空间向量在立体几何中的应用

1
,
4
14，1
1
,
D
O
Cy
uuuur DF1
uuuur BE1
uDuFu(u0r13, )140对，0向1量u(14u0计uur,0算14u,uu0或ur1)证1 0明,111654。1,5，| uB1uEuur1.
|
cos
uuuur BE1
,
uuuur DF1
|
uuBuEur1 BE1 |
解：设正方体的棱长为 1，分别以 DA 、DC 、DD1 D1 F1
C1
为单位正(2交)基把底点建、立向空间量直坐角标坐化标，系Oxyz ，则 A1
E1 B1
B(1,
uuuur BE1
1,
0),
1
E1
1,
3 4
,
,
3 4
,
1
1 (1
, ,
D(0, 0, 1 , 0)
0),
0
F1 ,
0,
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
【课堂小结】
今天你学到了什么呢？ 1.基本知识：
（1）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标 表示；
（2）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定 的坐标表示。 2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题
(1) 建立直角坐标系， (2)把点、向量坐标化， (3)对向量计算或证明。
练习1、
1与a 2,1,2共线,且满足a
z
18的z
4,2,4
2A1,2,1, B1,3,4, AP 2PB,则OP 1 , 8 ,3 3三点A1,5,2, B2,4,1,Cp,3, q共线， 则3 3
C变1D式11的: 一E是个A四1B等1的分一点个，四等分点，
z
D1
F1
Hale Waihona Puke Baidu
C1
证明：又又A求uA(D1u,Fu,证uEr01 ,,：0D),,0AEF,E1不14∥1共,，14D1线,F1，，1.,所所所以以 以uAAuuAEuurEEur∥uDuDFu0urF1,,114. 变式2: F是AA1的一个四等分点，
【应用举例】
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、
C1D1的一个四等分点，
z
变式3: G是BB1的一个四等分点，
D1
F1
C1
H为AA1上的一点，若GH⊥DF1， A1
E1 B1
试确定H点的位置.
解：又设所uDH以uFu点ur1Guu坐Hur 0标, 为140(，,1,110,，,aa且),又Gu14uHuGr 1uD,u1Fuu,r114
,
uuur 所以GH 解得a
uuuur DF1 1,
0
-
1 4
a
1 4
0
H
D
O
A
x
G Cy
B
2
即当H为AA1 的中点时，能使GH⊥DF1.
【尝试高考】
(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E
是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱 C1D1, AA1的中
点 (2)．证设明点：E直1,线G1F分G别1⊥是平点面EF,GE在E1平；面DCC1D1内的z 正投F 影
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以
uuur EF
(
1
,
1
,
1
)
，
2 22
又
A1
(1 , 0 uuuur
,
1)
，
D(0
,
0
,
0)
，
所以 所以
uDuAur1 EF uuur
uu(u1ur, 0 DA1
uuuur
, 1) ( 1
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
3.2.1空间向量在立体几何中的 应用
一、用向量方法证明平行
二、用向量方法证明两条直线垂直 或求两条直线所成的角
【应用举例】
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、
C1D1的(1一)个建四立等直分角点坐，标求系：，BuuEur1与uuDurF1所uuu成ur 角z 的余弦值.
是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱 C1D1, AA1的中
点 (2)．证设明点：E直1,线G1F分G别1⊥是平点面EF,GE在E1平；面DCC1D1内的z 正投F 影
(3)求异uuu面ur直线E1G1与uEuurA所成角的正弦值.
(3)u解uuu：rE1uGuu1r 0 ,2，0，EA 1 ,2，1，
(3)求异面直线E1uGuu1r与EuAuu所r 成u角uuur的正弦值.
(2)证明：分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位 正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则 G
G1
E1 E
G1u(u0uur,0,1),F 0,1, 2uu,urE1(0, 2,1),E 1, 2,1
O
y
uFuGuur1 0 ,1，1，FE 1 ,1，1，
G1
Eu1uGuu1r EA 0uuu1r 22 01 4 , G
E1 E
| E1G1 | 2 , | EA| u6uuu.r uuur
O
y
cos
uuuur E1G1
,
uuur EA
|
uuEu1uGr1 EuAuur E1G1 | | EA |
4 2
6
6 3
.
x
uuuur uuur sin E1G1 , EA
DuFuu1ur | DF1
|
16 15 17 17 17
x 17 4
.cos
A
uuuur , | DF1
uuuur E1B
| 17 . 4
uuuur , DF1
B
15 ___1_7__
因此，BE1与DF1所成角的余弦值是
15 17
4 .
4
【应用举例】
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、
,
1
A1
F
x
A
E
D
O
求证：BF⊥DF1.
证明：B(1,1,
0),F
1,
0,
1 4
,
所以
uuur BF
0
,
1
,
1 4
E1 B1
Cy
B
又
uDuFuur1uuur
0
,
1 ，1
u4uuur
，
uuur 所以BF
uuuur DF1
0，1，-
1 4
0，1 4
，1
0
因此BF DF1, 即BF⊥DF1.
uFuEuur1 uuu0r ,1，1， uuuur uuuur
x
FG1 FE 0 1 1 0, FG1 FE1 0 1 1 0 FG1 FE,FG1 FE1
又FE I FE1 F
FG1 面FEE1
【尝试高考】
(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E
1 ( 6 )2 3
3 3
因此，E1G1与EA所成角的正弦值是
3 3
.
例 3 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E ，F 分别是 BB1 ，D1B1 中点，求证： EF DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， uuur uuur uuuur
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ，