式等号左边的结构特征．

[活动2] 引导实践，探究新知

师：大家动笔推算一下！谁愿意到黑板上试试？（提醒学生写详细推算过程）生：(a+b)²=(a+b)(a+b)= a²+ab+ab+b²= a²+2ab+b².

(a-b)²=(a-b)(a-b)= a²-ab-ab+b²= a²-2ab+b².

师：第一步变形依据幂的意义；

第二步依据什么？（多项式乘法法则）；

第三步依据什么？（合并同类项）结果由四项合并为三项．学生自主完成了公式的代数推导，并回答了推导依据，这是我第一次强化完全平方公式的等号右边是三项，不是两项！

师：前面我们探究过的二项式乘法都可以用面积来解释，大家思考一下，这第一种形式怎样用面积来解释呢？（停顿几秒钟）画一画！

学生自主探索，我巡视指导，因为前几节课学生已经经历了用面积来解释公式的过程，几分钟后，有一半以上的学生就画出了类似下图的形式，我请一名同

学拿着自己探索画出的图形，到讲台上用投影给全体同学解释，这样大部分学生能明白“和的平方”公式的面积解释．还有个别同学一头雾水，我又用PPT动画逐步推进演示(a+b)² = a²+2ab+b²的面积解释，用a和b表示两条短线段，a²、b²就表示两个小正方形的面积；而(a+b)表示长线段，(a+b)²就表示大正方形的.

面积

生：不等！

师追问：为什么不等？

学生思考并举手，我请一名同学到讲台用教鞭指着屏幕解释(a+b)²与a²＋b²为什么不等，学生解释得很好．

师：边长为(a+b)的大正方形由四部分组成，除了a²、b²这两个小正方形，还包含两个一样的长方形，所以一定要注意(a+b)²的结果中不仅包含了a²+b²，还不能忘记＋2ab；而(a-b)²的结果不仅包含了a²＋b²，也不能忘记-2ab.

由于课上时间有限，第二个等式的面积解释作为当天的思考作业，也让学生注意体会 (a-b)²为什么也不能少了-2ab项．

这是我第二次强化2ab项，用动画演示更直观清晰，深化感知数形结合思想，这是一个特别的强信号！

接下来让学生自己尝试着依据等式的结构特征为这两个公式起名字，我引导归纳，确定“完全平方公式”这个名称，并用文字语言阐述其结构特征？我给出“首方加尾方，首尾两倍不能忘！”的口诀．这是我第三次强化2ab项，口诀形式生动有趣．

通过前面两个活动，学生体验了科学研究的过程，自行发现了完全平方公式，分别用代数和几何的角度论证了完全平方公式，接着归纳总结了完全平方公式的

结构特征，并用文字表述，自己又为公式起名字，理解完全平方公式的同时，应用了科学研究的方法，激发学生学习的兴趣，培养学生的自学能力、口头表达能力和逻辑思维能力，调动学生的学习积极性，培养他们主动学习和探索学习的精神．

下面的活动3更是我精心设计的环节，学生自创题目，用数、字母、式子整体代换公式左边的a和b，然后运用公式自己解决自创的题目．

[活动3] 代换演练，运用新知

师：大家知道数学公式其实就是数学模型，这里的a和b可以代表什么?

生：可以代表数，一个字母，代表单项式和多项式…

师：好！同上节课类似，咱们又要进行有趣的代换演练了，把公式左边的a、b代换成你想要的形式，写在练习本上，看谁自创的题目好！然后我来征集，大家再集中解决这些问题．

学生已经经历过多项式乘法和平方差公式的代换演练，比较熟练的自创了许多能运用完全平方公式解决的题目，写到了练习本上，全班同学的练习本形成一个大题库，就等着我分类调用了，然后我分类征集：

第一类：把a、b都代换成数的：

学生举出了(3-2)²的例子，我从特殊值角度验证公式的正确性.

(3-2)²= 3²-2×3×2+2²=9-12+4=1.

如果没有-2×3×2,也就是少了-2ab项, 行不行？明显等式不成立．

这是我第四次强化2ab项，特殊值角度，学生具体感知2ab．第二类：把a、b代换成单独一个数或一个字母的：（四小类）

（1）a、b都是正的；

（2）a、b先正后负；

（3）a、b先负后正；

（4）a、b都是负的．

我分类板书，多种做法比较，解决每个题目时都引导思考是用“和的平方”方便，还是“差的平方”方便？解决每道题目前都先这样问：这个例子中谁是公