流体运动基本方程和基本规律
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v u 0 x y
§ 2.3 流体微团的运动分析
角变形率
u u dy y
再回到前面 xy 平面内的二维流动 时流体微团的运动分析。
dy
B
vA
u
C
v v dx x
设AB和AC之间的夹角为 k 。当流
dx
体微团在流场中运动时， k 也会
流体运动的基本方程和基本规律
1. 三大守恒定律的简介 2. 迹线、流线、流管 3. 流体微团的运动分析 4. 速度位函数 5. 基本方程（一）：连续方程 6. 流函数 7. 旋涡运动 8. 基本方程（二）：动量方程 9. 基本方程（三）：能量方程
（教材上没有，属必须掌握内容） 10. 三大基本方程的基本解法简介
y x
z
§2.2 迹线、流线、流管
如何求流线方程
流线是空间曲线 , 用 f(x,y,表z)示0。 点设A处d sv的是速流度线V上和的一d平sv个行微。段因。此，由矢量叉乘的定义得
流线方程为：
dsvV r 0
v d sv V A
y x
z
§2.2 迹线、流线、流管
dsvVr 0
在迪卡尔坐标系下， d s v d x iv d y v j d z k v
V r x , y , z , t u x , y , z , t i v v x , y , z , t v j w x , y , z , t k v
vvv
dsvVr
i dx
j dy
k dz
v d sv V
y
u vw
A
x
笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：
z
wdyvdz0
udw z d0 x
旋度
旋度：定义为旋转角速度 v的两倍，记为 。
v 2 v V r
1）如果 V 在 流0动中处处成立，流动称为有旋流动。这 表明流体微团在流动过程中具有一定的旋转角速度。 2）如果V 在0流场中处处成立，流动称为无旋流动。这表 明流体微团没有角速度，在空间作纯粹的平移运动。
3）二维无旋流动条件：
2.1 三大守恒定律的简介
拉瓦锡（Antoine-Laurent
Lavoisier，1743－1794）
，法国化学家，1789 年， 焦耳（James Prescort Joule,1818～
拉瓦锡在他的历史名著—— 1D8e8s9cห้องสมุดไป่ตู้ar英te国s笛杰卡出尔的物理学家。 1847年4月
《化学概论》中第一次用(法清国28哲日学英家国、物数理学学家家,1焦59耳6将- 自己所发现的能量
上面的分析只考虑了在二维 xy 平面内的运动。对 一般三维空间流体微团的角速度是指向某特定方 向的矢量，
vxiryrjzkr
1 2 w y vzir u z w xrj x v u ykr
上式用速度场表达了流体微团的角速度，更准确 地说，是用速度场的导数表示了流体微团的角速 度。
§ 2.3 流体微团的运动分析
vdxudy0
§2.2 迹线、流线、流管
笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：
wdyvdz0 udw z d0 x vdxudy0
上式亦可表达为，
ux,d y x,z,tvx,d yy,z,tw x,d y z,z,t
§2.2 迹线、流线、流管
流管(Stream Tube)
在三维空间，在流场中 取一条不为流线的封闭 曲线，经过曲线上每一 点作流线，所有这些流 线集合构成的管状曲面 被称为流管，如图。
刻的位置上，流体微团的体积、形状都发生了变化，而且也发生了旋转。
整个运动是同时发生的，可以将这样的一个复杂的一般运动分解为几个简
单的运动的合成如图所示。
B′
D′
yB D t
AC
t+Dt 流体微团的一般运动
A′
C′
流体微团运动的分解
x
角速度 § 2.3 流体微团的运动分析
定义 AB 边和
d
AC 边的角速度分别为，
➢微团旋转和变形量取决于速度场，本节的目的就是用速度 场量化分析微元的旋转和变形运动。
§ 2.3 流体微团的运动分析
考虑 xy 平面内的二维流动。取流场中的一个微元体。假设在时刻 t ，流
体微元是矩形。一般情况下流场是不均匀的，即流场中的各点速度的大小
和方向都可能变化。因此该微团从 t 时刻的位置 ABCD 运动到 t+Dt 时
晰的语言把质量守恒定律表 守恒定1律69第0一) 次作了全面和充分的阐述 。
达出来，用实验进行了系验统证所能受量外既力不的能矢创量造和也为不0能时消，灭系，而只能从一种形
。
式统转的换总成动另量一守种恒形。式，从一个物体传递到另一
质量既不能创造，也不能消 Joule 灭 。
个物体。
DescLaarvteosisier
y x
z
由于流管由流线组成，因此流体不能穿出或者穿入流管表面。 在任意瞬时，流场中的流管类似真实的固体管壁。 对定常流动，直接运用积分形式的连续方程，可以证明穿过流 管截面的质量流量是不变的 。
流场中 的微小 流体团
§ 2.3 流体微团的运动分析
➢ 流场中的流体微团,当它沿着流线做平移运动的同时，还可 能有旋转、变形运动。
迹线(Path Line)：流体微团在流场中的运动轨迹。或 者说，同一个流体微团，在不同时刻的空间坐标的连 线。
§2.2 迹线、流线、流管
流线(Stream Line)：流场中的一条曲线，线上各点的切向 和该点的速度方向相同。如果流动是非定常的，由于速度 矢量的大小和方向随时间变化而变化，所以不同时刻的流 线形式也不相同。流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
和1
d2
dt
dt
由，
D1
u y
Dt,
D2
v x
Dt
有，d1 limD1 u, d2 limD2 v
dt Dt0 Dt
y
dt Dt0 Dt x
流体微团在 xy 平面的角速度定义为AB 边和 AC 边的
角速度的平均值，记作 z ， 因此，
z 1 2ddt1ddt21 2d dxvd du y
§ 2.3 流体微团的运动分析
自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量守恒和能 量守恒。
本章将利用这三大原理，推导出流体力学中的三个基 本方程：连续方程、动量方程和能量方程。然后粗略 介绍这三个方程的解法。
§2.2 迹线、流线、流管
空气动力学中， 除了要求解密度场、压强场、 温度场和速度场以外，还需要绘制流场的流动图
画(Flow Patterns)。它能帮助我们直观形象地分析流体 运动。为此，引入迹线图和流线的概念。
§ 2.3 流体微团的运动分析
角变形率
u u dy y
再回到前面 xy 平面内的二维流动 时流体微团的运动分析。
dy
B
vA
u
C
v v dx x
设AB和AC之间的夹角为 k 。当流
dx
体微团在流场中运动时， k 也会
流体运动的基本方程和基本规律
1. 三大守恒定律的简介 2. 迹线、流线、流管 3. 流体微团的运动分析 4. 速度位函数 5. 基本方程（一）：连续方程 6. 流函数 7. 旋涡运动 8. 基本方程（二）：动量方程 9. 基本方程（三）：能量方程
（教材上没有，属必须掌握内容） 10. 三大基本方程的基本解法简介
y x
z
§2.2 迹线、流线、流管
如何求流线方程
流线是空间曲线 , 用 f(x,y,表z)示0。 点设A处d sv的是速流度线V上和的一d平sv个行微。段因。此，由矢量叉乘的定义得
流线方程为：
dsvV r 0
v d sv V A
y x
z
§2.2 迹线、流线、流管
dsvVr 0
在迪卡尔坐标系下， d s v d x iv d y v j d z k v
V r x , y , z , t u x , y , z , t i v v x , y , z , t v j w x , y , z , t k v
vvv
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j dy
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v d sv V
y
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A
x
笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：
z
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旋度
旋度：定义为旋转角速度 v的两倍，记为 。
v 2 v V r
1）如果 V 在 流0动中处处成立，流动称为有旋流动。这 表明流体微团在流动过程中具有一定的旋转角速度。 2）如果V 在0流场中处处成立，流动称为无旋流动。这表 明流体微团没有角速度，在空间作纯粹的平移运动。
3）二维无旋流动条件：
2.1 三大守恒定律的简介
拉瓦锡（Antoine-Laurent
Lavoisier，1743－1794）
，法国化学家，1789 年， 焦耳（James Prescort Joule,1818～
拉瓦锡在他的历史名著—— 1D8e8s9cห้องสมุดไป่ตู้ar英te国s笛杰卡出尔的物理学家。 1847年4月
《化学概论》中第一次用(法清国28哲日学英家国、物数理学学家家,1焦59耳6将- 自己所发现的能量
上面的分析只考虑了在二维 xy 平面内的运动。对 一般三维空间流体微团的角速度是指向某特定方 向的矢量，
vxiryrjzkr
1 2 w y vzir u z w xrj x v u ykr
上式用速度场表达了流体微团的角速度，更准确 地说，是用速度场的导数表示了流体微团的角速 度。
§ 2.3 流体微团的运动分析
vdxudy0
§2.2 迹线、流线、流管
笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：
wdyvdz0 udw z d0 x vdxudy0
上式亦可表达为，
ux,d y x,z,tvx,d yy,z,tw x,d y z,z,t
§2.2 迹线、流线、流管
流管(Stream Tube)
在三维空间，在流场中 取一条不为流线的封闭 曲线，经过曲线上每一 点作流线，所有这些流 线集合构成的管状曲面 被称为流管，如图。
刻的位置上，流体微团的体积、形状都发生了变化，而且也发生了旋转。
整个运动是同时发生的，可以将这样的一个复杂的一般运动分解为几个简
单的运动的合成如图所示。
B′
D′
yB D t
AC
t+Dt 流体微团的一般运动
A′
C′
流体微团运动的分解
x
角速度 § 2.3 流体微团的运动分析
定义 AB 边和
d
AC 边的角速度分别为，
➢微团旋转和变形量取决于速度场，本节的目的就是用速度 场量化分析微元的旋转和变形运动。
§ 2.3 流体微团的运动分析
考虑 xy 平面内的二维流动。取流场中的一个微元体。假设在时刻 t ，流
体微元是矩形。一般情况下流场是不均匀的，即流场中的各点速度的大小
和方向都可能变化。因此该微团从 t 时刻的位置 ABCD 运动到 t+Dt 时
晰的语言把质量守恒定律表 守恒定1律69第0一) 次作了全面和充分的阐述 。
达出来，用实验进行了系验统证所能受量外既力不的能矢创量造和也为不0能时消，灭系，而只能从一种形
。
式统转的换总成动另量一守种恒形。式，从一个物体传递到另一
质量既不能创造，也不能消 Joule 灭 。
个物体。
DescLaarvteosisier
y x
z
由于流管由流线组成，因此流体不能穿出或者穿入流管表面。 在任意瞬时，流场中的流管类似真实的固体管壁。 对定常流动，直接运用积分形式的连续方程，可以证明穿过流 管截面的质量流量是不变的 。
流场中 的微小 流体团
§ 2.3 流体微团的运动分析
➢ 流场中的流体微团,当它沿着流线做平移运动的同时，还可 能有旋转、变形运动。
迹线(Path Line)：流体微团在流场中的运动轨迹。或 者说，同一个流体微团，在不同时刻的空间坐标的连 线。
§2.2 迹线、流线、流管
流线(Stream Line)：流场中的一条曲线，线上各点的切向 和该点的速度方向相同。如果流动是非定常的，由于速度 矢量的大小和方向随时间变化而变化，所以不同时刻的流 线形式也不相同。流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
和1
d2
dt
dt
由，
D1
u y
Dt,
D2
v x
Dt
有，d1 limD1 u, d2 limD2 v
dt Dt0 Dt
y
dt Dt0 Dt x
流体微团在 xy 平面的角速度定义为AB 边和 AC 边的
角速度的平均值，记作 z ， 因此，
z 1 2ddt1ddt21 2d dxvd du y
§ 2.3 流体微团的运动分析
自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量守恒和能 量守恒。
本章将利用这三大原理，推导出流体力学中的三个基 本方程：连续方程、动量方程和能量方程。然后粗略 介绍这三个方程的解法。
§2.2 迹线、流线、流管
空气动力学中， 除了要求解密度场、压强场、 温度场和速度场以外，还需要绘制流场的流动图
画(Flow Patterns)。它能帮助我们直观形象地分析流体 运动。为此，引入迹线图和流线的概念。