线性系统的能控性和能观性
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5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义 1. 稳定和一致稳定 定义: 对于系统 x f (x,t)，若对任意给定的实数
>0，都对应存在另一个实数(, t0)>0，使得一切满 足‖x0xe‖ ( , t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在
所有时间内都满足
‖x xe‖ （t t0） 则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t0无关，则称平
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2. 线性时变系统 对于线性时变系统，由于矩阵A(t)不再是常数阵，
故不能应用特征值来判断稳定性，需用状态解或状态
而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方 程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量 函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函 数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又 称为直接法。
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5.1 李雅普诺夫稳定性定义
稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系 统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系 统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于通常 只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系 统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定 性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同 的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡 状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义， 然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。
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x x12 x22 xn2 ( xT x) 2
向量（x xe）范数可写成
x xe (x1 xe1 )2 (xn xen )2
通常又将‖x xe‖称为x与 xe的距离。当向量（x xe） 的范数限定在某一范围之内时，则记为
‖x xe‖ > 0 几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半 径的一个球域，记为S( )。
x1 x1 x2 x1x2 x23
x1 0
x1
x2
x23Hale Waihona Puke Baidu
0
解得
x1 x2
0 0,1,1
因此该系统有三个平衡状态
0
0
xe1 0
xe2
1
由于存在坐标变换， 今后只取坐标原点作 为系统的平衡点。
0 xe3 1
8
5.1.2 范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称 为向量x的范数，用‖x‖表示，则
现代控制理论
第5章 控制系统的李雅普诺夫 稳定性分析
5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
2
一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证 系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系 统分析的首要任务。
值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳 定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、 线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。
1. 线性定常系统 定理5-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A 的特征值均具有负实部，即
Re(i) < 0（ i = 1，2，…，n）
显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全 相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定。
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5.1.1 平衡状态 由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u = 0。
此时设系统的状态方程为
x f ( x, t), x Rn
初始状态为x(t0) = x0。对于上述系统，若对所有的t， 状态x满足 x 0，则称该状态x为平衡状态，记为xe。 故有
f（xe，t）= 0 由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
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4. 不稳定 定义: 如果对于某个实数ε > 0和任一实数δ > 0， 不管这两个实数有多么小，在球域S(δ)内总存在一个 初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将 超出球域S(ε)，则称该平衡状态是不稳定的。
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5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.2.1 李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征
lim
t
x xe
则称平衡状态xe是渐近稳定的。
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x2
S( )
x0 xe x
S( )
x1
经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。
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3.大范围渐近稳定
定义: 如果系统 x f (x,t)对整个状态空间中的任 意初始状态x0的每一个解，当t→时，都收敛于xe， 则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。
1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在 “运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李 雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性 理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法， 分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。
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李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与 分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接 法。
显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都 要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这 也是大范围渐近稳定的必要条件。对于线性定常系统， 当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe = 0。 所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围 渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多 个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近 稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范 围渐近稳定的。
衡状态xe是一致稳定的。
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x2
S( )
x
x0 xe
S( )
x1
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2. 渐近稳定 定义: 对于系统 x f (x,t) ，若对任意给定的
实数 >0，总存在 (, t0)>0，使得‖x0xe‖ ( , t0)
的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都 满足
‖x xe‖ （t t0）
且对于任意小量μ >0，总有
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对于线性定常系统，其状态方程为
x Ax
系统的平衡状态应满足Axe = 0。 当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态 xe = 0。 当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。
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对于非线性系统，方程f( xe，t) = 0的解可能 有多个，即可能有多个平衡状态。如
5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义 1. 稳定和一致稳定 定义: 对于系统 x f (x,t)，若对任意给定的实数
>0，都对应存在另一个实数(, t0)>0，使得一切满 足‖x0xe‖ ( , t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在
所有时间内都满足
‖x xe‖ （t t0） 则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t0无关，则称平
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2. 线性时变系统 对于线性时变系统，由于矩阵A(t)不再是常数阵，
故不能应用特征值来判断稳定性，需用状态解或状态
而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方 程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量 函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函 数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又 称为直接法。
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5.1 李雅普诺夫稳定性定义
稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系 统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系 统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于通常 只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系 统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定 性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同 的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡 状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义， 然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。
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x x12 x22 xn2 ( xT x) 2
向量（x xe）范数可写成
x xe (x1 xe1 )2 (xn xen )2
通常又将‖x xe‖称为x与 xe的距离。当向量（x xe） 的范数限定在某一范围之内时，则记为
‖x xe‖ > 0 几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半 径的一个球域，记为S( )。
x1 x1 x2 x1x2 x23
x1 0
x1
x2
x23Hale Waihona Puke Baidu
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解得
x1 x2
0 0,1,1
因此该系统有三个平衡状态
0
0
xe1 0
xe2
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由于存在坐标变换， 今后只取坐标原点作 为系统的平衡点。
0 xe3 1
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5.1.2 范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称 为向量x的范数，用‖x‖表示，则
现代控制理论
第5章 控制系统的李雅普诺夫 稳定性分析
5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
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一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证 系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系 统分析的首要任务。
值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳 定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、 线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。
1. 线性定常系统 定理5-1 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A 的特征值均具有负实部，即
Re(i) < 0（ i = 1，2，…，n）
显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全 相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定。
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5.1.1 平衡状态 由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u = 0。
此时设系统的状态方程为
x f ( x, t), x Rn
初始状态为x(t0) = x0。对于上述系统，若对所有的t， 状态x满足 x 0，则称该状态x为平衡状态，记为xe。 故有
f（xe，t）= 0 由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
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4. 不稳定 定义: 如果对于某个实数ε > 0和任一实数δ > 0， 不管这两个实数有多么小，在球域S(δ)内总存在一个 初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将 超出球域S(ε)，则称该平衡状态是不稳定的。
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5.2 李雅普诺夫稳定性理论
5.2.1 李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征
lim
t
x xe
则称平衡状态xe是渐近稳定的。
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x2
S( )
x0 xe x
S( )
x1
经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。
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3.大范围渐近稳定
定义: 如果系统 x f (x,t)对整个状态空间中的任 意初始状态x0的每一个解，当t→时，都收敛于xe， 则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。
1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在 “运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李 雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性 理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法， 分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。
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李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与 分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接 法。
显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都 要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这 也是大范围渐近稳定的必要条件。对于线性定常系统， 当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe = 0。 所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围 渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多 个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近 稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范 围渐近稳定的。
衡状态xe是一致稳定的。
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x2
S( )
x
x0 xe
S( )
x1
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2. 渐近稳定 定义: 对于系统 x f (x,t) ，若对任意给定的
实数 >0，总存在 (, t0)>0，使得‖x0xe‖ ( , t0)
的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都 满足
‖x xe‖ （t t0）
且对于任意小量μ >0，总有
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对于线性定常系统，其状态方程为
x Ax
系统的平衡状态应满足Axe = 0。 当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态 xe = 0。 当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。
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对于非线性系统，方程f( xe，t) = 0的解可能 有多个，即可能有多个平衡状态。如